练习-浙江省浙大附中高三数学上学期期中考试试题 理 新人教A版

第一学期期中考试高三数学（理）试卷
一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的O
1O
集合{}0,2,A a =,{}
21,B a =,若{}0,1,2,4,16A
B =,则a 的值为 （ ▲ ）
A O
0 B O
1 C O
2 D O
4 2O
下列命题中的真命题是 （ ▲ ）
A O
若d c b a >>,，则bd ac > B O
若,b a >则2
2b a >
C O
若,b a >则22b a > D O
若,b a >则2
2b a >
3O
已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 （ ▲ ）
A O
15 B O
30 C O
31 D O
64
4O
“1-=a ”是“函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的（ ▲ ）
A O 充分必要条件
B O 充分不必要条件
C O 必要不充分条件
D O
非充分必要条件
5O
已知向量(2,1),10,||52,||a a b a b b =⋅=+=则= （ ▲）
A
B
O
5 D O
25
6O
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，若20=++c b a ，三角形面积为310，
60=A ，则=a （ ▲ ）
A O
7 B O
8 C O
5 D O
6
7O
不等式2
|3||1|3x x a a ++-≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ▲ ）
A O
[]4,1-
B O (,2]
[5,)-∞-+∞
C O (,1]
[4,)-∞-+∞ D O
[]
5,2-
8O
已知正数x 、y 满足⎩⎨
⎧≥+-≤-0
5302y x y x ，则14()2x
y z -=⋅的最小值为
（ ▲ ）
A O
1 B
O
161
D O
132
9O
已知函数()f x 在R 上满足2
(1)2(1)31f x f x x x +=--++，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 （ ▲ ）
A O
20x y --= B O
0x y -= C O
320x y +-= D O
320x y --=
10、已知函数x
x x f ⎪⎭
⎫
⎝⎛--=31)1lg()(有两个零点21,x x ，则有 （ ▲ ）
A
O
121x x <
B O
1212x x x x <+ C O
1212x x x x =+ D O
1212x x x x >+
二、填空题：共7小题，每小题4分，共计28分O
请把答案填写在答卷相应的位置上．．．．．．．．O
11O
计算：(cos75sin75)(cos75sin75)+-= ▲ O
12O
函数)4
3
lg()(2
x x x f --=，则)(x f 的单调递减区间是 ▲ O
13O 若对任意x ＞0，
1
52
++x x x
≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ▲ 14O
如右图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得15
BCD ︒
∠=O
30BDC ︒∠=,30CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔
高AB = ▲ 米O
15O
已知1
2
-=n n a ， 则=++++++1098321238910a a a a a a ▲ 16O
设O
为ABC ∆的外心，且0543=++OC OB OA ，则ABC ∆的内角C 的值为 ▲ 17O
设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()
()f x g x x
=
，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ O
三、解答题：共5小题，共计72分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤O
18O
（本题满分14分）已知sin 2().sin x
f x x x
=+
（1）求()f x 的周期，并求()0,x π∈时的单调增区间O
（2）在△ABC 中，c b a 、、分别是角A ，B ，C 所对的边，若3
π
=A ，且3=a ，求⋅的最大值O
19
O
（本题满分14分）集合
{}
211
3
x A x x -=≥+，
{}
ππsin ,,,062B y y a a a θθ⎡⎤==∈->⎢⎥⎣⎦
且为常数
O
（1）求集合A 和B ；
（2）若A B =∅，求a 的取值范围O
20O
（本题满分14分）已知函数14)(234-+-=ax x x x f 在区间[0，1]上单调递增，在区间
[1，2]上单调递减O
（1）求a 的值；
（2）若斜率为24的直线是曲线)(x f y =的切线，求此直线方程；
（3）是否存在实数b ，使得函数1)(2-=bx x g 的图象与函数)(x f 的图象恰有2个不同交点？若存在，求出实数b 的值；若不存在，试说明理由O
21O
（本题满分15分）已知数列{}n b 满足11124n n b b +=+
，且17
2
b =，n T 为{}n b 的前n 项和O
（1）求证：数列1
{}2
n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式； （2）如果对于任意*n N ∈，不等式
1227122n
k
n n T ≥-+-恒成立，求实数k 的取值范围O
22O
（本题满分15分）已知函数x x x g ln sin 1
)(+⋅=
θ
在[1，＋∞）上为增函数，且()πθ,0∈，
1
()ln m f x mx x x
-=-
-，m ∈R O
（1）求θ的值；
（2）若()()f x g x -在[1，＋∞）上为单调函数，求m 的取值范围； （3）设2()e
h x x
=
，若在[1，e ]上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围O
第一学期期中考试 数学答案
11O
2
3
-
12O
)21,21[- 13 ),71[+∞ 14 615
15 2036 16O
4
π
17O
21
(,]e e -∞+
三、解答题：
18O
解：（Ⅰ）()2cos 4sin()6
f x x x x π
=+=+
………………2分
()2()46
2
x k k Z f x π
π
π+
=+
∈当时，取得最大值为
()4 |2,3f x x x x k k Z ππ⎧⎫
∴=+∈⎨⎬⎩⎭
的最大值为，的取值集合为……4分
（Ⅱ） sin sin sin sin sin sin a c a C a B
A C A A
=由
得，c=，同理可得b= ∴AB AC →
→
∙=22sin sin 2cos cos 2sin sin()sin 3
a B C c
b A A B B A π
=
=-
211cos sin 2(1cos 2)sin(2)2226B B B B B B π=+=+-=+- 3
B π
∴=
当时，
AB AC →→
∙最大为3122
分
19O
解：（1）{}
43≥-<=x x x A 或 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-
=a y a y B 21
（2）()4,0∈a
20O
解：（1）由已知得，ax x x x f 2124)(23+-='，0)1(='f ，4=∴a O
（2）24)(='x f ，即06232
3=-+-x x x ，0)2)(3(2=+-x x ，
），切点为（83∴，此切线方程为：)3(248-=-x y ，即6424-=x y O
（3）令)()()(x g x f x h -=，则)44()4(4)(22234b x x x x b x x x h -+-=-+-=
由0)(=x h 得：.044,02=-+-=b x x x 或--------（O
）
b b 4)4(4)4(2=---=∆，
当0,0<<∆b 即时，（O
）无实根，f(x)与g(x)的图象只有1个交点；
当0,0==∆b 即时，（O
）的实数解为x=2, f(x)与g (x)的图象有2个交点；
当0,0>>∆b 即时，若x=0是（O
）的根，则b=4,方程的另一根为x=4,此时，f(x)与
g(x)的图象有2个交点；当40≠>b b 且时，f(x)与g(x)的图象有3个不同交点O
综上，存在实数b=0或4，使函数f(x)与g(x)的图象恰有2个不同交点O
21O
解：（1）对任意*
N n ∈,都有11124n n b b +=
+，所以1111
()222
n n b b +-=- 则1{}2n b -成等比数列,首项为1132b -=，公比为1
2…………2分
所以1113()22n n b --=⨯，111
3()22
n n b -=⨯+…………4分
（2）因为111
3()22
n n b -=⨯+
所以2113(1)111123(1...)6(1)1222222212
n n n n n n n T --
=+++++=+=-+-…………7分 因为不等式1227(122)
n k n n T ≥-+-，化简得272n
n k -≥对任意*
N n ∈恒成立 ……………8分
设272n n n c -=
，则1112(1)72792222
n n
n n n n n n
c c ++++----=-= 当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，
当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列 …………11分 45131632c c =<=,所以, 5n =时, n c 取得最大值332
…………13分 所以, 要使272n n k -≥对任意*
N n ∈恒成立，332
k ≥…………14分
22O
解：（1）由题意，2
11()sin g x x x θ'=-
+
⋅≥0在[)1,+∞上恒成立，即2
sin 1
0sin x x θθ⋅-⋅≥O
………1分
∵θ∈（0，π），∴sin 0θ>O
故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立，…………………
2分
只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=O
结合θ∈（0，π），得π
2
θ=
O
……4分
（2）由（1），得()()f x g x -=2l n m m x x x --O
()22
2()()mx x m f x g x x -+'∴-=O
…………5分
∵()()f x g x -在其定义域内为单调函数，
∴220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[1，＋∞）恒成立O
………………………6分
220mx x m -+≥ 等价于2(1)2m x x +≥，即2
21x
m x +≥，
而
2
2211x x x x =++，（2
1x x
+）max =1，∴1m ≥O
…………………………………………8分
220mx x m -+≤等价于2(1)2m x x +≤，即2
21x
m x
+≤
在[1，＋∞）恒成立， 而
2
21
x
x +∈（0，1]，0m ≤O
综上，m 的取值范围是(]
[)
,01,-∞+∞O
………………………………………………
10分
（3）构造()()()()F x f x g x h x =--，2()2ln m e
F x mx x x x
=-
--
O
当0m ≤时，[1,]x e ∈，0m mx x -≤，22ln <0e
x x
--，所以在[1，e ]上不存在一
个
x 使得
(
)()()
f x
g x
h x ->
成立O
………………………………………………………12分
当0m >时，2222
2222(())'m e mx x m e
F x m x x x x -++=+-+=O
…………………………14分
因为[1,]x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以(())'0F x >在[1,]x e ∈恒成立O
故()F x 在[1,]e 上单调递增，max ()()4m F x F e me e ==--，只要40m
me e
-->，
解得241e
m e >
-
故m 的取值范围是2
4(
,)1
e
e +∞-O
…………………………16分。