课件5：2.5.1 平面几何中的向量方法~2.5.2 向量在物理中的应用举例

(2)因为 E 为 CD 的中点，所以 E(n4，m4 )，设 F(x,0)， 则A→E＝(n4，－34m)，A→F＝(x，－m)，因为 A，E，F 三点共线， 所以A→F＝λA→E，即(x，－m)＝λ(n4，－34m)，
所以－x＝mn4＝λ，－34mλ，
故 λ＝43，x＝n3，即 F(n3，0)．
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．形状无法确定
【解析】∵(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0，
∴C→A2－C→B2＝0，C→A2＝C→B2，
∴CA＝CB，△ABC 为等腰三角形． 【答案】C
3．力 F＝(－1，－5)作用于质点 m，使 m 产生的位移 s＝(4,6)， 则力 F 对质点 m 做的功是________． 【解析】∵W＝F·s＝(－1，－5)·(4,6)＝－34， ∴力 F 对 m 所做的功是－34. 【答案】－34
所以|A→F|＝13 n2＋9m2，即 AF＝13 n2＋9m2.
规律方法 1．利用向量的关系证明问题通常先选取一组基底，基底中的 向量最好是已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向 量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要 性质运算，最后把运算结果还原为几何关系． 2．若平面图形中存在垂直的线段(如直角三角形、矩形等)， 可建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算求解．
解:以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直线分别为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
(1)因为 D 为 AB 的中点， 所以 D(n2，m2 )， 所以|C→D|＝12 n2＋m2，|A→B|＝ m2＋n2， 所以|C→D|＝12|A→B|，即 CD＝12AB.

4．已知点 A(2，－1)，求过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线 方程． 解:设所求直线上任一点 P(x，y)，则A→P＝(x－2，y＋1)． 由题意知A→P∥a， ∴5(y＋1)－(x－2)＝0，即 x－5y－7＝0.
故过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程为 x－5y－7＝0.
2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
学习目标 1．知识与技能 (1)通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解 决平面几何的问题的“三步曲”．
(2)明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、 长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示． (3)通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握 利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明确向量在物理 中应用的基本题型，进一步加深对所学向量概念和向量运算 的认识．
2．过程与方法 (1)经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题 及其他一些实际问题的过程． (2)体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，提高 运算能力和解决实际问题的能力． (3)掌握用向量方法解决实际问题的基本方法． 3．情感、态度与价值观 通过对具体问题的探究解决，进一步培养数学应用意识，提 高应用数学的能力，体会数学的应用价值、科学价值．
2．用向量知识解决物理中相关问题 一般来说分为四步： (1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题； (2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型； (3)参数的获取，求出数学模型的相关解； (4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释 一些物理现象．
课堂检测
1．已知作用在点 A(1,1)的三个力 F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，
合成与分解 ． 3．动量 mv 是向量的 数乘 运算． 4．功是 力F 与所 产生的位＝90°，设 AC＝m，BC＝n， (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD＝12AB； (2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F，求 AF 的 长度(用 m，n 表示)．
知识点 2：向量在物理中的应用 问题导思 向量知识主要是以物理知识为背景抽象出来的，物理中的动 量 mv，功 Fs 是向量中的什么运算？ m 是标量，v 是矢量，∴mv 为数乘运算；F 和 s 均为矢量， ∴Fs 为数量积运算．
总结 1．物理问题中常见的向量有 力，速度，加速度、位移 等． 2．向量的加减法运算体现在 力，速度，加速度，位移的
例 2.过点 A(－2,1)，求： (1)与向量 a＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量 b＝(－1,2)垂直的直线方程．
解:设所求直线上任意一点 P(x，y)， ∵A(－2,1)，∴A→P＝(x＋2，y－1)． (1)由题意知A→P∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0， 即 x－3y＋5＝0. ∴所求直线方程为 x－3y＋5＝0. (2)由题意，知A→P⊥b， ∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0， 即 x－2y＋4＝0，∴所求直线方程为 x－2y＋4＝0.
F3＝(3,1)，则合力 F＝F1＋F2＋F3 的终点坐标是( )
A．(8,2)
B．(9,1)
C．(－1,9)
D．(3,1)
【解析】F＝F1＋F2＋F3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，故 终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)． 【答案】B
2．在△ABC 中，若(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0，则△ABC 为( )
解:设|F1|＝|F2|，由向量求和的平行四边形法则、力的平衡及
直角三角形的知识，可得：|F1|＝
|G| θ.
2cos 2
由此可知：当 θ 由 0°到 180°逐渐变大时，θ2由 0°到 90°逐渐 变大，cos θ2的值由大逐渐变小，因此|F1|由小逐渐变大，故 两个分力 F1、F2 之间的夹角越大越吃力，夹角越小越省力．
规律方法 1．解力的向量问题时，依据题意对物体进行受力分析，通 过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成． 2．解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中 的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．
课堂小结 1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、 距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路： 一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一 种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这 两种思想都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
规律方法 1．本题求解的关键是在所求直线上任取一点 P(x，y)，从而 得到向量A→P的坐标． 2．用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何 问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向 量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题．
例 3.在我们的日常生活中，我们会有这样的体验：两个人一 起提一个又大又重的旅行包，两人手臂的夹角越大会越吃 力，你能用本节知识解释这个问题吗？
学习重点、难点 重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几 何问题的“三步曲”． 难点：实际问题转化为向量问题．
知识点 1：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，建立平面几何与向量的联系，用 向量 表示问题中 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 向量 问题； 第二步，通过 向量 运算，研究几何元素之间的关系； 第三步，把 运算结果 “翻译”成几何关系.