四川省绵阳市绵阳中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)

绵阳中学高2022级高三上期第一学月月考
数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A.3个
B.2个
C.1个
D.无穷多个
2.围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数.
则下列各数中与
最接近的是（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.3.的定义域为（ ）A. B.C. D.4.设，，，则（ ）A. B. C. D.5.设函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D.6.下列选项可以使得成立的一个充分不必要条件的是（ ）A. B. C. D.R U ={
}
2
230M x x x =--≤{}
21,Z N x x k k ==-∈1919361⨯=3613M ≈8010N ≈M
N
lg 30.48≈93
1083
1073
1053
10lg(tan 1)y x =-ππ
ππ,Z 24x
k x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+>>+∈ππ
π,π,Z 42x x k x k k ⎭>
+≠+⎧⎫⎨⎬⎩∈π
π,Z 4x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
>
+∈ππ
,Z 42k x x k ⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
>
+∈0.30.2a =0.20.3b =0.2log 2c =c b a
>>c a b >>b a c >>a b c
>>3
()f x x x =()()332log 3log 0f x f x +-<1,2727⎛⎫
⎪⎝⎭
10,
27⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
()0,27()
27,+∞11
44
xy -≤≤2
2
1
x y +=2
2
41
x y +=1x y +=1
y x
=
7.函数的导函数，若函数仅在有极值，则的取值范围是（ ）A. B.或 C.或 D.8.存在三个实数，，使其分别满足下述两个等式：（1）；（2）其中表示三个实数，，中的最小值，则（ ）A.的最小值是 B.的最大值是 C.的最小值是 D.的最大值是二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知定义在R 上的奇函数，其周期为4，当时，，则（ ）A. B.的值域为C.在上单调递增
D.在上有9个零点
10.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.关于对称
B.的值域为R ，当且仅当或
C.的最大值为1，当且仅当
D.有极值，当且仅当11.关于函数，下列说法中正确的是（ ）A.图象关于直线
对称 B.为偶函数
C.为的周期
D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.）
12.已知顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边上一点P 的坐标为，则的值为________
13.甲说：在上单调递减乙说：存在实数使得在成立
若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是________
()f x ()(1)(ln 1)f x x x ax '=-+-()f x 1x =a 2
1
e a ≤-
21
e
a <-
1a =21
e
a ≤-
1a =1
a =1a 2a 3a 1232a a a =-1230
a a a ++=M 1a 2a 3a M 2
-M 2
-M M -()f x (0,2)x ∈()22x
f x =-(2024)0
f =()f x (2,2)-()f x (2,2)-()f x [4,4]-(
)
2
14
()log 21f x x ax =-+()f x x a =()f x 1a ≥1
a ≤-()f x a =()f x 1
a <()cos sin 2f x x x =π4
x =
()f x 2π()f x αx 11,23⎛⎫
⎪⎝⎭
sin(2)α()
2ln 23y x ax =-+(,1]-∞x 2210x ax -+>1
,22
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
a
14.已知不等式对任意的实数恒成立，则
的最大值为________四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13分）已知函数.
（1）若，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性.16.（15分）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围.17.（15分）已知
，，，
（1）求
的值
（2）求角的值.
18.（17分）已知函数.（1）证明：曲线是中心对称图形；
（2）若，求实数m 的取值范围.19.（17分）已知函数.
（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；（2）在定义域内恒成立，求的值；
（3）求证：
，.112x a
e
ax b -+-≥x b
a
32
12()232
a f x x x ax +=-+1a =()f x ()f x π()sin 26f x x ⎛⎫
=++ ⎪
⎝
⎭
()f x π21
2
()y g x =()g x x ()g x k =-π5π,186⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
k ππ42α≤≤3ππ2β≤≤
4
sin 25
α=cos()αβ+=2
2
5sin 8sin
cos
11cos 8
2
22
2
πsin 2α
α
α
α
α++-⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭βα-3()ln
2(1)2x
f x x x x
=++--()y f x =(21)()40f m f m -+-<()2ln(1)cos(2)g x x x =--+--()f x ()g x 1x =-()f x ()1f x ax -≤a 21
11ln 42n
k n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑*N n ∈
绵阳中学高2022级高三上期第一学月月考
数学试题参考答案
题号1234567891011答案A
A
A
C
B
B
A
B
ABD
ABC
CD
12.
13. 14.8.【详解】由已知得，，，中必有2个正数，1个负数，
设，，，则，因为，所以，
所以，即，
所以，由
得，，即，
所以，故选：B.
10.【详解】A.令，有，由于，
所以，所以关于对称，故A 正确；
B.当函数的值域为R ，则能取到的所有值，所以解得：或，故B 正确；
C.若函数的最大值为1，则，故C 正确；
D.若有极值，则在定义域内不单调，所以，则，故D 错误.故选：ABC 11.【详解】对于A ，，故A 错误；对于B ，，故B 错误
对于C ，，故是的周期，故C 正确；
对于D ，，令故，
，利用导数求得
，故D 正确.故选：CD 12
13
2a <22ln 2-1a 2a 3a 30a <10a >20a >3M a =1230a a a ++=312a a a -=+312a a a -=+≥23
124
a a a ≤331234a a a a ≥1232a a a =-3324
a ≤-3
38a ≤-32a ≤-2
()21g x x ax =-+()(2)g x g a x =-14
()log ()f x g x =114
4
(2)log (2)log ()()f a x g a x g x f x -=-==()f x x a =2
()21g x x ax =-+(0,)+∞2440a ∆=-≥1a ≥1a ≤-()f x min 11()()44g x g a a =
⇒=⇒=()f x 2
()21g x x ax =-+2440a ∆=-<11a -<<ππcos sin(π2)sin sin 2()22f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫
-=--=≠
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()cos()sin(2)()f x x x f x -=--=-(2π)cos(2π)sin(24π)cos sin 2()f x x x x x f x +=++==2π()f x ()22()cos sin 22cos sin 21sin sin f x x x x x x x ===-sin x t =()
2()21f x t t =-[1,1]t ∈-()f x
13.甲对，则有在上单调递减，且大于零，所以有且，则.
若乙对，则，，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的其对立面为甲乙说的均不对，此时或与求交集为，取其补集后的取值范围，所以14.可转化为图像恒在上方，所以必然有，现考虑刚好相切时的情况，
设切点为，则，消元得到带得到，所以图像恒在上方，只需要，
所以
，令，所以15.【详解】（1），，所以或时，，时，，则在上递减，在递增，所以的极小值为，极大值为.（2），
当时，，所以在上递增，当时，或时，；
时，，所以在上递增，在上递减，
当时，或时，；时，，所以在上递增；在上递减.
16.【详解】（1）将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，
2210x ax -+>(,1]-∞1a ≥420a ->12a ≤<1
,22x ⎡⎤
∃∈⎢⎥⎣⎦
max 1
155
22224x a x a a a x x ⎛
⎫+>⇒+>⇒>⇒< ⎪
⎝⎭{
1a a <}2a ≥54a a ⎧≥
⎫
⎨⎬⎩⎭
{}2a a ≥a {}2a a <{}
2a a <11x a
y e
-=2y ax b =+0a >011
0,x a
x e
-+⎛
⎫ ⎪⎝
⎭00111
1022x a x a e a
e ax b
-+-+⎧=⎪⎨⎪=+⎩
022a b x a -=01
12x a e a -+=121
21
2ln 22422ln 22a b a a
b e a a b a a a a a
--+=⇒=-
-⇒=--11x a
y e -+=2y ax b =+422ln 2b a a a ≤--242ln 2b a a a ≤--2
22(1)
42ln 2()()a a h a h a a a
-'--=⇒=max ()(1)22ln 2h a h ==-32
1323()2
x x x f x =
-+(1)(2)()x x f x =--'1x <2x >()0f x '>12x <<()0f x '<()f x (1,2)(,1),(2,)-∞+∞()f x 2
(2)3
f =
5
(1)6
f =
()()(2)f x x a x '=--2a =()0f x '≥()f x (,)-∞+∞2a >2x <x a >()0f x '>2x a <<()0f x '<()f x (,2),(,)a -∞+∞(2,)a 2a <x a <2x >()0f x '>2a x <<()0f x '<()f x (,),(2,)a -∞+∞(,2)a ()f x π2πππsin 2sin 2
263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到的图象，所以.
（2）因为，所以.，即在区间上有且只有两个实数解，
于是函数与的图象在区间上有且只有两个交点，，，
，所以.画出在区间上的图象如图所示，所以，所以，.所以实数的取值范围是.17.（1）由
1
2
πsin 223y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭π()sin 223g x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭π5π186x
-
≤≤4ππ4π
2933
x
-≤-≤
()g x k =-πsin 22
3x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭π
5π,186⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
πsin 23y x ⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭2y k =--π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
44πsin sin 99π
⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭
4πππ3πsin sin πsin sin 3339⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭3π4ππ0992<
<<4π4πsin sin
93⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
πsin 23y x ⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
21k ≤--<23k +≤-<32k -<≤k 3,2⎛
--+ ⎝2222
2
5sin 5cos 4sin 6cos 85sin 8sin cos 11cos 82222222πcos sin 2αααααα
α
ααα⎛⎫+++-++- ⎪
⎝
⎭=-⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭22
54sin 6cos 84sin 6cos 34sin 3cos 2
2
(4tan 3)
cos cos cos α
α
αααα
αα
α
α
++-+-+=
=
=
=-+---
又因为，所以，可得，解得或，由于，所以.原式.
（2）又由知，因
则，由，
又因
，故.18.【详解】（1）函数，定义域为，
所以曲线关于点对称.（2），因为，
，所以，
所以在定义域上单调递增；
又关于点对称，，由（1）得恒成立，所以
，所以所以，解得19.【详解】（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图像上，
4sin 25α=2sin cos 5αα=222sin cos tan 2sin cos 1tan 5
αααααα==++tan 2α=1tan 2α=ππ
42
α≤≤tan 2α=∴11=-3ππ2β≤≤
5π2π4
αβ≤+≤cos()αβ+=sin()αβ+===sin()sin[()2]sin()cos 2cos()sin 2βααβααβααβα
-=+-=+-+3455⎛⎛⎫=--⨯= ⎪ ⎝⎭⎝π5π24βα≤-≤
3π
4
βα-=3()ln 2(1)2x
f x x x x
=++--(0,2)33
2()(2)ln 2(1)ln 2(2)(1)2x x
f x f x x x x x x x
-+-=++-++-+--332ln [22(2)](1)(1)04042x x x x x x x x
-⎡⎤=⋅++-+-+-=++=⎣⎦-()y f x =(1,2)22112
()23(1)23(1)2(2)f x x x x x x x '=
+++-=++---(0,2)x ∈20(2)x x >-22
()23(1)0(2)
f x x x x '=++->-()f x (0,2)()f x (1,2)(21)()4f m f m -+<()(2)4f x f x +-=()(2)4f m f m +-=(21)()4()(2)
f m f m f m f m -+<=+-2120212
02
022
m m
m m m -<-⎧⎪<-<⎪
⎨<<⎪⎪<-<⎩11
2m <<()f x ()00,x y 1x =-()002,x y --()g x
则，则，故，；
（2）令，则在在恒成立，
又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，
，.下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.
（3）由（2）可知：，
则，即
，则，
又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时
取等，令，，则，即，则，综上，
，即证.()()0002y f x g x ==--()()()000022ln 1cos f x g x x x =--=++()01x >-()2ln(1)cos f x x x =++(1)x >-()()12ln(1)cos 1h x f x ax x x ax =--=++--(1)x >-()0h x ≤(1,)x ∈-+∞(0)0h =()h x (1,)x ∈-+∞0x =()h x 2
()sin 1
h x x a x '=
--+(0)202h a a '=-=⇒=2a =()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()ln(1)x x x ϕ=+-1()111
x
x x x ϕ'=
-=-
++(1,0)x ∈-()0x ϕ'>()x ϕ(1,0)-(0,)x ∈+∞()0x ϕ'<()x ϕ(0,)+∞()(0)0x ϕϕ≤=ln(1)x x +≤(1,)-+∞cos 1x ≤2a =()()12[ln(1)](cos 1)0h x f x ax x x x =--=+-+-≤2a =()12f x x -≤11111222f k k ⎛⎫⎛⎫
--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112
2f k k ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭21111
112212
2n
k n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ln(1)x x +≤(1,)-+∞ln 1x x ≤-(0,)+∞1x =(0,1)1n x n =
∈+*N n ∈1
ln 1111
n n n n n -<-=
+++11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n
+++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=21
112ln 2ln 42n
k n f k =+⎛⎫
-<= ⎪⎝⎭∑。