浙江省2016届高三下学期六校联考数学(理)试题

2016届浙江省六校联考
数学（理科）试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

考试时间为120分钟。

参考公式：
柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13
V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
台体的体积公式1122
1()3V h S S S S = 其中12,S S 分别表示台体的上,下底面积
球的表面积公式24S R π= 其中R 表示球的半径，h 表示台体的高
球的体积公式3
43
V R π=
其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.已知集合{}
2
=430A x x x -+<，{}
24B x x =<<，则A B =
A ．（1，3）
B ．（1，4）
C ．（2，3）
D ．（2，4）
2.已知直线1:(3)453l m x y m ++=-与2:2(5)8l x m y ++=，则“12//l l ”是“7-=m ” 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3.已知空间两条不同的直线m ，n 和平面α，则下列命题中正确的是
A ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥
B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ⊥
C ．若//m α，//n α，则//m n
D ．若m α⊂，//n α，则//m n 4.将函数π
sin(4)3
y x =+
的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π6个单
位，得到的函数的图像的一个对称中心为
A ．（
π16，0） B ．（π9，0） C ．（π4，0） D ．（π
2
，0） 5.等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2
120dx a x +≥的解集为[0，9]，则使数列
{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6.已知O 为坐标原点，双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，以OF 为直径作
圆交双曲线的渐近线于两点A ，B （异于原点），若()0AO AF OF +⋅=
，则双曲线的离 心率e 为
A ．3
B ．2
C 3
D 27.设m 为不小于2的正整数，对任意n ∈Z ，若n qm r =+（其中q ，r ∈Z ，且0r m <≤）， 则记()m f n r =，如2(3)1f =，3(8)2f =.下列关于该映射:m f →Z Z 的命题中，不正．． 确．
的是 A ．若a ，b ∈Z ，则()()()m m m f a b f a f b +=+
B ．若a ，b ，k ∈Z ，且()()m m f a f b =，则()()m m f ka f kb =
C ．若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f a c f b d +=+
D ．若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f ac f bd = 8.如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB =，4CD =，5BC =
E ，
F 分别为AD ， BC 的中点。

如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P 使得λ=⋅PF PE 成立，那么λ的取值范围是
A ．（54-
，920-） B ．（920-，11
4） C ．（920-，14-） D ．（54-，11
4
）
非选择题部分（共
110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36
分.
9.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为______，表面积为
______. 10.已知2
cos 2cos 2sin
3)(2x
x x x f -=
，则)(x f 的最小正周期为 ______，单调递减区间为______.
（第9题图）
E
F
A B
D
P
（第8题图）
11.设函数⎩⎨
⎧∈--∈=]
4,2(,28]
2,1[,2)(x x x x f x
则2(log 3)f =______，若(())f f t ∈[0，1]，则实数t 的取值范围是
______.
12.动直线l ：(31)(1)660x y λλλ++-+-=过定点P ，则点P 的坐标为______，若直
线l 与 不等式组 0022x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是_____.
13.在ABC ∆中，点D 满足23BD BC =
，点E 是线段AD 上的一个动点（不含端点），
若BE AB AC λμ=+ ，则μ
λ1+=______.
14.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为正方形边上的动点， 现将△ADE 所在平面沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射 影H 在直线AE 上，当E 从点D 运动到C ，再从C 运动到B ， 则点H 所形成轨迹的长度为______.
15.设a ，b ，c ∈R ，对任意满足1≤x 的实数x ，都有12
≤++c bx ax ，则c b a ++
的最大可能值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.如图所示，在四边形ABCD 中， D ∠=2B ∠，且1AD =，3CD =，3cos B =
（I ）求△ACD 的面积；
（II ）若23BC =AB 的长．
17.如图（1），在等腰梯形CDEF 中，,CB DA 是梯形的高，2AE BF ==，22AB = 现将梯形沿CB ，DA 折起，使//EF AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如 图（2）示，已知M ，N 分别为AF ，BD 的中点．
A
D C
C
D
D
（第14题图）
（I ）求证：//MN 平面BCF ； （II ）若直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为2
2
，求平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角大小.
18.已知函数2
()(0,1)ax f x a b x b =
>>+，满足：(1)1f =，且)(x f 在R 上有最大值4
2
3． （I ）求)(x f 的解析式；
（II ）当x ∈[1，2]时，不等式m
x x m
x f -+≤
)2(3)(2
恒成立，求实数m 的取值范围．
19.如图，椭圆1C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>和圆2C ：222x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，
且圆2C 的面积为π。

椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A ，B ，直线EA ，EB 与椭圆1C 的另一个交点分别是点P ，M ．
（I ）求椭圆C 1的方程；
（II ）求△EPM 面积最大时直线l 的方程．
20.已知数列{}n a 满足：114()2n n n
a a a +=+； （I ）若341
20
a =
，求1a 的值； （II ）若14a =，记|2|n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：3
8<n S
x
y
P M
B
E
A
O
2016届浙江省六校联考 数学（理科）答案
一、选择题
1.C
2.C
3.A
4.D
5.B
6.D
7.A
8.C
二、填空题（第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分） 9.
3π ， 15
22
+ 10. 2π ， 25(2,2)33k k k Z ππππ+
+∈ 11. 3， 279[log ,]24 12. (0,6)- 7
13
λ≤≤ 13. 1
2
14．π 15. 3
三、解答题
16. 解：（Ⅰ）3
1
1cos 22cos cos 2
-=-==B B D ………………………（2分） 因为()0,D π∠∈，所以22
sin D =4分） 所以△ACD 的面积1
sin 22
S AD CD D =
⋅⋅⋅=7分） （Ⅱ）解法一：在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ， 所以23AC =9分） 在△ABC 中，12cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ……………（12分）
把已知条件代入并化简得：042=-AB AB 因为0AB ≠，所以4AB = ……（15分） 解法二：在△ACD 中，在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ， 所以23AC =9分）
因为BC =sin sin AC AB
B ACB =∠，所以 ()
sin 2AB B π=-，………（12分） 得4AB =．…………………………………………………………………………（15分） 17. 解：（Ⅰ）证明：连AC ，∵四边形ABCD 是矩形，N 为BD 中点，
∴N 为AC 中点.
在ACF ∆中，M 为AF 中点，故//MN CF .
∵CF ⊂平面BCF ，MN ⊄平面BCF ，//MN ∴平面BCF .……………………（4分） （Ⅱ）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =
∴AD ⊥平面ABFE ，过点E 作EH AB H ⊥于点，连接DH DE ∴在面ABCD 上的射影是DH .
所以EDH ∠为DE 与平面ABCD 所成的角。

……………………………（6分） 所以：2
tan HE EDH DH ∠=
=
所以：2,2DH DA =设P EF ∈且AP EF ⊥，分别以,,AB AP AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 则(0,0,0),2),(2,2,0),(32,2,0)A D E F -
2),(2,2,0),(2,2,2),(22,0,0)AD AE DE DC ==-=--=
………………………………（9分）
设(,,),(,,)m x y z n r s t ==
分别是平面ADE 与平面CDFE 的法向量
令00
,00m AD n DC m AE n DE ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
， 即20220
,2202220z x x x y z ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨-+=-=⎪⎪⎩⎩
取(1,1,0),(0,1,1)m n ==
………………………………（13分）
则1
cos ,2m n m n m n <>==
∴平面ADE 与平面CDFE 所成锐二面角的大小为
π
3
. ……………………（15分） 18. 解：（1）因为(1)1f =，得：1a b =+， …………………2分
又因为max ()f x =
=
…………………4分
解得：32a b =⎧⎨=⎩ 或 32
12a b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（舍） 即：2
3()2
x
f x x =+ …………………6分 （2）解法一：因为
2
3(2)m
x x m
+-在[1,2]x ∈恒有意义，(,1)(2,)m ∴∈-∞+∞U …8分 则问题为
22
332(2)x m x x x m ≤++-即||
m
x x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立， 即0≤--m m x x 对]2,1[∈x 恒成立
令()g x x x m m =--，()0g x ≤对]2,1[∈x 恒成立，
由()()110
2220
g m m g m m ⎧=--≤⎪⎨
=--≤⎪⎩ 得434≤≤m …………10分
整理得⎩⎨⎧<-+-≥--=)(,)
(,)(2
2m x m mx x m x m mx x x g 问题转化为：求)(x g 在]2,1[上的最大值0)(max ≤x g ① 当
23
4
≤≤m 时，{})2(),1(max )(max g g x g = m g g 34)2(,1)1(-=-=
35
34≤≤m 时，)1()2(g g ≥ 235≤<m 时，)2()1(g g >，23
4
≤≤∴m 成立 …………12分 ② 当42≤<m 时，04
2)(2
max
≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m m g x g
42≤<∴m …………14分
又(,1)(2,)m ∈-∞+∞U
综上，实数m 的取值范围为24m <≤ ………………15分 解法二： 因为
2
3(2)m
x x m
+-在[1,2]x ∈恒有意义，(,1)(2,)m ∴∈-∞+∞ ……8分
问题即为
22
332(2)x m x x x m ≤++-对[1,2]x ∈恒成立，即||
m
x x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立， m x m x -≤
m m
x m x x
-≤-≤ …………………10分 ① 1x =显然成立
当1x ≠时，2
1x m x ≤
- 4m ≤
② 对于21x m x ≥+对(1,2]x ∈恒成立，等价于2
max ()1
x m x ≥+，
令1t x =+，(1,2]x ∈，则1x t =-，(2,3]t ∈，
22(1)121x t t x t t -==+-+，(2,3]t ∈递增， 2max 4()13x x ∴=+， 即4
3
m ≥，
综上，实数m 的取值范围为24m <≤ …………………15分
19. 解：（1）由题意得：1b =，则3a b =，所以椭圆方程为：2
219
x y +=………………5分 （2）由题意得：直线,PE ME 的斜率存在且不为0，PE EM ⊥， 不妨设直线PE 的斜率为(0)k k >，则:1PE y kx =-
由：2
2
11
9y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
或01x y =⎧⎨=-⎩ 所以：22
21891:(,)9191k k P k k -++ 同理得:2
22189:(,)99
k k M k k --++ 2110PM
k k k
-= ………………8分 由22
11
y kx x y =-⎧⎨+=⎩，得：22221:(,)11k k A k k -++， 所以：21
2AB k k k -=
所以：3
4222
1
162()
1162()9
29829982EPM k k k k S PE EM k k k k ∆++=⋅==++++ ………………12分 设1t k k =+， 则216216227
649648
9EPM t S t t t
∆==≤
++ ……13分 当且仅当183t k k =+=时取等号，所以12
73
k k -= 则直线2111
:()22k AB y x k x k k
-==- 所以所求直线l 方程为：7
3
y x =± ………………15分
20. 解：（1）2222
411458
()20225
a a a a =+∴==Q
或 .........2分
当25
=
2a 时，解得1=14a 或 .........4分
当28
=5
a 时，无解 所以，1=14a 或 .........6分
(2)方法1：22114112(4)(44)(2)222n n n n n n n n
a a a a a a a a +-=
+-=-+=-Q ① 2211411
2(4)(44)(2)222n n n n n n n n
a a a a a a a a ++=++=++=+ ②
①/②得，因为2
12
12(2)2(2)n n n n a a a a ++--=
++ .........9分 12124212124
121(2)(2)(2)(2)1....()()(2)(2)(2)(2)3n n n n n n n n a a a a a a a a ----------∴=====++++ 1
1
2
211()3211()
3
n n n a --+∴=⋅- .........12分 1
11
2
22
11()443|2|2213311()3
n n n n n a ---+-=⋅-=<--
121
21|2||2| (2)
1144421832...2()2(1)1339333
13
n n n n n S a a a --∴=-+-++--<+++=+=+-<
-.........14分 方法2：因为14a =，211
2(2)02n n n
a a a +-=-> 又因为14a =，所以2n a >
所以2
1402n n n n
a a a a +--=<，所以{}n a 为单调递减数列
所以24n a <<
2111
224
n n n a a a -=-< 121
2(2)(2)24
n n n n n a a a a a +--=
-<-， 111112()(2)2()44n n n a a ---≤-=⋅
所以：
121221...22...221121822()...2()2(1())444343
n n n n n S b b b a a a -=+++=-+-++-≤++⋅++⋅=+-<。