初升高数学暑假衔接(人教版)综合测试第4章：指数函数与对数函数(教师版)

第4章：指数函数与对数函数基础检测卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．函数()3
2x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点（
）
A ．()0,1
B ．()0,3
C ．()3,3
D ．()
4,1【答案】C
【解析】对于函数()f x ，则30x -=，可得3x =，则()0
323f a =+=，
所以，函数()3
2x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点坐标为()3,3.故选：C.
2．设3484log 4log 8log log 16m ⋅⋅=，那么m 等于（）
A ．
92
B ．9
C ．18
D ．27
【答案】B
【解析】348lg 4lg8lg lg log 4log 8log 2lg3lg 4lg8lg3
m m
m ⋅⋅=
⨯⨯== ,lg 2lg3lg9m ∴==，9m ∴=，故选：B.
3．函数()()
2
3log 1f x x =+的值域为（
）A ．()0,∞+B ．[)
0,∞+C ．()
1,+∞D ．[)
1,+∞【答案】B
【解析】令21u x =+，则1u ≥，
又3log y u =在[)1,+∞上单调递增，所以()
2
33log 1log 10x +≥=，
故函数()f x 的值域为[)0,∞+．故选：B ．
4．碘—131经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是8天（即经过8天的时间，有一半的碘—131会衰变为其他元素）.今年3月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘—131，到3月25日凌晨，测得该容器内还剩有2毫克的碘—131，则3月1日凌晨，放入该容器的碘—131的含量是（）
A ．8毫克
B ．16毫克
C ．32毫克
D ．64毫克
【答案】B
【解析】设3月1日凌晨放入该容器的碘—131的含量是x 毫克，
由题意，3月1日凌晨到月25日凌晨共经历了3个半衰期，所以3
1()22
x ⋅=，
解得16x =，即放入该容器的碘—131的含量是16毫克.故选：B
5．若函数(31)4,1
()log ,1a
a x a x f x x x -+<⎧=⎨
≥⎩对任意12,x x ≠都有2121()()0f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（）
A ．()01，
B ．103⎛⎫
⎪
⎝⎭，C ．]
1(,17D ．1173⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
，【答案】D 【解析】由
2121
()()
0f x f x x x -<-得，()f x 在R 上是减函数，
则有01310314log 1
a a a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-+≥⎩
，解得1
17
3
a ≤<
.故选：D.
6．已知函数(log )a y x c =+（,a c 为常数，其中0,1a a >≠）的图象如图所示，则下列结论成立的是（
）
A ．1,1a c >>
B ．1,01a c ><<
C ．01,1a c <<>
D ．01,01
a c <<<<【答案】D
【解析】由函数图象可知函数为单调递减函数，结合(log )a y x c =+可知01a <<，
当1x =时，log 1)0,1,0(1
a c c c +<∴+>∴>，当0x =时，log 0,01a c c >∴<<，故01c <<，故选：D
7．函数32()236f x x x x =-+-在区间[2,4]-上的零点必属于区间（）
A ．[2,1]-
B ．[2.5,4]
C ．[1,1.75]
D ．[1.75,2.5]
【答案】D
【解析】解法一：二分法
由已知可求得，(2)280f -=-<，(1)40f =-<，37
(2.5)08
f =
>，(4)380f =>，97
(1.75)064
f =-
<.对于A 项，因为()(2)10f f ->，所以A 项错误；对于B 项，因为()()2.540f f >，所以B 项错误；对于C 项，因为()()1 1.750f f >，所以C 项错误；对于D 项，因为()()1.75 2.50f f <，所以D 项正确.
解法二：因为()()
322
()23623f x x x x x x =-+-=-+，所以()20f =，
即函数32()236f x x x x =-+-在区间[2,4]-上的零点为2，故D 正确.故选：D.
8．已知1
3
12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，21log 3b =，121log 3c =，则（）
A ．a b c >>
B ．a c b
>>C ．c a b
>>D ．c b a
>>【答案】C
【解析】因为12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故1
10
3111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，故2
21
log log 103
b =<=，因为12log y x =在()0,∞+上单调递减，故1122
11log log 132=>=c ，故c a b >>.故选：C ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列运算中正确的是（）
A ．
383log 8
log 5log 5
=B
13
6
a =C ．若114a a -+=，则1
12
2
3
a a -+=D ．()2log 7
1ln ln e 7
2-⎛⎫+= ⎪
⎝⎭
【答案】BD
【解析】对于选项A ，由换底公式可得
353log 8
log 8log 5
=，故A 不正确；对于选项B
2
23
13
3
33262a a a a +=⋅==，故B 正确；
对于选项C ，设1
1
22a a t -+=()0t >，两边分别平方可得122a a t -++=，因为114a a -+=，所以216t =，故1
1
224a a -+=，故C 不正确；对于选项D ，()22log 7
log 71ln ln e 2ln17072-⎛⎫
+=+=+= ⎪
⎝⎭
，故D 正确．故选：BD ．
10．关于函数()()01x
f x a a a =>≠，且与函数()()lo
g 01a g x x a a =>≠，且说法正确的有（
）
A ．()()f x g x 与互为反函数
B ．()()f x g x 与的图像关于原点对称
C ．()()f x g x 与必有一交点
D ．()()f x g x 与的图像关于y x =对称
【答案】AD
【解析】()()0,1x
f x a a a =>≠与函数()()lo
g 0,1a g x x a a =>≠是互为反函数，
图像关于y x =对称，故AD 选项正确;
()()f x g x 与的图像不关于原点对称，故B 选项错误;
当1a >时,()()f x g x 与没有交点，故C 选项错误;故选:AD.
11．（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x x
f x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的是（
）
A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1
B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-
C ．()f x 的最大值是()02f =
D ．()f x 的最小值是()16
f =-【答案】ACD
【解析】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
又函数()2
224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在[]1,3上单调递减，
因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；
()()max 02f x f ==，故C 正确；
()10
19
f -=
，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确．故选:ACD ．12．关于函数()|ln |2||f x x =-，下列描述正确的有（）
A ．()f x 在区间(1,2)上单调递增
B ．()y f x =的图象关于直线2x =对称
C ．若1212,()(),x x f x f x ≠=则124x x +=
D ．()f x 有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】根据图象变换作出函数()f x 的图象（()ln 2f x x =-，作出ln y x =的图象，
再作出其关于y 轴对称的图象，然后向右平移2个单位，最后把x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去即可得），如图，
由图象知()f x 在(1,2)是单调递增，A 正确，函数图象关于直线2x =对称，B 正确；12()()f x f x k ==，直线y k =与函数()f x 图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是12,x x ，则124x x +=不成立，C 错误，
()f x 与x 轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D 正确．故选：ABD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13
．求函数y =的定义域______．【答案】(,3][1,)
-∞-⋃+∞【解析】要使原函数有意义，则2ln(22)0x x +-≥，即2221x x +-≥，解得3x ≤-或1x ≥．
所以，函数()f x =(,3][1,)-∞-⋃+∞．故答案为：(,3][1,)
-∞-⋃+∞14．设a ∈R ，22
()()21
x x
a a f x x ⋅+-=∈+R ，()f x 为奇函数，则a 的值为__________．【答案】1
【解析】要使()f x 为奇函数，∵x ∈R ,∴需()()0f x f x +-=，
∴()()1
222,212121
x x x x
f x a f x a a +-=--=-=-+++，由1
2202121x x x a a +-+-=++,得()2212021
x x a +-=+,1a ∴=．故答案为：1.
15．已知函数()34x f x x =--在区间[1,2]上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：
(1.6000)0.200f ≈，(1.5875)0.133f ≈，(1.5750)0.067f ≈，(1.5625)0.003f ≈，(1.5562)0.029f ≈-，(1.5500)0.060f ≈-，据此可得该零点的近似值为________．（精确到0.01）
【答案】1.56
【解析】因为(1.5625)0.003f ≈，(1.5562)0.029f ≈-，即(1.5625)(1.5562)0f f ⋅<，
所以由零点存在定理可知()f x 的零点在()1.55621.5625，
之间，近似值为1.56.故答案为：1.56.16．若方程2310x ax +-=的两根分别在区间(1,0)-和(0,1)内，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(2,2)
-【解析】令()2
31f x x ax =+-，
因为方程2310x ax +-=的两根分别在区间(1,0)-和(0,1)内，所以()()()131********f a f f a ⎧-=-->⎪
=-<⎨⎪-=+->⎩
，解得22a -<<，故答案为：(2,2)
-四．解答题：本小题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）化简：12211133
3424234x y x y x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
（2）计算：20.5
23
3
274920.0088925
-
-
⎛⎫⎛⎫-+⨯
⎪ ⎝⎭
⎝⎭
．【答案】（1）24y （2）
19
【解析】（1）122
111333424234x y x y x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()122111333424234x y --+
=-⨯⨯-24y =；
（2）()2
0.5
2
3
3274920.0088925-
-⎛⎫⎛⎫-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭2
2
333
3
3122525--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
47293=-+19=.18．已知函数()x
f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点12,9⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
（1）求a 的值；
（2）比较()2f 的()2
2f b +的大小；
（3）求函数()()2
20x x
g x a x -=≥的值域．
【答案】（1）a 1
3
=
；（2）答案见解析；（3）(]
0,3【解析】（1）因为函数()x
f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点12,9⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
所以，()2
129
f a ==
，因为0a >且1a ≠，解得1
3
a =.
（2）因为函数()13x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
为R 上的减函数，且222b +≥，
当0b =时，222b +=，则()
()2
22f b f +=，当0b ≠时，222b +>，则()
()2
22f b f +<.
综上所述，当0b =时，()()222f b f +=；当0b ≠时，()
()2
22f b f +<.
（3）因为0x ≥，则()2
22111x x x -=--≥-，当且仅当1x =时，等号成立，
所以，()(]2210,33x x
g x -⎛⎫
=∈ ⎪
⎝⎭
.
19．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单
位：2
m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1x
y ka k a =>>与()1
20,0y px k p k =+>>可供
选择.
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.（参考数据：lg20.3010≈，
lg30.4711≈）.
【答案】（1）选择模型()0,1x
y ka k a =>>符合要求，解析式为*323,112,N 32x
y x x ⎛⎫
=⋅≤≤∈ ⎪⎝⎭
；（2）6
【解析】（1）函数(0,1)=>>x
y ka k a 与12
(0,0)y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，
随着x 的增加，函数(0,1)=>>x y ka k a 的值增加的越来越快，而函数1
2y px k =+的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求.根据题意可知2x =时，24;3y x ==时，36y =，2
32436ka ka ⎧=∴⎨=⎩，解得323
32k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
.
故该函数模型的解析式为*323,112,32x
y x x ⎛⎫
=⋅≤≤∈ ⎪⎝⎭
N ；
（2）当0x =时，323y =
，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是2
32m 3
，由3233210323x
⎛⎫⋅>⋅ ⎪⎝⎭，得3102x
⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，2
3lg101
log 10 5.93lg3lg2lg 2
x ∴>=
=-，*,6x x ∈∴≥N ，
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.
20．设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()12f =.（1）求a 的值及()f x 的定义域；
（2）求()f x 在区间30,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值.
【答案】（1）2，(1,3)-；（2）2.
【解析】（1）∵(1)=2f ，∴log 2log 22(0,1)a a a a +=>≠，∴=2a .
由1+>03>0x x -⎧⎨⎩
，解得13x -<<，
∴函数()f x 的定义域为(1,3)-.
（2）2
2222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦，
∴当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数，
函数()f x 在30,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值是2(1)log 42f ==.
21．已知函数()()
2log 21x
f x kx =+-是偶函数．
（1）求k 的值；（2）若函数()()[]12
24,1,2f x x
x h x m x +=+⋅∈，且()h x 在区间[1,2]上为增函数，求m 的取值范围．
【答案】（1）1
2
k =
；（2）1[,)
8-+∞【解析】（1）由()f x 是偶函数可得，()()0
f x f x --=则()()()22lo
g 21log 210x x
k x kx -+---++=，即2212log 21
x x kx x -+==+,
所以(21)0k x -=恒成立，故12102
k k -=⇒=
.（2）由（1）得()()21log 212
x
f x x =+-
，所以()21()log (2
1)
2
2
424421x
f x x
x x x x h x m m m ++=+⋅=+⋅=⋅++，
令[]2,1,2x t x =∈，则[]2
1,2,4y mt t t =++∈．
为使()h x 为单调增函数，则①0m =时显然满足题意；②001
22m m m >⎧⎪
⇒>⎨-≤⎪⎩；③0
101
842m m m
<⎧⎪
⇒-≤<⎨-≥⎪⎩.综上：m 的范围为1,8⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
.
22．已知函数2
6,0
()22,0x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩
．（1）求不等式()5f x >的解集；
（2）若函数2
()()2
m g x f x =-有三个零点，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）(1,0](3,)-⋃+∞；（2
）(2,2)-⋃【解析】（1）当0x ≤时，由65x +>，得10-<≤x ；
当0x >时，由2225x x -+>，得3x >，综上所述，不等式的解集为：(1,0](3,)-⋃+∞．
（2）函数2()()2m g x f x =-有三个零点，即方程2
()02
m f x -=有三个不同实数根，
等价于函数()y f x =与函数2
2
m y =的图象有三个不同的交点，如图所示，
由图可知，2
122
m <<，解得2m -<<2m <<，
所以实数m 的取值范围为：(2,2)-⋃．。