2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时作业5函数的单调性与最值课件理新人教版

解 (1)由 x＋ax－2>0，得x2－2xx＋a>0， 当 a>1 时，x2－2x＋a>0 恒成立， 定义域为(0，＋∞)； 当 a＝1 时，定义域为{x|x>0 且 x≠1}； 当 0<a<1 时，定义域为{x|0<x<1－ 1－a或 x>1＋ 1－a}。
(2)设 g(x)＝x＋ax－2， 当 a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时， g′(x)＝1－xa2＝x2－x2 a>0 恒成立， 所以 g(x)＝x＋ax－2 在[2，＋∞)上是增函数。 所以 f (x)＝lgx＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数。 所以 f (x)＝lgx＋ax－2在[2，＋∞)上的最小值为 f (2)＝lga2。
所以 f (x1)－f (x2)＝f xx12>0， 所以 f (x1)>f (x2)，所以函数 f (x)为增函数。
(2)在 f (x1)－f (x2)＝f xx12中， 令 x1＝9，x2＝3， 所以 f (9)－f (3)＝f (3)。
又 f (3)＝1，所以 f (9)＝2。
A．f (π)>f (－3)>f (－2) B．f (π)>f (－2)>f (－3) C．f (π)<f (－3)<f (－2) D．f (π)<f (－2)<f (－3)
解析 因为 f (x)是偶函数，所以 f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)。又因为 函数 f (x)在[0，＋∞)上是增函数，所以 f (π)>f (3)>f (2)，即 f (π)>f (－3)>f (－ 2)。故选 A。
答案 －2，－12
10．设函数 f (x)＝10， ，xx>＝00，， －1，x<0，
g(x)＝x2f (x－1)，则函数 g(x)的单调递
减区间是________。
解析
由题意知 g(x)＝x02，，xx＝>11，， －x2，x<1。
作出函数图象如图所示，其单调
递减区间是[0,1)。
9．(2019·陕西质量检测)若函数 f (x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于 原点对称，则函数 g(x)＝bx＋ax，x∈[－4，－1]的值域为________。
解析 由函数 f (x)的图象关于原点对称，可得 a－4＋a＝0，即 a＝2， 则函数 f (x)＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以 f (0)＝0，所以 b＝0，所以 g(x)＝2x，易知 g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即 －2，－21。
)
A.13，32
B.13，32
C.12，23
D.12，23
解析 因为函数 f (x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足 f (2x－1)<f 13，所以 0≤2x－1<13，解得12≤x<23。故选 D。
答案 D
4．设偶函数 f (x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f (x)是增函数，则 f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )
答案 B
二、填空题 8．函数 y＝log1 |x－3|的单调递减区间是________。
2
解析 令 u(x)＝|x－3|，则在(－∞，3)上 u(x)为减函数，在(3，＋∞)上
u(x)为增函数。又因为
0<21<1，所以在区间(3，＋∞)上，函数
y＝log1 2
|x－
3|为减函数。
答案 (3，＋∞)
(3)对任意 x∈[2，＋∞)恒有 f (x)>0，即 x＋ax－2>1 对 x∈[2，＋∞)恒 成立。
所以 a>3x－x2，令 h(x)＝3x－x2，
而 h(x)＝3x－x2＝－x－232＋94在[2，＋∞)上是减函数， 所以 h(x)max＝h(2)＝2，所以 a>2， 即 a 的取值范围为(2，＋∞)。
答案 B
2．函数 y＝ x2－2x＋3有( )
A．最小值 2
B．最小值 2
C．最大值 2
D．最大值 2
解析 易知 y＝ x－12＋2，因为(x－1)2＋2≥2，所以 y≥ 2。故选 B。 答案 B
3．已知函数 f (x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调
递增，则满足 f (2x－1)<f 13的 x 的取值范围是(
＝f (x)，即函数 f (x)是偶函数。因为 f ′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)≥0 在[0，
＋∞)上恒成立，所以函数
f
(x)在[0，＋∞)上单调递增。由
f
(log3x)＋f
1 (log3
x)≤2f (1)，得 2f (log3x)≤2f (1)，即 f (log3x)≤f (1)，所以|log3x|≤1，解得31
答案 [0,1)
三、解答题 11．已知函数 f (x)＝a1－1x(a>0，x>0)。 (1)求证：f (x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若 f (x)在12，2上的值域是12，2，求 a 的值。
解 (1)证明：任取 x1>x2>0， 则 f (x1)－f (x2)＝1a－x11－1a＋x12＝x1x－1x2x2， 因为 x1>x2>0， 所以 x1－x2>0，x1x2>0， 所以 f (x1)－f (x2)>0， 即 f (x1)>f (x2)， 所以 f (x)在(0，＋∞)上是增函数。
(e2)＝f (1)，f (e)＝43f (0)，则函数 f (x)的值域为________。
解析 由题意可得41＋＋2aa＋＋bb＝＝2b，， 解得ab＝＝－3，2， 所以当 x>0 时，f
(x)＝(lnx)2－2lnx＋3＝(lnx－1)2＋2≥2；当 x≤0 时，21<ex＋12≤e0＋12＝32，则 函数 f (x)的值域为12，23∪[2，＋∞)。
答案 A
5．已知函数 f (x)是 R 上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两 点，那么不等式－3<f (x＋1)<1 的解集的补集是(全集为 R)( )
A．(－1,2) B．(1,4) C．(－∞，－1)∪[4，＋∞) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析 由函数 f (x)是 R 上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的 两点，知不等式－3<f (x＋1)<1 即为 f (0)<f (x＋1)<f (3)，所以 0<x＋1<3，所 以－1<x<2，故不等式－3<f (x＋1)<1 的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋ ∞)。故选 D。
B．f (x1)<0，f (x2)>0 C．f (x1)>0，f (x2)<0 D．f (x1)>0，f (x2)>0
解析 因为函数 f (x)＝log2x＋1－1 x在(1，＋∞)上为增函数，且 f (2)＝0， 所以当 x1∈(1,2)时，f (x1)<f (2)＝0；当 x2∈(2，＋∞)时，f (x2)>f (2)＝0，即 f (x1)<0，f (x2)>0。故选 B。
所以不等式 f (3x＋6)＋f
1x>2，可转化为 f (3x＋6)＋f
1 x>f
(9)，
所以 f (3x＋6)>f (9)－f 1x＝f (9x)， 由函数 f (x)为(0，＋∞)上的增函数，可得 3x＋6>9x>0，所以 0<x<1， 所以原不等式的解集为(0,1)。 (3)因为函数 f (x)在(0,3]上是增函数， 所以 f (x)在(0,3]上的最大值为 f (3)＝1， 所以不等式 f (x)≤m2－2am＋1 对所有 x∈(0,3]，a∈[－1,1]恒成立转化 为 1≤m2－2am＋1 对所有 a∈[－1,1]恒成立，即 m2－2am≥0 对所有 a∈[－ 1,1]恒成立。 设 g(a)＝－2ma＋m2，
xx12＝f (x1)－f (x2)，
(2)解关于 x 的不等式 f (3x＋6)＋f 1x>2； (3)若 f (x)≤m2－2am＋1 对所有 x∈(0,3]，a∈[－1，1]恒成立，求实数
m 的取值范围。
解 (1)设 x1>x2>0，则xx12>1， 因为当 x>1 时，f (x)>0，
课时作业(五) 函数的单调性与最值
基础过关组
一、选择题
1．(2019·潍坊市统一考试)下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，
＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝1x
B．y＝－x2＋1
C．y＝2x
D．y＝log2|x|
解析 因为函数的图象是轴对称图形，所以排除 A，C，又 y＝－x2＋1 在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调≤x≤3
15．已知函数 f (x)＝lgx＋ax－2，其中 a 是大于 0 的常数。 (1)求函数 f (x)的定义域； (2)当 a∈(1,4)时，求函数 f (x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意 x∈[2，＋∞)恒有 f (x)>0，试确定实数 a 的取值范围。
答案 D
6．已知函数 f (x)＝lo1g－ax2＋a13x，，xx≤>11，， 当 x1≠x2 时，f xx11－ －fx2x2<0，
则实数 a 的取值范围是( A.0，13 C.0，12
) B.13，21 D.14，13
解析 当 x1≠x2 时，f xx11－－fx2x2<0，所以 f (x)是 R 上的减函数。因为 f (x)
(2)由(1)可知，f (x)在12，2上为增函数， 所以 f 12＝1a－2＝12， f (2)＝a1－21＝2，解得 a＝52。
12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f (x)满足 f
且当 x>1 时，f (x)>0，f (3)＝1。 (1)判断 f (x)的单调性；
1－2ax，x≤1， ＝logax＋13，x>1，
0<1－2a<1， 所以0<a<1，
1－2a≥13，
所以 0<a≤13。故选 A。
答案 A
7．已知函数 f (x)＝log2x＋1－1 x，若 x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(
)
A．f (x1)<0，f (x2)<0
所以需满足gg－1≥1≥ 0，0， 即2－m2＋m＋m2m≥20≥，0，
解该不等式组，得 m≤－2 或 m≥2 或 m＝0， 即实数 m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)。
能力提升组
13．(2019·湖北八校联考)已知函数 f (x)＝elxn＋x212，＋ax≤lnx0＋，b，x>0， 若 f
答案 12，23∪[2，＋∞)
14．(2019·南宁市摸底联考)已知函数
f
(x)＝(ex－e－x)x，f
(log3x)＋f
1 (log3
x)≤2f (1)，则 x 的取值范围是________。
解析 因为 f (x)＝(ex－e－x)x，所以 f (－x)＝(e－x－ex)(－x)＝(ex－e－x)x