高考专题高三文科数学总复习专项强化训练(三)数列的综合应用.doc

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专项强化训练(三)
数列的综合应用
一、选择题
1.设{a n},{b n}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是( )
A.a2>b2
B.a3<b3
C.a5>b5
D.a6>b6
【解析】选A.设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,
由题可得d=-1,q=,于是a2=3>b2=2,故选A.
【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是.
【解析】由等差数列与等比数列的性质得所以==2++.
当x,y同号时,+≥2;当x,y异号时,+≤-2.
所以的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞).
答案:(-∞,0]∪[4,+∞)
2.已知数列{a n},{b n}满足a1=1,且a n,a n+1是函数f(x)=x2-b n x+2n的两个零点,则b10等于( )
A.24
B.32
C.48
D.64
【解析】选D.依题意有a n a n+1=2n,
所以a n+1a n+2=2n+1.两式相除得=2,
所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列.
而a1=1,a2=2,
所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.
又因为a n+a n+1=b n,
所以b10=a10+a11=64.
3.设{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与S7均为S n的最大值
【解析】选C.因为{a n}是等差数列,
所以S n=n2+n.
因为S5<S6,S6=S7>S8,
所以S n关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,
所以d<0,S6与S7均为S n的最大值,
S9<S5,a7=S7-S6=0,故选C.
4.(2015·北京模拟)已知函数f(x)=把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( )
A.a n=,n∈N*
B.a n=n(n-1),n∈N*
C.a n=n-1,n∈N*
D.a n=2n-2,n∈N*
【解析】选C.当x≤0时,g(x)=f(x)-x=2x-1-x是减函数,只有一个零点a1=0;当x>0时,若x=n,n∈N*,则f(n)=f(n-1)+1=…=f(0)+n=n;
若x不是整数,
则f(x)=f(x-1)+1=…=f(x-[x]-1)+[x]+1,其中[x]代表x的整数部分, 由f(x)=x得f(x-[x]-1)=x-[x]-1,其中-1<x-[x]-1<0,没有这样的x. 所以g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3,…,通项a n=n-1,故选C.
【加固训练】定义:F(x,y)=y x(x>0,y>0),已知数列{a n}满足:a n=(n ∈N*),若对任意正整数n,都有a n≥a k(k∈N*)成立,则a k的值为( ) A. B.2 C.1 D.4
【解析】选 A.a n=,==,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<(n+1)2,当n≥3时,2n2>(n+1)2,即当n≥3时,a n+1>a n,故数
列{a n}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故a k的值为.
5.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为(n∈N*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了( )
A.600天
B.800天
C.1000天
D.1200天
【解析】选B.由第n天的维修保养费为(n∈N*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.
设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为
=++,当且仅当=时取得最小值,此时n=800,故选B. 【方法技巧】建模解数列问题
(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.
(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题.
(3)通过建立的关系求出相关量.
【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )
A.1和20
B.9和10
C.9和11
D.10和11
【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)
则各个树坑到第i个树坑的距离的和是
S=10(i-1)+10(i-2)+…+10(i-i)+10[(i+1)-i]+…+10(20-i)
=10+=10(i2-21i+210).
所以当i=10或11时,S有最小值.
二、填空题
6.(2015·镇江模拟)设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,令a n=lg x n,则a1+a2+…+a99的值为.
【解析】因为y=x n+1(n∈N*),所以y′=(n+1)x n(n∈N*),所以y′|x=1=n+1, 所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,当y=0时,x=,所以x n=,
所以a n=lgx n=lg=lg n-lg(n+1),
所以a1+a2+…+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+…+(lg99-lg100) =lg1-lg100
=-2.
答案:-2
7.某厂生产微机,原计划第一季度每月增产台数相同,在生产过程中,实际二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,则该厂第一季度实际生产微机台.
【解析】原计划第一季度三个月分别生产a 1,a 1+d,a 1+2d 台微机,现在实际上生产了a 1,a 1+d+10,a 1+2d+25台.由题意得
211d 20d 5a 1000,a d 70,
⎧+-+=⎨=+⎩解得1d 10,
a 80,=⎧⎨
=⎩故第一季度实际生产微机台数是3a 1+3d+35=305. 答案:305
8.数列{a n }的前n 项和为S n ,若数列{a n }的各项按如下规律排列: ,,,,,,,,,,…,,,…,,…,有如下运算和结论:
①a 24=;
②数列a 1,a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9+a 10,…是等比数列; ③数列a 1,a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9+a 10,…的前n 项和为T n =;
④若存在正整数k,使S k <10,S k+1≥10,则a k =.
其中正确的结论有 .(将你认为正确的结论的序号都填上) 【解析】依题意,将数列{a n }中的项依次按分母相同的项分成一组,第n 组中的数的规律是:第n 组中的数共有n 个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n 组中的各数和等于=, 对于①,注意到21=
<24<
=28,因此数列{a n }中的第24项应是
第7组中的第3个数,即a 24=,因此①正确. 对于②③,设b n 为②③中的数列的通项,则b n ==,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n 项和等于×=
,因此②
不正确,③正确.
对于④,注意到数列的前6组的所有项的和等于=10,因此满足条件的a k应是第6组中的第5个数,即a k=,因此④正确.
综上所述,其中正确的结论有①③④.
答案:①③④
三、解答题
9.(2014·天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.
(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.
(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n,证明:若a n<b n,则s<t.
【解析】(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+2x2+4x3,x i∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.
(2)由s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,a i,b i∈M,i=1,2,…,n及a n<b n,可得
s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+（a n-1-b n-1）q n-2+（a n-b n）q n-1
≤（q-1）+（q-1）q+…+（q-1）q n-2-q n-1
所以,s<t.
10.(2015·洛阳模拟)在数列{a n}中,a1=-5,a2=-2,记A(n)=a1+a2+…+a n,B(n)=a2+a3+…+a n+1,C(n)=a3+a4+…+a n+2(n∈N*),若对于任意n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)求数列{|a n|}的前n项和.
【解析】(1)根据题意A(n),B(n),C(n)成等差数列, 所以A(n)+C(n)=2B(n),
整理得a n+2-a n+1=a2-a1=-2+5=3.
所以数列{a n}是首项为-5,公差为3的等差数列,
所以a n=-5+3(n-1)=3n-8.
(2)|a n|=
3n8,n2,
3n8,n3,
-+≤
⎧
⎨
-≥
⎩
记数列{|a n|}的前n项和为S n.
当n≤2时,S n==-+n;
当n≥3时,S n=7+=-n+14,
【加固训练】已知等差数列{a n}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{a n}的通项公式.
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前n项和.
【解析】(1)设等差数列的公差为d,根据a1+a2+a3=-3可得a2=-1,进而得a1a3=-8,
即(a2-d)(a2+d)=-8,所以1-d2=-8,解得d=±3.
当d=3时,a1+3=-1,得a1=-4,
此时a n=-4+(n-1)×3=3n-7;
当d=-3时,a1-3=-1,得a1=2,
此时a n=2+(n-1)×(-3)=-3n+5.
所以{a n}的通项公式为a n=3n-7或a n=-3n+5.
(2)d=3时,a2=-1,a3=2,a1=-4,
此时a2,a3,a1成等比数列;
当d=-3时,a2=-1,a3=-4,a1=2,
此时a2,a3,a1不是等比数列,故a n=3n-7,这个数列的第一、二两项为负值,从第三项开始为正值.
方法一:当n≤2时,|a n|=7-3n,这是一个首项为4,公差为-3的等差数列,
故S n=4n+×(-3)=-+;
当n>2时,|a n|=a n=3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等差数列,故
S n=|a1|+|a2|+a3+a4+…+a n
=(4+1)+[2+5+…+(3n-7)]
=5+=-+10.
所以S n=这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为S n=
方法二:设数列{a n}的前n项和为T n,
则T n==-.
由于n≤2时,|a n|=-a n,
所以此时S n=-T n=-+;
当n>2时,
S n=(-a1-a2)+(a3+a4+…+a n)
=-T2+(T n-T2)=T n-2T2=-+10.
所以S n=这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为
S n=
11.已知{a n}是由正数组成的数列,a1=1且点(,a n+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)若数列{b n}满足b1=1,b n+1=b n+n a2,求证:b n·b n+2<+1.
【解题提示】(1)由点在函数图象上即可得出a n+1与a n的关系,从而可写出通项公式.(2)结合(1)找出b n+1与b n的关系式,从而可得b n,然后利用作差法比较大小.
【解析】(1)由已知,得a n+1=a n+1,得a n+1-a n=1,
又a1=1,
所以数列{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列.
故a n=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1),知a n=n,从而b n+1-b n=2n.
b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.
因为b n·b n+2-+1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2·2n+1+1)
=-5·2n+4·2n=-2n<0,
所以b n·b n+2<+1.
【方法技巧】数列与函数的综合一般体现在两个方面:
(1)以数列的特征量n,a n,S n等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列的递推关系.
(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.
【加固训练】已知数列{a n}的前n项和为S n,对一切正整数n,点P n(n,S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点P n(n,S n)的切线的斜率为k n.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)设Q={x|x=k n,n∈N*},R={x|x=2a n,n∈N*},等差数列{c n}的任一项c n ∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,110<c10<115,求{c n}的通项公式. 【解析】(1)因为点P n(n,S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,
所以S n=n2+2n(n∈N*).
当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n+1,
当n=1时,a1=S1=3满足上式,
所以数列{a n}的通项公式为a n=2n+1.
(2)因为Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*},
所以Q∩R=R.
又因为c n∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,
所以c1=6,因为{c n}的公差是4的倍数,
所以c10=4m+6(m∈N*).
又因为110<c10<115,
所以,
解得m=27,
所以c10=114,
设等差数列{c n}的公差为d,
则d===12,
所以c n=6+(n-1)×12=12n-6,
所以{c n}的通项公式为c n=12n-6.
12.已知数列{a n}中,a1=2,a2=3,其前n项和S n满足S n+2+S n=2S n+1+1(n∈N*);数列{b n}中,b1=a1,b n+1=4b n+6(n∈N*).
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式.
(2)设c n=b n+2+(-1)n-1λ·n a2(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有c n+1>c n成立.
【解题提示】
【解析】(1)由已知,得S n+2-S n+1-(S n+1-S n)=1,
所以a n+2-a n+1=1(n≥1).
又a2-a1=1,
所以数列{a n}是以a1=2为首项,1为公差的等差数列.
所以a n=n+1.
又b n+1+2=4(b n+2),
所以{b n+2}是以4为首项,4为公比的等比数列.
所以b n=4n-2.
(2)由(1)知a n=n+1,b n=4n-2,
则c n=4n+(-1)n-1λ·2n+1,
要使c n+1>c n成立,需c n+1-c n=4n+1-4n+(-1)nλ·2n+2-(-1)n-1λ·2n+1>0恒成立,
即3·4n-3λ(-1)n-12n+1>0恒成立,
所以(-1)n-1λ<2n-1恒成立.
①当n为奇数时,即λ<2n-1恒成立,当且仅当n=1时,2n-1有最小值1,所以λ<1;
②当n为偶数时,即λ>-2n-1恒成立,当且仅当n=2时,-2n-1有最大值-2,所以λ>-2.
结合①②可知-2<λ<1,又λ为非零整数,则λ=-1.
故存在λ=-1,使得对任意n∈N*,都有c n+1>c n成立.
【误区警示】遇到式子中含有(-1)n的问题时要注意分n为奇数与偶数两种情况进行讨论,本题的易错点就是忘掉对n的奇偶性的讨论. 【加固训练】已知等差数列{a n}的公差为2,其前n项和S n=pn2+2n(n∈N*).
(1)求p的值及a n.
(2)若b n=,记数列{b n}的前n项和为T n,求使T n>成立的最小正整数n的值.
【解题提示】
【解析】(1)方法一:因为{a n}是公差为2的等差数列,
所以S n=na1+d=na1+×2=n2+(a1-1)n.
又由已知S n=pn2+2n,
所以p=1,a1-1=2,
所以a1=3,
所以a n=a1+(n-1)d=2n+1,
所以p=1,a n=2n+1.
方法二:由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,
即a1+a2=4p+4,
所以a2=3p+2.
又此等差数列的公差为2,
所以a2-a1=2,
所以2p=2,
所以p=1,
所以a1=p+2=3,
所以a n=a1+(n-1)d=2n+1,
所以p=1,a n=2n+1.
方法三:由已知a1=S1=p+2,
所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2, 所以a2=3p+2,
由已知a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,
所以a1=p+2=3,所以a n=a1+(n-1)d=2n+1,
所以p=1,a n=2n+1.
(2)由(1)知b n==-,
所以T n=b1+b2+b3+…+b n
=+++…+=1-=.
因为T n>,
所以>,
所以20n>18n+9,即n>,
又n∈N*,所以使T n>成立的最小正整数n=5.
13.某工厂年初用98万元购买一台新设备,第一年设备维修及燃料、动力消耗(称为设备的低劣化)的总费用12万元,以后每年都增加4万元,新设备每年可给工厂收益50万元.
(1)工厂第几年开始获利?
(2)若干年后,该工厂有两种处理该设备的方案:①年平均获利最大时,以26万元出售该设备;②总纯收入获利最大时,以8万元出售该设备.问哪种方案对工厂合算?
【解析】(1)由题设每年费用是以12为首项,4为公差的等差数列,
设第n年时累计的纯收入为f(n).
所以f(n)=50n-[12+16+…+(4n+8)]-98
=40n-2n2-98.
获利即为:f(n)>0,所以40n-2n2-98>0⇒n2-20n+49<0⇒
10-<n<10+,
又n∈N,所以n=3,4,5, (17)
所以当n=3时,即第3年开始获利.
(2)①年平均收入==40-2（n+）≤40-4=12(万元),当且仅当n=,即n=7时等号成立.
即年平均收益最大时,总收益为:12×7+26=110(万元),此时n=7.
②f(n)=-2(n-10)2+102,
所以当n=10时,f(n)max=102,
总收益为102+8=110万元,此时n=10.
比较两种方案,总收益均为110万元,但第一种方案需7年,第二种方案需10年,故选择第一种方案.
【加固训练】有一种零存整取的储蓄项目,在每月某日存入一笔相同金额,这是零存;到期可以提出全部本金和利息,这是整取,它的本利和公式如下:
本利和=每期存入的金额×[存期+×存期×(存期+1)×利率].
(1)试解释这个本利和公式.
(2)若每月初存入100元,月利率为5.1%,到第12个月底的本利和是多少?
(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1%,希望到第12个月底取得本利和2000元,那么每月初应存入多少?
【解析】(1)设每期存入的金额为A,每期利率为P,存期为n,则各期的
利息之和为nAP+(n-1)AP+…+2AP+AP=,
所以本利和为nA+
=A(元).
(2)到第12个月底的本利和为
100
=1597.8(元).
(3)设每月初应存入x元,
则有x
=2000,
解得x≈125.2.
所以每月初应存入125.2元.
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