湖北省武汉市武昌区高三元月调考——数学(理)数学(理)

参考答案
一、选择题：
1．A 2．B 3．B 4．B 5.B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C
二、填空题：
11． 0 12． a n ＝2n ，或a N ＝2N 13.
14.（Ⅰ）126；（Ⅱ）34579 15． 4 16． 2
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）因为()a x x x f ++=2cos 2sin 3，所以()a x x f ++=)62sin(2π
.
因为时，，所以时的取得最小值.
依题意，，所以；…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1)62sin(2++
=πx x f . 要使，即. 所以Z ∈+≤+≤-k k x k ,6726262πππ
π
π，即Z ∈+≤≤-k k x k ,2
6ππππ. 当时，；当时，.
又，故使成立的x 的集合是.…………………………（11分）
18．解：（Ⅰ）设数列的公差为，依题意，1，，成等比数列，
所以，即，所以或.
因此，当时，；当时，.…………………………………（6分）
（Ⅱ）当时，，此时不存在正整数n ，使得； 当时，()()121215
31311+⨯-++⨯+⨯=n n T n )]121121()5131()3111[(21+--++-+-=n n 1
2)1211(21+=+-=n n n . 由，得，解得.
故的最大值为1006. …………………………………………………（12分）
19．解：设.以D 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：
，，，，,，, ,
,.
（Ⅰ）因为，， 所以()()02,2,22,2,11=--⋅--=⋅x x E C F A .
所以.………………………………………（4分）
（Ⅱ）因为BEF BEF BEF B S BB S V ∆∆-=⨯=3
23111， 所以当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值.
因为()()11122
≤--=-=∆x x x S BEF ， 所以当时，即E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点时，三棱锥B 1-BEF 的体积取得最大值，此时E ，F 坐标分别为,.
设平面的法向量为， 则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅=--⋅=⋅,
00,1,1,,,02,1,0,,1c b a c b a B 得 取，得.显然底面的法向量为.
设二面角的平面角为，由题意知为锐角. 因为31|
|||,cos -=⋅>=<n m ，所以，于是. 所以，即二面角的正切值为.………………………………（12分）
20．解：（Ⅰ）设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则 P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05，
所以P (B )＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049. …………………………………………………（6分） （Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为
027.0)7.01()0(303=-⋅==C X P ，189.0)7.01(7.0)1(213=-⋅⋅==C X P ，
441.0)7.01(7.0)2(223=-⋅⋅==C X P ，343.07.0)3(333=⋅==C X P .
X 的分布列为
因为X ～B (3，0.7)12分）
21．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,
3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2.
所以椭圆C 的标准方程是. …………………………………………………（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).
设直线PQ 的方程为x ＝my +2，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22
＝1. 消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3
. 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为.
因为，所以直线FT 的斜率为，其方程为.
当时，，所以点的坐标为，
此时直线OT 的斜率为，其方程为.
将M 点的坐标为代入，得3
6)2(3222+⋅-=+-m t t m m m . 解得. ………………………………………………（8分） （ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线上任意一点可得，点T 点的坐标为.
于是，
221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=
]4))[(1(212212y y y y m -++=]3
24)34)[(1(2222+--+-+=m m m m ]3
24)34)[(1(2222+--+-+=m m m m . 所以1)3(24
1)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(24
11)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m 414124122++++⋅=m m 3344224
1=+⋅≥. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1
，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(3，1)或(3，－1)．…………………………………………（14分）
22．解：（Ⅰ）由，得.
又，所以.所以，.
由，得.
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增. ………………（4分） (Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e
)2(ln )(2ln min -=--==f x f .
所以，即，.
令，则.
所以在上单调递增，所以0)0(1e )(2=>--=g x x g x ，即.……（8分） (Ⅲ)首先证明：当时，恒有.
证明如下：令，则.
由(Ⅱ)知，当时，，所以，所以在上单调递增，
所以，所以.
所以，即.
依次取，代入上式，则
，
，
n
n n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312n
n n n n +⨯⨯⨯>+++++ 所以()1ln 33ln )131211(+>++++++n n n
n ， 所以()n n n n --+>++++3ln 1ln 3131211 ，即()n n n n e 31ln 1312113
+>++++ .………（14分） 另解：用数学归纳法证明（略）。