浙江省五校2016届高三数学第二次联考试题 理

2015学年某某省第二次五校联考
数学（理科）试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
选择题部分（共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
(){}(){
}
221,log 22x x A x f x B y y ==-==+，则R
A
B =（ ）
A.()1,+∞
B.[]0,1
C.[)0,1
D.[)0,2
2.ABC ∆的三内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，则“222
a b c +<”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，不等式22
1421sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值X 围是（ ） A.[]3,4- B.[]0,2 C.35,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ D.
[]4,5-
1111ABCD A B C D -中，下列数学命题不正确的是（ ） 1//ACB 平面11A C D ，且两平面的距离为
3
3
P 在线段AB 上运动，则四面体111PA B C 的体积不变
23
π D.M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C ∆外接圆的圆周上任意一点，则MN 的最小值
是
32
2
- ()[](]
2sin ,0,cos ,,2x x f x x x πππ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，若函数()()g x f x m =-在[]0,2π内恰有4个不同的零点，则实数m 的取
值X 围是（ ）
A.()0,1
B.[]1,2
C.(]0,1
D.()1,2
12,F F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为
P ，过点P 向x 轴作垂线，垂足为H ，若PH a =，则双曲线的离心率为（ ）
A.
52 B.3
2
C.512+
D.612+
()2
3tan
tan 1,sin 3sin 222
α
α
βαβ+==+，则()tan αβ+=（ ）
A.43
B.43-
C.2
3
- D.3- 8. 如图，棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -，点A 在平面α内，平面ABCD 与平面α所成的二面角为
030，则顶点1C 到平面α的距离的最大值是（ ）
A.()
222+ B.()
2
32+ C.(
)231+ D.(
)
221+
非选择题部分（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）
9.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是。

6
x π
=
是函数()sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函
数()f x 的最小正周期是；函数()f x 的最大值是。

11. 已知数列{}n a 满足：1112,1n
n n
a a a a ++==
-，则123
15a a a a =；
设()1n
n n b a =-，数列{}n b 前n 项的和为n S ，则2016S =。

,x y 满足不等式4
280y x x y x y ≥⎧⎪+>⎨⎪-+>⎩
，则2x y +的最大值是；22
x y +的最小值是。

,a b 满足：2a =，向量b 与a b -夹角为
23
π
，则a b 的取值X 围是 ()()12f x f x +=，其中*x N ∈，且()110f =，则()f x 的表达式是
22y x =上的点()()000,2A x y x >向圆()2
211x y -+=引两条切线分别与y 轴交,B C 两点，则ABC ∆的面积的最小值是
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分15分）如图，四边形ABCD ，60DAB ∠=，,CD AD CB AB ⊥⊥。

（Ⅰ）若22CB CD ==，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若3CB CD +=，求AC 的最小值。

17. （本小题满分15分）如图（1）,E F 分别是,AC AB 的中点，90,30ACB CAB ∠=∠=，沿着EF 将AEF ∆折起，记二面角A EF C --的度数为θ。

（Ⅰ）当90θ=时，即得到图（2）求二面角A BF C --的余弦值； （Ⅱ）如图（3）中，若AB CF ⊥，求cos θ的值。

18. （
本小题满分15分）设函数()2
f x ax bx c =++，()
g x c x bx a =++，对任意的[]1,1x ∈-都有
()12
f x ≤。

（Ⅰ）求()2f 的最大值；
（Ⅱ）求证：对任意的[]1,1x ∈-，都有()1g x ≤。

19. （本小题满分15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
，焦点与短轴的两顶点的连线
与圆2
2
3
4
x y +=
相切。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点()1,0的直线l 与C 相交于,A B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NA NB 为定值？如果有，求出点N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由。

20. （本小题满分14分）已知正项数列{}n a 满足：()233
3
*12n n S a a a n N =++
+∈，其中n S 为数列{}
n a 的前n 项的和。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
33
332
2
221232111113n a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++
+
< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭。

2015学年某某省第二次五校联考
数学（理科）答案
9.108;3ππ 10.π11.3;2100- 12.21;13
13.43432,233⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦
14.()()12*
542x
f x x N -⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
15.8
16.（Ⅰ）∵,,,A B C D 四点共圆，∴0
120DCB ∠=
22202cos1207BD BC CD CD CB =+-=，即7BD =
所以0221sin 603
BD AC =
=
，故22
533AB AC BC =-= 153
26
ABC S AB BC ∆=
=
7分 （Ⅱ）设0,0BC x CD y =>=>，则3x y +=
()2
222BD x y xy x y xy =++=+-
()()2
2
12733442
x y x y BD ≥+-
+=⇒≥ ∴02
3sin 603
BD AC BD =
=≥
当3
2
BC CD ==
时取到。

15分 17.（Ⅰ）∵平面AEF ⊥平面CEFB ，且EF EC ⊥，∴AE ⊥平面CEFB 过点E 向BF 作垂线交BF 延长线于H ，连接AH ，则AHE ∠为二面角A BF C --的平面角
设2,4,23BC a EF a AB a AC a =⇒===，
3AE a =，3
2
EH a =
22
352cos 53
34
a
EH AHE AH a a ∠===+ 7分 （Ⅱ）过点A 向CE 作垂线，垂足为G ，如果AB CF ⊥，则根据三垂线定理有GB CF ⊥，因BCF ∆为正三角形，故
0tan30CG BC ==
，则GE =，而AE = 故1
cos 3
GE AE θ== 15分
18.（Ⅰ）∵()()()0,1,1f c f a b c f a b c ==++-=-+ ∴()()242212f a b c f a c =++=+- 而()1
12
f ≤
，()()211222a f f c a =+--⇒≤ 故()()()172422122221222
f a b c f a c f a c =++=+-≤++≤++= 当()2
1
2
f x x =-
时，取到最大值72 7分
（Ⅱ）()g x c x bx a c x c bx a c c x c bx a c =++=-+++≤-+++ ∵112c x c c x c -=-≤≤
令()u x bx a c
=++
∵
()112u a b c =++≤
，()1
12u a b c -=-+≤ 故对任意
[]
1,1x ∈-都有
()1
2u x bx a c =++≤
因此，对任意
[]
1,1x ∈-都有
()11
122g x c x c bx a c ≤-+++≤
+= 15分
21. 19.（Ⅰ）∵221
42
e a c =
⇒=,又焦点与短轴的两顶点的连线与圆2234x y +=相切。

∴()222234bc b c b c =
⇒=+，即()()2222223
34
a c c a a c -=⇒-= 故2
2
2
1,4,3c a b ===
所以椭圆方程为22
143
x y += 6分 （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，()()1122,,,A x y B x y
()
()22
22223412
34841201x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨
=-⎪⎩
则21222
122843
41243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
若存在定点(),0N m 满足条件，则有
()()()()()221212121211NA NB x m x m y y m m x x k x x =--+=-++--
()()()()()
()()2222
12122
2
2
2
222222221141284343485312
43
k x x m k x x k m k k
m k k k m k k m m k m k =+-+++++-+=
-
++++--+-=
+
如果要上式为定值，则必须有22485411
31238
m m m m --=⇒=-
验证当直线l 斜率不存在时，也符合。

故存在点11,08N ⎛⎫
⎪⎝⎭
满足13564NA NB =- 9分 20.（Ⅰ）∵()233
3
*12n n S a a a n N =++
+∈
∴2333
1121n n S a a a --=+++
两式相减得()()
22332
111n n n n n n n n n n S S a a S S a S S a ----=⇒+=⇒+= 则()()
221121
,n n n n n n S S a S S a ----+=-=
两式相减得
()()22
1111
n
n n n n n a a a a a a ---+=-⇒-=
所以
n a n
= 4分
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，3
2
1n a ⎛⎫=
⎪⎝⎭
∵()()2
2222212k n k k n k n ++-⎛⎫
+-≤=+ ⎪
⎝
⎭
>
≥
即333222
2211112k n k n a a a +-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+>
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
令1,2,3,
,k n =，累加后再加32
11n a +⎛⎫
⎪⎝⎭
得
33
3333333
2
2222
22
2
2
12321111111111111112222n n n n n n a
a a a a a a a a ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>+++
+ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
()32
1121n n a +⎛⎫=+= ⎪
⎝⎭
9分
又∵
1111
1
321
(21)212233
(21)21
n n
n n +
+
<⇔++
+
<+++
+
=
<==
2<
=
令2,3,4,
,21k n =+，累加得
(21)12122212
2n n +
+⎛⎛
⎛
<-+++=< ⎝
⎝⎝
333
3
2
2
2
2
1232111113n a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++
+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
14分
03（Ⅰ）()323(1)2312i
z z i z i i z i i
+-=+⇒-=+⇒==+- ∴1z i =+
()3
31222,20
z a bi i a bi i a bi a b a b =+⇒+=+⇒-+=+=-=⇒+=
（Ⅱ）()()'10a
f x x a x
=
+-+≤ 即不等式()2
10x a x a -++≤在区间()1,2上恒成立 令()()2
1g x x a x a
=-++
则()()10
2
20g a g ≤⎧⎪⇒≥⎨≤⎪⎩
04（Ⅰ）令70171,13x y a a a ==⇒++
+=①
令01271,11x y a a a a ==-⇒-+-++=②
①-②除以2得 70246312
a a a a -+++=
令00,11x y a ==⇒=，所以724631
110922
a a a -++=-= （Ⅱ）基本事件数为2
828C =，而使两直线垂直的数对有1
14,;3,;1,143
---三种情况
故所求的概率为328
P =。