人教版高中数学必修二第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积和体积(教师版)

空间几何体的表面积和体积
能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积；
用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题．
一、展开图定义
一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图．
二、特殊几何体的定义
1.直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．
2.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
3.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．
正棱锥的性质：
（ 1）正棱锥的侧棱相等；
（ 2）侧面是全等的等腰三角形；
（ 3）侧棱、高、底面构成直角三角形．
4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台．
正棱台的性质：
（ 1）正棱棱台的侧棱长相等
（ 2）侧面是全等的等腰三角形；
（ 3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形．
三、侧面积与表面积公式
1.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式
（1）设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则直棱柱侧面积计算公式： S 直棱柱侧＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．
（2）设正 n 棱锥的底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h′，则正 n 棱锥的侧面积的计算公式：
S 正棱锥侧＝= . 即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．
（3）设正 n 棱台下底面边长为 a、周长为 c，上底面边长为 a′、周长为 c′，斜高为h′，则正 n 棱台的
侧面积公式： S 正棱台侧＝ (4)
棱柱、棱锥、棱台的表面积 (或全面积 )等于底面积与侧面积的和，即 S 表＝S 底＋ S 侧.
2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式 (1) S 圆柱侧＝ (r 为底面半径， l 为母线长 )． (2) S 圆锥侧＝ (r 为底面圆半径， l 为母线长 )．
(3) S 圆台侧＝ (R 、r 分别为上、下底面半径， l 为母线长 )．
(4)
圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即
S 表＝S 底＋ S 侧.
(5) 若圆锥底面的半径为 r ，侧面母线长为 l ，侧面展开图扇形的圆心角为 则， r
360 3. 由球的半径 R 计算球表面积的公式： S 球＝ .即球面面积等于它的大圆面积的 4 倍．
四、体积
1.长方体的体积： 长方体的长、宽和高分别为 a 、 b 、 c ，长方体的体积 V 长方体＝ abc 2．棱柱和圆柱的体积：
(1)柱体 (棱柱、圆柱 )的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积，即 V 柱体＝ Sh. (2)底面半径是 r ，高是 h 的圆柱体的体积计算公式是 V 圆柱＝ . 3．棱锥和圆锥的体积：
(1)如果一个锥体 (棱锥、圆锥 )的底面积为 S ，高是 h ，那么它的体积 V 锥体＝ Sh. (2)如果圆锥的底面半径是 r ，高是 h ，则它的体积是 V 圆锥＝
5．球的体积：
如果球的半径为 R ，那么球的体积 V 球 ＝ . 6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．
这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得 的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等底面积、等高 的两个柱体或锥体的体积相等．
7. 球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的
一段劣 弧的长度。

我们把这个弧长叫做两点的球面距离．
类型一 表面积
例 1： 已知正四棱台的上、下底面边长分别为 3 和 6 ，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱 台的高是 ( )
4．棱台和圆台的体积： (1)如果台体的上、下底面面积
分别为
(2)如果圆台的上、下底面半径S ′、S ，高是 h ，则它的体积是 V
台体
＝ r ′、r ，高是 h ，则它的体
5 A ． 2 B.2
D.72 解
析：如图，设O1、O分别是正四棱台
上、则OO1是正棱台ABCD－A1B1C1D1
的高，E1、的中点，连接OE、
O1E1，作E1H∥ OO1，则得，3＋62
EE1×4＝ 9＋36，∴ EE1＝5
2.
C．3
下底面的中
心，E分别
是A1D1 E1H＝
O1O，由题
在 Rt △ EHE1中，E1H2＝EE12－
EH2＝25
9
＝
4，
4 4＝ 4，
∴ E1H＝ 2 ，∴ O1O＝ 2. 答案： A 练习 1：
某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是
A ．
32
B ． 16＋16
2
D ．16＋32
2
C．48
答案： B
练习 2：若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这个圆锥的
全面积是
B ． 3 3π D ． 9 π
C．6π 答案： A 练习 3：球的表面积与它的
内接正方体的表面积之比是
()
π
A.3
π
B.4π
π
C.
2 答案： C 例 2：用长为 4，宽为 2 的矩形
做侧面围成一个圆柱， 8
D．π
此圆柱的轴截面面
积为
A．8 B.
4
C.
π
D.
解析：设围成圆柱的底面半径为r，则 2πr＝4，∴ 2r＝π4，∴圆柱的轴
截面面积为
π
48
S＝×2＝ .
ππ或 2πr ＝2，∴ 2r
＝2
π
∴圆柱的轴截面面
积为
28
S＝× 4＝ .
ππ
答案： B
练习 1：某几何体的三视图 (单位： cm)如图所示，则此几何体的表面积是
( ) A ． 90cm
2
B ． 129c
m2
C ． 132cm2
D ． 138cm2 答案： D 练习 2：已知圆锥的表面积为 12π cm 2
，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为 ( )
A. 3cm B ． 2cm C ．2 3cm D ．4cm
答案： B 练习 3：某几何体的三视图 ( 单位： cm)如图所示，则此几何体的表面积是 ( )
A ． 90cm2
B ． 129cm2
C ． 132cm2
D ． 138cm2 答案： D 练习 4：长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3、4、5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球 的表面积是 ____ ． 答案： 50π 类型二 体积
例 3：正三棱锥底面三角形的边长为 1 A.4 3
C.34 解析：如图，作 PO ⊥底面 ABC ， ∵正三角形 ABC 的边长为 3， ∴ AO ＝ 3 × 3＝ 1，
∴ PO ＝ PA 2
－AO 2
＝ 4－1＝ 3，
∴ V P －ABC ＝3× 4 ×( 3) 2
× 3＝ 4 答案： C 练习 1：已知正四棱锥 P － ABCD 的底面边长为 6，侧棱长为 5，求 四棱锥 P － ABCD 的体积和侧面积．
答案： 连接 AC 、BD ，AC 与 BD 的交点为 O ，取 BC 的中点 E ，连接 OE 、
PE 、 PO ，则 PO 为正四棱锥 P －ABCD 的高， PE 为斜高． 由已
知得 OE ＝ 3， OA ＝ 3 2， ∴ PO ＝ PA 2
－OA 2
＝ 25－18＝ 7，
PE ＝ PO 2＋ OE 2
＝ 7＋ 9＝4.
11
∴四棱锥 P － ABCD 的体积 V ＝3× 2×6×6× 7 ＝ 6 7. 1
四棱锥 P －ABCD 的侧面积 S ＝ 2×6×4×4＝ 48.
练习 2：某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是
A ．3
B ．2
3，侧棱长为 2，则其体积为 (
B.12 D.94
所得柱体的体积为 V 2，则有 ( )
A ． V 1>V 2 C ． V 1＝V 2 解析： 以 a 为旋转轴时， 所得几何体的体积
∴ V 1－ V 2＝ ab πb(－ a)，∵ a>b ，
∴ V 1－V 2<0，∴ V 1<V 2，故选 B. 答案： B 练习 1：如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都 是矩形，则该几何体的体积为 ( )
A ． 6 3
B ． 9 3
C ． 12 3
D ． 18 3 答案：由三视图知，该几何体为平行六面体， 由图知高 h ＝ 21 2－ 12
＝ 3. 底面积： S ＝ 3× 3＝ 9， 所以其体积 V ＝ 9 3.
1
练习 2：一个圆柱的高缩小为原来的 1，底面半 径扩大为原来的 n 倍，则所
n
得的圆柱的体积为原来的 ____ ．
答案 ：n 倍．
例 5：在球面上有四个点 P 、A 、B 、 C ，如果 PA 、PB 、PC 两两垂直且 PA ＝PB ＝ PC ＝a ，求这个球 的体积．
解析：由、 PB 、PC 为棱构造正方体，进而求出球的直径，从而得到球的体积．
答案 :∵PA 、 PB 、PC 两两垂直，且 PA ＝PB ＝PC ＝a ， ∴以 PA 、 PB 、 PC 为相邻的三条棱可以构造正方体．
∵P 、 A 、B 、C 四点是球面上的四个点，
∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径，
∴ 2R ＝ 3a ，∴ R ＝ 23a ， 4 3 4
C. 3 D ．1
答案： D. 由三视图可知，该几何体的体积
11
V ＝ 3Sh ＝ 3× 3× 3＝1. 由三视图找出垂直关系是
例 4：将长为 a ，宽为 b(a>b)的长方形以 a 为轴旋转一周， 所得柱体的体积为 V 1，以 b 为轴旋转一周， B ．V 1<V 2 D ．V 1与 V 2 的大小关系不确定
V 1＝ ab 2 * * *π，以 b 为旋转轴时， 所得几何体的体积
V ＝a 2
b π. 3 a ＝ 2 π a 3
. 6 3＝8 6π
. ππ
O 的表面积相等，则球 O 的体积等于
V
4 ∴ V 球＝ π 3
π6
练习 2：平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面α的距离为 2，则此球
的体积为 ( )
A. 6π B ． 4 3π
C．4 6π D ．6 3π
答案： B 本题考查球的截面性质，考查利用公式求球的体积．
设球O的半径为R，则R＝ 12＋ 2 2＝ 3，
故V球＝3πR＝4 3π .
答案： B 3．正四棱柱的体对角线长为6，侧面对角线长为 3 3，则它的侧面积是
答案： 36 2 4．若一棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为示)是边长为
面积为 _____ ．
答案： 3π
5．已知某几何体的俯视图是如图所示矩形．主视图是一个底边
长为图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形．
(1)判断该几何体形状；
(2) 求该几何体的侧面积 S. 答案： (1) 这个几何体是四
棱锥．
7.若圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则这个圆锥的体积是。

答案：3
24
3
8.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5: 2 : 8 ，体积为
14cm3，则棱台的高为
(2) 作出该几何体的直观图，如图，在 Rt△ POF中，PF
＝ 16＋16＝4 2，
∴S△PBC＝12×6×4 2＝ 12 2，在 Rt△POE中，PE＝ 16＋9
＝ 5，所以侧面积为 2(12 2＋ 20)＝24 2＋40.
E、F为AB、BC的中
点，
AB＝8，PO＝4，BC＝
6.
1
∴S△PAB＝2×8×5＝
20，
1．将一个棱长为 a 的正方体，
切成
2
A ． 6a
2
27 个全等的小正方体，则表面积增加了
( ) B． D．
12a2
24a2
2．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体
的顶点， ()
A. 2
C. 6
C.
2
B. 3
D.233
则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为
3、2 的三角形，则该圆锥的侧
3、
8、高为 4 的等腰三角形，左视
；其对角线长为
答案： 2cm
、8
答案： B
A ．2 C ．4
答案： A
5. 已知圆锥的母线长为 8，
A ． 9 55 π
B ．3 D ．6
4.某三棱锥的三视图如图所示， 1. 如果圆锥底面半径为 r ， 基础巩固
轴截面为等腰直角三角形，那么圆锥的全
面积为（
22 r 3
答案： B 2、一个圆台的母线长等底面半径和的一半，且侧面积是 32 ，则母线长为（
答案： C
3、轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是（ 、2:3
A 、1: 2 )
1:
、 1: 4
底面周长为 6π，则它的
体积是 ()
C ．3 55π
D ．3 55
答案： C
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A ． 12
C ．24 答案： C
7．将半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为
8．已知 ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为 a 的正方体， E 、F 分别为棱 AA 1与 CC 1的中点，求四棱锥 A 1－ EBFD 1 的体积．
答案：如图所示，
VA 1－ EBFD 1＝ VA 1－ EBF ＋VA 1－ EFD 1＝ VF － A 1EB ＋ VF － A 1ED 1
a ·a 4＋31·a
能力提升
9. 正过球面上三点 A 、B 、C 的截面到球心的距离是球半径 R 的一半， 且 AB ＝ 6，BC ＝ 8，AC ＝10， 则球的表面积是 ( )
B ． 300 π
400 D. 3 π
4 π R
3
3
4π
答案： 设球的半径为 R ，正方体的棱长为 a ，则 3 ＝a ，∴a ＝ 3 R ，S 正方体＝ 6a ＝6×错误 !
R
2＝3 16π 2×24R 2
，
S 球＝4πR 2＝3 4π 3R 2＝3 16π 2×4π R 2， ∴ S 球＜S 正方体，故选 C.
10. 一圆锥的底面半径为 4，用平行于底面的截面截去底面半径为 1 的小圆锥后得到的圆台是原来
圆锥的体积的 ( )
A.63
B. 1
A.
64
B.
16
B ．18 D ．30
答案： 3
24
π
R
A ． 100 π 100π
C.1
4 D.61
4
答案：已知长方体可以看成直四棱柱 ADD ′ A ′－
BCC ′B ′
π 16
V 圆锥 PO 1＝ 3 · PO 1， V 圆锥 PO ＝ 3 π ·PO ，
∴V 圆台 O 1O ＝V 圆锥 PO －V
圆锥 PO 1 16 π 16 π 1 63 ＝ 3 π·PO － 3 ·PO1＝ 3π·PO － 3 ·4·PO ＝12π·PO ，
63
π · PO
V 圆台 OO 1＝ 12π·PO
＝63
V 圆锥PO ＝ 16 ＝64
3 π· PO
3π
A 2
B 2π
C ．π D
． 4π 答案：由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1
S 圆柱侧 ＝ 2π Rh ＝ 2π × 2×1＝ π .答案：轴截面如图，由题意 PO 1 O 1D 1
PO ＝ OB ＝ 4
，
( 或由：截得小圆锥底半径为 1 ，原来底半径为 积比为 1： 64，∴截得圆台与原来大圆锥的体积比为 11. 如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 何体的全面积为 ( )
4，∴相似比为 1： 4，故小圆锥与原来
大圆锥体 63：64) ．
1 的正方形，俯视图是一个圆，那么
这个几 1
2，高为 1 的圆
π 3π
∴圆柱的全面积为 π＋π
2 ＝
12. 如图所示，在长方体 ABCD － A ′ B ′C 的体积与剩余部分的体积之比．
D ′中，截下一个棱锥 C －A ′DD ′，求棱锥 C －A ′DD S 圆柱
设它的底面ADD′ A′的面积为S，高为h，
1
则棱锥C－A′ DD′的底面积为2S，高是h，
1 1 1
故棱锥C－A′ DD′的体积为V C－A′DD′＝× Sh＝Sh.
3 2 6
15 余下的体积是Sh－Sh＝Sh.
66
所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1：5.
13.如图所示，在边长为 5＋ 2 2的正方形 ABCD 中，以 A 为圆心画一个扇形，以 O 为圆心画一个圆， M、N、K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体
积．
{l ＋r＋ 2r＝ 5＋r(2
r(2 ，,2 πr＝
1
4×2π
l ))
答案设圆锥的母线长为l ，底面半径
为
r，高为h，由已知得
解得r ＝ 2，l ＝4
2，h＝l 2－r 2＝
30，
2
∴ S＝π rl ＋π r
＝ 10π ，
V＝13π r
2h＝
2 30
3
课程顾问签
字：
教学主管签
字：
C.14
D.614
∴ V＝πR ＝π
33
练习 1：体积为 8 的一个正方体，其全面积与球
答案：设正方体棱长为a，球半径为r.
3 2 2
∵ a ＝ 8，∴ a＝ 2，又∵ 4π r ＝6a ，∴r＝
6. 若长方体的三个面的面积分别为2, 3, 6 ，则长方体的体积为
答案：6 ，6
答案：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′ A′－
BCC′B′。