【数学】广西桂林中学2015-2016学年高二上学期期中考试(文).docx

桂林中学2015~2016 学年上学期期中考试卷
高二数学（文科）
(满分： 150 分时间：120分钟)
第 I 卷（选择题，共60 分）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2+1与 2 1的等差中项为 ()
A ．1
B ．2C．2D．2 2
2．命题“x R, x2x
01 0 ”的否定为()
00
A ．x0R, x02x0 1 0
B ．x R, x2x 10 C．x0R, x02x0 1 0D．x R, x2x 10
3．若a b0，则下列不等式成立的是()
A ．a2b2
B ．a b C．a
1D．
1 1
b a b
．在ABC 中，若°，则角 B 为
A 60 ，a3，b 1() 4
A ．30°
B ．45
°°°
D．
°°
C．45或135
30 或
150
5．已知不等式x2ax b0 的解集为x |2x 3 ，则a b 的值为()
A ．7B．5C．5D．7
6．已知p : 2 3 ； q : 矩形的对角线互相垂直，则()
A ．p假q真B．p 为真C．p q为真 D ．p q为真7．“m2 ”是“一元二次方程x2mx10”有实数解的 ()
A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D ．既不充分且不必要条件
x20，
8．已知实数x, y满足不等式组y10，，则 z x y 的取值范围为()
x2y20
A ．1,2B．13，C．1,3D．2,4
a n的前n项和为 S n， a1 +a3 =55
9．已知等比数列， a2 +a4 = ，则S8() 12725524
B．C．255 D ．511
A ．
64
32
10．在△ABC 中，若sin2A sin 2 B sin 2C ，则△ABC的形状是()
A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．不能确定
11．若不等式x y 14
m 对任意正实数x， y恒成立，则实数m 的取值范围是x y
()
A ．3,
B ．6,C．,9D．,12
12．在等差数列
a n 中，其前 n 项和是，若S0，S0 ，则在S1，S 2，，S 15
S n...
1516 a 1 a 2 a 15
中最大的是 ()
A．S
1B．
S
8C．
S
9D．
S
15 a1a8a9
a
15
第 II卷（非选择题，共90 分）
二、填空题：本大题每小题 5 分，共 20 分。

13．命题“若a b 是偶数，则 a, b 都是偶数”的否命题是：．
14．已知ABC 面积为S =2 3 ，C 120°
3 ，则BC长为．， AC
15．已知a0， b0，1
1ab ，则 ab 的最小值为．a b
16．已知数列满足 a11
N *，则 a n=
n=1，a n+1= a n+n．
a n2n
三、解答题：本大题共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（ 10 分）设一元二次不等式ax 2ax 2 0 的解集为M．
(Ⅰ ) 当a1时，求M；
(Ⅱ ) 当M R 时,求a的取值范围．
18．（ 12 分）如图，△ABC 中，ABC
30 ， ADC45 ，AB8 ，DC 5 ．
求 AC 的长．
19．（ 12 分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400 平方米的矩形休闲广场，按
照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图
中阴影部分），道路的宽度均为 2 米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的
总面积最大？并求出其最大面积．
20．（ 12 分）已知数列a n是等差数列， a 2 =5 ，且 a1， a4， a13成等比数列．(Ⅰ ) 求数列a n的通项公式；
(Ⅱ ) 求数列
a n
的前 n 项和T n．2n1
21．（ 12 分）在
ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为
a ，
b ，
c ，且 c 2a cos B R
．
( Ⅰ) 当
1 时，求证： A B ；
( Ⅱ) 若 B
， 2b 2 3ac ，求
的值．
3
22．（ 12 分）已知等差数列
a n 满足 a 3 =3， a 5 =9；数列
b n 的前 n 项和为 S n ，且满足
b 1 1, b 2 3， S n 1 4S n 3S n 1 n 2, n N * ．
( Ⅰ) 分别求数列
a n ，
b n 的通项公式；
( Ⅱ) 若对任意的 n N *,
S + 1
k a
n 恒成立，求实数
k 的取值范围．
n
2
桂林中学 2015-2016 学年度
上学期 期中考试
高二数学 (文科 ) 参考答案
一、：本大共8 小，每小 5 分，共 40 分．
号123456789101112答案B D D A A C A B B C C B 二、填空：本大共 4 小，每小 5 分，共 20 分．
81
13. 若a b不是偶数，则 a, b不都是偶数；14.；15. 2；16..
3n
三、解答：本大共 5 小，共60 分．
17.(本小分 10 分 )
解： 1 当 m 1时，原不等式即为：x2x 20
解方程
x2x 2=0, 得 x12, x21
∴ M x | 2 x 1 ⋯.⋯⋯⋯⋯...⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
2 由M R，即不等式 ax2ax 2 0 的解集为 R ，则
a0
． .. ⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯.8分
a 24a 2 0
∴ 8a0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
1 8. (本小分1
2 分 )
解：在ABD中，∠ ADB 180 45 135 ，AB8，ABC 30°，
由正弦定理，得
8sin 30
2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8 分AD4
sin135
在△ ADC 中， AD 42，ADC45， DC 5 ，
2
5cos 45 ? = 17
由余弦定理，得AC 4 2+522 4 2．⋯⋯ .12 分1 9. (本小分12 分 )
解： 矩形休 广 的
x 米，依 意，其
2400
米， 化区域的面
x
y
x 6
2400
6
x 600 .. ⋯ .. ⋯⋯⋯⋯⋯6.分
4 ,
x
∴ y
2424 14400
2424 2 4x
14400
=1944
4x
x
x
当且 当 4x=
14400
，即 x 60时取等号 ，此
2400 =40
x
60
所以，当矩形休 广 的 60 米和 40 米 ，才能使 化区域的 面 最大，
最大面 1944 平方米． ...................
⋯⋯⋯⋯ ...
12 分
20. (本小 分 12 分 )
解：（ 1） 等差数列
a n 的公差 d ，依 意，得
a 1 +d 5
a 1 a 1 +12d
2
a 1 +3d
解得，
a 1=3， d
2 ，
∴ a n 3+ n 1 2 2n 1
6 分
（ 2） ∵ S n
3 5
1 7
1 2 n +1
1
,
2
2
2
2 n 1
∴ 1 3
1 5
1
2 n 1
1 2n +1
1
, ..7 分
S n
2
2
n 1
n
2
2
2
2
两式相减，得 .
1
3
2
1
1
1 2n+1
1
S n
2
2
n 1
n , .
⋯⋯⋯⋯9分
2
2
2
2
1
1 1
1
n 1
1
S n
3+ 2
2
2n 1
⋯⋯⋯ ..
⋯⋯⋯ .....
⋯⋯分 11
2
n , .
1
1
2
2
所以， S n
2n 2
2n 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.....
⋯分 12
2n 1
21. (本小 分 12 分 )
（ I ）当
=1 ，得 c
2a cos B ，由余弦定理得，
解：
a 2 c 2
b 2
c 2a
， ⋯⋯⋯⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯ ..... 分⋯3
2ac
化 得： a 2 c 2 b 2 c 2 ，即 a b ，
∴ A
B . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯ (6)
另证 : 当 =1 ，得 c
2a cos B ，由正弦定理，得 sin C 2sin A cos B , ⋯⋯3分
又 C
A B ，
sin A+B
2sin AcosB,
∴ sin A cos B cos Asin B
0 ,即 sin A B
又
A B ,
A B
.
,
∴ A B ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ . ⋯⋯⋯ .....
⋯6分
（II ）由余弦定理，得：
b 2
a 2 c 2
2ac cos ，即 b 2
a 2 c 2 ac ， . ⋯ .. ⋯8分
3
又 2b
2
3ac ，
2a 2 5ac
2c 2 =0 ，
化 得： 2a
c a
2c 0 ，即
a
1 , 或 a
2 ，
a
c
2 c
又 c
°
= ，
2a cos 60 ，则 c
∴ =
1
. ⋯⋯⋯ ..分12
或 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
22.（本小 分
12 分）
解：（ 1）由 a 5 a 3
2d =6 ，得 d =3 ，所以 a n 3 n 3 3 3n 6
∴
a n 3n 6 .
由
S n 1 4S n 3S n 1 ，得 S n 1 S n
3 S n S n 1 ，即 b n 1 3b n n 2 ．
又 b 2 =3=3b 1 ，即
b n 1 3 n
N * ∴ b n 是等比数列，其中首相 b 1
1，公比 3 ，
b n
所以 b n =1 3n 1
3n 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
...分6
1 1
n
n
3
3 1
， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯⋯ ...7 分
（2） S n =
1 3
2
所以原不等式可 化
3n
1 1
k 3n 6 n N * 恒成立，
2
+
2
2 3n 6
n
N * 恒成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
.. ⋯⋯⋯ 分 (8)
∴ k
3
n
令 c n 2 3n 6
， c n
2 3n 6 2
3 n 1 6
12n 42n 2 ．3n
c
n 1
3n3n 13n
当 n3，c n c
n 10 即 c n c n 1；当n 4 ，c n c n 1．
∴当 n=3 c n有最大，最大
2 3362 c3339
所以 k 212
分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9。