湖北省武汉地区高二数学上学期期末考试试卷(文)

湖北省武汉地区2007-2008学年度高二数学上学期期末考试试卷
（文）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的4个选项中，只有1
项是符合题目要求的.）
1．已知直线y=kx 被圆x 2+y 2=2所截得的弦AB 的长等于 （ ）
A ．2
B ．4
C ．22
D ．2 2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是
（ ） A ．平行 B ．相交
C ．异面
D ．平行、相交、异面都有可能
3．右图是一个无盖的正方体盒子展形后的平面图，A 、B 、C 是展
开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的值为 （ ） A ．180° B ．120°
C ．60°
D ．45°
4．已知平面α、β，直线m 、n ，若n m n m ⊥⊂⊂⊥且,,,βαβα，则必有 （ ）
A ．β⊥m
B ．α⊥n
C ．αβ⊥⊥n m 且
D ．αβ⊥⊥n m 或 5．抛物线y=25x 2的通径长是
（ ）
A ．25
B ．
225 C ．
25
1 D ．
25
2 6．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的半径为 （ ）
A ．2
B ．2
C ．3
D ．1
7．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长均为2，E 、F 分别是 AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是 （ ） A ．2 B ．3 C ．5
D ．1
8．如图，已知正本四棱棱S —ABCD 的侧棱长为2，
底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角的大小是 （ ） A ．90° B ．60°
C ．45°
D ．30°
9．已知底面三角形的边长分别为3，4，5，高为6的直三棱柱的容器，其内放置一气球，使
气球充气且可能地膨胀（保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 （ ）
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．5π
10．点P 是椭圆116
252
2=+y x 上一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆半径
为
2
3
，则当点P 在第一象限时，点P 的纵坐标为 （ ）
A ．2
B ．4
C ．26
D ．
2
5
5 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11．赤道上有A 、B 两点，它们经度相差60°，若地球半径为R ，则AB 两点的距离为 .
12．双曲线1422=-m y x 的渐近线方程是x y 2
3±=，则双曲线的焦距为 . 13．如右图，设P 是60°的二面角βα--l 内的一点， βα⊥⊥PB PA ,，A 、B 是垂足，P A=4，PB =2，则
AB 的长是 .
14．已知点P （x ，y ）的坐标满足条件O x x
y y x 点,14⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+为坐标原点，那么|PO|的最小值等于 ，最大值等于 .
15．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的表面上与点A 距离为
3
3
2的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分. 解答时应写出文字说证明、过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）设直线113:22
22=--=b
x a y x y l 与双曲线相交于A 、B 两点，且弦
AB 中点的横坐标为
2
1
，求： （1）22
b
a 的值；
（2）求双曲线离心率.
17．（本小题满分12分）山坡所在平面β与水平面α成30°角，坡面上有一条与水平线AB
成30°角的直线小路CD ，小明沿小路上坡走了200米的路程到达他外婆家（点E ），求小明外婆家到水平面的距离.
18．（本小题满分12分）已知椭圆m x y y x +==+及直线1422. （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围. （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
19．（本小题满分12分）在底面边长为a ，侧棱长为2a 的正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， （1）求证：平面BD 1⊥平面AB 1C ； （2）求点B 到平面AB 1C 的距离.
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是矩形 AD =2，AB =P A
=2
，P A
⊥底面ABCD ，E 是AD 的中点，F 是PC 的中点. （1）求证：F 在何处时，EF ⊥平面PBC ； （2）求直线BE 与平面PBC 所成的角.
21．（本小题满分13分）如图，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，侧棱
AA 1与底面ABC 成60°的角，AA 1=2，底面是边长为2的正三角形，其重心为G . E 是线段BC 1上一点，且.3
1
1BC BE
（1）求证：GE //侧面AA 1B 1B ；
（2）求平面B 1GE 与底面ABC 所成角二面角的大小.
参考答案
1．C 222),0,0(==∴=r AB kx y 过圆心.
2．D
3．C 复原后的图为 △ABC 为正△，
60=∠∴ABC 4．D 5．C 25
1225
12
=
=
p y x 6．B 2,1,1=∴==R d r
7．C 51222=+=
EF
8．B 如图，连AC ，取AC 中点O ，连OB 、EO ，则EO//SC ，
∴∠BEO 为所求角，
.
60,32
2
26
tan ,,,2621,2221 =∠∴===∠∴⊥∴⊥====
BEO EO BO
BEO EO BO SAC BO BD BO SC EO 平面又
9．C .44,1)543(2
1
2ππ===++=
R S R 10．B ,362
1
21p p F PF y y S =⋅⋅=∆
4
,123.
128)610(2
1
|)||||(|21212121=∴=∴==⋅+=⋅++=
∆p p F PF y y r r r F F PF PF S 11．
R AB R ⋅=
3
3
π
π
（
12．72
7,7,32
322=∴=∴=∴==c c m m a b
13．72 72120cos 24224,12022=⋅⋅⋅-+==∠ AB APB
14．2，10如图，△ABC 为可行域，A （1，3），B （1，1），C （2，2）
1031||,211||2222min =+==+=OP OP
15．
π635 这条曲线在面ADD 1A 1上是一段以A 为圆心，
3
3
2为 半径，圆心角为
6
π
的一段圆弧，在面A 1B 1C 1D 1上的一段以A 1 为圆心，
3
3
为半径，圆心角为2π的一段圆弧，由正方体的对
称性知，这条曲线的长度为ππ
π6
3
5)332
3
3
26(
3=⋅
+
⋅. 16．（1）设1),,(),,(22
12212211=-b
y a x y x B y x A 则有 ①
122
2
222=-b
y a x ② ①—②得
0)
)(())((2
212122121=-+--+b
y y y y a x x x x 632
11
21322222221212121=∴=⋅-∴=--⋅++∴a b a b a b x x y y x x y y
（2）设7,7,6,2
2
2
2
2
==∴===a c e k c k b k a .
17．过点E 作EH α⊥于H ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连FH 易得∠EFH=30°，
EF=200·sin30°=100，EF=EF ·sin30°=50，∴E 到α的距离为50米
.
18．（1）由方程组,01251
42222=-++⎩⎨⎧+==+m mx x y m
x y y x 得消去
由题意知2
5
25,
016202
≤
≤-
∴≥-=∆m m （2）5
1
,5222121-=-=+m x x m x x
22122122128105
2
4)(1||1m x x x x k x x k l -=
-+⋅+=-+=∴弦长
,5
10
2,0max =
=l m 时当此时直线方程为y=x . 19．（1）AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，∴AC ⊥平面BD 1， ∴平面BD 1⊥平面AB 1C.
（2）设AC ∩BD=O ，连B 1O ，过B 作BH ⊥B 1O 于H ，又BH ⊥AC ，BH ⊥平面AB 1C ，
a a a O B a BB a BO 2
2
342,2,222211=+===
∴.3
2
11a O B BB BO BH =⋅=
20．（1）过A 作AH ⊥BE 于H ，AH ⊥PA ，∴AH 为异面直线PA 与EB 的公垂线
36
,363
21的距离为
与EB PA EB AB AE AH ∴=⋅=⋅=
（3）由（2）得EF ⊥平PBC ，∴∠FBE 为所求角
又33
3
1sin ,1,3=
==
∠∴==
BE EF FBE EF BE
.33arcsin
=∠∴FBE ∴直线BE 与平面PBC 所成角为arcsin 3
3
. （2）F 为PC 中点，取PB 中点G ，∵PA=AB ，∴AG ⊥PB ，又AG ⊥BC ， ∴AG ⊥平面PBC. 连GF ，,//,21
//,21
//AE GF BC AE BC GF ∴
∴四边形AEFG 为
= = =
∴EF//AG ，∴EF ⊥平面PBC. 21．（1）过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，∵平面AA 1B 1⊥底面ABC ，
∴A 1H ⊥平面ABC ，
.3344
3
,323260sin 11=⋅⋅=∴=⋅
=⋅=V AA H A （2）取BC 中点D ，连AD ，ED ，AB 1，
.
//,//,2
1
,~,111111111
1111A ABB EG B B AA EB AB EG AG DG E B DE D B E C EB EDB E
C BE
C B B
D 平面又又上在∴⊂∴==∴∆∆∴=
（3）过B 1作B 1F ⊥AB 于F ，则B 1F=A 1H=3， B 1F ⊥平面ABC ，过B 1作B 1M ⊥AD 于M ，连MF ，则MF ⊥AD.
∴∠B 1MF 为平面B 1GE 为底面ABC 所在二面角的平面角
.
3
2
arctan 3
2
arctan
.32231tan .2
330sin 3,3,12111111所成锐二面角的大小为与底面平面ABC GE B MF B FM F B MF B MF AF BB BF ∴=∠∴===∠∴=⋅=∴=∴==
∴。