2018大二轮高考总复习理数文档：解答题7 第1课时 直线与圆锥曲线位置关系、范围与最值问题

1 依题意知，a2＝b2＋c2＝4，c＝2a＝1，
∴b2＝a2－c2＝3， x2 y2
所以，椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1．
(2)设过椭圆 C 的右焦点的直线 l 的方程为
y＝k(x－1)，
x2 y2 将其代入 4 ＋ 3 ＝1 中得，
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
其中，Δ＝144(k2＋1)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
3k2k－1
当
3
k＝
2时上式不成立，因此
t＝
k3－2
．
k3－2k2＋k－2 k－2k2＋1 t>3 等价于 k3－2 ＝ k3－2 <0，
k－2 即k3－2<0．
3
因此得Error!或Error!解得
2<k<2．
故
k
3
的取值范围是(
2，2)．
解决范围问题的常用方法 (1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． (3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．
第二单元 高考压轴大题冲关 解答题 07：解析几何
年份 2017
2016 2015 2014 2013
卷别
具体考查内容及命题位置
Ⅰ卷 Ⅱ卷
Ⅲ卷
甲卷 乙卷 丙卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
Ⅰ卷
Ⅱ卷
轨迹方程的求法，平面向量的坐标运算·T20 椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系·T20 直线与抛物线的位置关系，直线方程，圆的方 程·T20 椭圆性质，直线与椭圆的综合应用·T21 轨迹方程的求解、直线和椭圆的综合应用·T20 直线与抛物线的综合应用·T20 直线与圆锥曲线的综合问题·T20 直线与圆锥曲线的综合问题·T20 椭圆的标准方程、离心率及直线与椭圆的位置关 系·T20 椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系·T20
第一课时 直线与圆锥曲线位置关系、范围与最值问 题
基本考点——直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线与圆锥曲线公共点的 2 种常用方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x) 得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
(2017·宁夏大学附中二模)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)，过点 C(－2,0)的直线 l 交 抛物线于 A，B 两点，坐标原点为 O，O→A·O→B＝12.阿凡题1083965
(1)求抛物线的方程； (2)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程． [思路点拨] (1)设 l∶x＝my－2，代入 y2＝2px，可得根与系数的关系，再利 O→A O→B 用 · ＝12，可得 x1x2＋y1y2＝12，代入即可得出． (2)由(1)可得 y2－4my＋8＝0.设 AB 的中点为 M，可得|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2) －4＝4m2－4，又|AB|＝ 1＋m2|y1－y2|＝ 1＋m216m2－32，联立解出 m 即可得出． 【解】 (1)设 l：x＝my－2，代入 y2＝2px，可得 y2－2pmy＋4p＝0.(*) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，
1 x2－
4
1
1
13
x＋
【解】 (1)设直线 AP 的斜率为 k，k＝ 2 ＝x－2，因为－2＜x＜2，
所以直线 AP 斜率的取值范围是(－1,1)．
(2)联立直线 AP 与 BQ 的方程Error!
－k2＋4k＋3 解得点 Q 的横坐标是 xQ＝ 2k2＋1 ．
( )1
x＋ 因为|PA|＝ 1＋k2 2 ＝ 1＋k2(k＋1)，
点，且满足|CD|＝ 4 ，求直线 l 的方程．
解：(1)由题设知Error!解得Error! x2 y2
∴椭圆的方程为 4 ＋ 3 ＝1． (2)由题设，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1，
2|m| ∴圆心到直线 l 的距离 d＝ 5 ，
5 由 d<1 得| m|< 2 .(*)
42 1－ m2 ∴|CD|＝2 1－d2＝2 5 ＝ 5 5－4m2．
1 12 12 144
因此△AMN 的面积 S△AMN＝2×2× 7 × 7 ＝ 49 ． (2)由题意 t>3，k>0，A(－ t，0)．
x2 y2 将直线 AM 的方程 y＝k(x＋ t)代入 t ＋ 3 ＝1 得 (3＋tk2)x2＋2 t·tk2x＋t2k2－3t＝0．
t2k2－3t
t3－tk2
范围．
c2 1 解：(1)由已知，有a2＝3，又由 a2＝b2＋c2，可得 a2＝3c2，b2＝2c2．
k－1k＋12 |PQ|＝ 1＋k2(xQ－x)＝－ k2＋1 ， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3． 令 f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为 f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
( ) ( ) 1
1
1
－1，
，1
所以 f(k)在区间 2 上单调递增， 2 上单调递减，因此当 k＝2时，|PA|·|PQ|取得
x2 y2 (2016·全国甲卷)已知椭圆 E： t ＋ 3 ＝1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点， 斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA． 阿凡题1083966 (1)当 t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当 2|AM|＝|AN|时，求 k 的取值范围． 【解】 设 M(x1，y1)，则由题意知 y1>0．
8k2
4k2－12
则 x1＋x2＝3＋4k2，x1x2＝ 3＋4k2 ，
8k3
－6k
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝3＋4k2－2k＝3＋4k2，
( ) x1＋x2 y1＋y2
，
因为 P 为线段 AB 的中点，所以，点 P 的坐标为 2
2 .故点 P 的坐标为
( ) 4k2 －3k ， 3＋4k2 3＋4k2 ，
( ) 1
1
11
|DP|
1
1－
0，
又∵k2＋1＞1，∴0＜k2＋1＜1，∴0＜4 k2＋1＜4.所以，|AB|的取值范围是 4 ．
x2 y2
1
2．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)经过点(0， 3)，离心率为2，左右焦点分别为 F1(－c,0)，
F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程； 1
(2)若直线 l：y＝－2x＋m 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，D 两 |AB| 5 3
( ) ( ) 1 1 3 9
－，
，
(2017·浙江卷)如图，已知抛物线 x2＝y，点 A 2 4 ，B 2 4 ，抛物线上的
( ) 1 3
－ ＜x＜ 点 P(x，y) 2 2 .过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q．
阿凡题1083967
(1)求直线 AP 斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
1
又直线 PD 的斜率为－k，直线 PD 的方程为
( ) －3k 1 4k2 x－ y－3＋4k2＝－k 3＋4k2 ，
( ) k2
k2
，0
令 y＝0 得，x＝3＋4k2，则点 D 的坐标为 3＋4k2 ，
( ) ( ) k2
4k2
－3k 3 k4＋k2
－
2＋
2
所以，|DP|＝ 3＋4k2 3＋4k2 3＋4k2 ＝ 3＋4k2 ，
考向 02: 圆锥曲线中的最值问题
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： 一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进 行求解； 二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数， 然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!
得 x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得 x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3．
[ ]1
15
1＋－ 2 [m2－4m2－3]
∴|AB|＝2ຫໍສະໝຸດ ＝ 2 4－m2．|AB| 5 3 4－m2
3
由|CD|＝ 4 得 5－4m2＝1，解得 m＝± 3 ，满足(*)．
27
最大值16．
x2 y2
3
1．(2017·日照二模)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F(－c,0)，离心率为 3 ，
b2 点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2＋y2＝ 4 截得的线段的长为
43 c，|FM|＝ 3 ．
(1)求直线 FM 的斜率；
(2)求椭圆的方程； (3)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 2，求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值
y21 y2 则 x1x2＝2p·2p＝4．
O→A O→B ∵ · ＝12，∴x1x2＋y1y2＝12，即 4＋4p＝12， 得 p＝2，抛物线的方程为 y2＝4x． (2)由 (1)(*)化为 y2－4my＋8＝0． y1＋y2＝4m，y1y2＝8． 设 AB 的中点为 M， 则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，① 又|AB|＝ 1＋m2|y1－y2|＝ 1＋m216m2－32，② 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2， 解得 m2＝3，m＝± 3． ∴直线 l 的方程为 x＋ 3y＋2＝0 或 x－ 3y＋2＝0．
Ⅰ卷 曲线与方程及直线与椭圆的位置关系·T20
Ⅱ卷
椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关 系·T20
命题分析
1.解答题第 20 题 压轴题一般考查解 析几何的有关内容， 难度较大． 2．本题常考查直 线与圆锥曲线的位 置关系、最值、范 围、定点、定值、 存在性问题及证明 问题，多涉及最值 与范围的求解，综 合性强.
求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利
用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0．
(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此 时注意观察方程的二次项系数是否为 0，若为 0，则方程为一次方程； 若不为 0，则将方 程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解．
由 x1·(－ t)＝ 3＋tk2 ，得 x1＝ 3＋tk2 ，
6 t1＋k2
故|AM|＝|x1＋ t| 1＋k2＝ 3＋tk2 ．
1
由题设，直线 AN 的方程为 y＝－k(x＋ t)，
6k t1＋k2
故同理可得|AN|＝ 3k2＋t ．
2
k
由 2|AM|＝| AN|，得3＋tk2＝3k2＋t，
x2 y2 1．(2017·潍坊实验中学模拟)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)，其短轴的一个端点与 两个焦点构成面积为 3的正三角形，过椭圆 C 的右焦点作斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 C
相交于 A、B 两点，线段 AB 的中点为 P．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
|DP| (2)过点 P 垂直于 AB 的直线与 x 轴交于点 D，试求|AB|． 解：(1)设右焦点的坐标为(c,0)，易知面积为 3的正三角形的边长为 2，
又|AB|＝ x1－x22＋y1－y22
＝ k2＋1[x1＋x22－4x1x2]
[ ] 64k4 44k2－12
k2＋1
－
＝
3＋4k22 3＋4k2
12k2＋1 ＝ 3＋4k2 ．
3 k4＋k2
3＋4k2
|DP| 12k2＋1 1 k2 1
1
1－
所以，|AB|＝ 3＋4k2 ＝4 k2＋1＝4 k2＋1，
x2 y2 (1)当 t＝4 时，E 的方程为 4 ＋ 3 ＝1，A(－2,0)．
π 由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为4．
x2 y2 因此直线 AM 的方程为 y＝x＋2. 将 x＝y－2 代入 4 ＋ 3 ＝1 得 7y2－12y＝0．
12
12
解得 y＝0 或 y＝ 7 ，所以 y1＝ 7 ．
13
13
∴直线 l 的方程为 y＝－2x＋ 3 或 y＝－2x－ 3 ．
常考热点——范围与最值问题
考向 01: 圆锥曲线中的范围问题
(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系． (2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的 问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征，判别式法或基本不等式等灵活处 理．