天津市和平区2019届高三下学期第二次质量调查数学(理)试卷+Word版含解析

天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学
（理）学科试卷
第Ⅰ卷选择题（共40分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：
如果事件互斥,那么如果事件相互独立,那么
.
柱体的体积公式. 锥体的体积公式.
其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,
表示柱体的高. 表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合,,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合或，先求解，再由集合能够求出答案. 【详解】因为全集,
集合或，
所以，所以，故选B.
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
2.已知满足约束条件则的最小值为
A. 2
B. 4
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先绘制出可行域，注意到目标函数取最小值时直线系方程在y轴的截距有最大值，据此结合直线方程确定目标函数取得最小值时点的坐标，然后代入目标函数确定其最小值即可.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：.
故选：C.
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
3.执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.
【详解】由流程图可知，程序输出的值为：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.下列结论错误的是
A. 命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 命题：“，”的否定是“，”
D. 若“”为假命题，则均为假命题
【答案】B
【解析】
【分析】
由逆否命题的定义考查选项A，由不等式的性质考查选项B，由全称命题的否定考查选项C，由真值表考查选项D，据此确定所给的说法是否正确即可.
【详解】逐一考查所给命题的真假：
A. 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：
“若，则”的逆否命题是“若，则”
B. 若“”，当时不满足“”，即充分性不成立，
反之，若“”，则一定有“”，即必要性成立，
综上可得，“”是“”的必要不充分条件
C. 特称命题的否定是全称命题，命题：“，”的否定是“，”，
D. 由真值表可知：若“”为假命题，则均为假命题.
即结论错误的为B选项.
故选：B.
【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.
5.的图象向右平移个单位，所得到的图象关于轴对称，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意首先确定函数平移之后的函数解析式，所得到的图象关于轴对称，则时函数取得最大值或最小值，据此确定的值即可.
【详解】的图象向右平移个单位后的解析式为：
，
图象关于轴对称，则当时函数取得最大值或最小值，
即：，
故，令可得：.
故选：A.
【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.已知是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，设则的
大小关系是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先比较自变量的大小，然后结合函数的奇偶性确定函数在区间上的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小即可.
【详解】注意到，，且，
据此可得：，
函数为偶函数，则：，
由偶函数的性质可知：函数在区间上单调递减，
故，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为
为原点），则抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先联立双曲线的渐近线方程和直线确定点P的坐标，然后求解的面积得到a,b的关系，最后由抛物线方程确定其准线方程即可.
【详解】不妨取双曲线的渐近线方程为，
与直线联立可得：，即,
由题意可得，，
抛物线方程为，
其准线方程为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线准线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合平面向量的定义可得，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当
取得最小值时点P的坐标，然后求解的值即可.
【详解】，，
，，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，
则，设，
则
，
所以当x=2，y=1时取最小值，
此时.
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
第Ⅱ卷非选择题（共110分）
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

2. 本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.
9.如果（表示虚数单位），那么________.
【答案】1
【解析】
【分析】
首先化简，然后由复数相等的充分必要条件可得m的值.
【详解】由于，
结合题意可得：，由复数相等的充分必要条件可得：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.若直线与曲线(为参数)交于两点，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先将参数方程化简为直角坐标方程，然后求得圆心到直线的距离，最后利用弦长公式求解弦长即可.
【详解】曲线为参数)消去参数可得：，
表示圆心为，半径为的圆，
圆心到直线
的距离：，由弦长公式可得弦长为：. 故答案为：．【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，圆的弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)
【答案】
【解析】
【分析】
首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.
【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，
然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生，
故选派的方法为：.
故答案为：．
【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
12.一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
题意可得题中的四棱柱是一个正四棱柱，利用正四棱柱外接球半径的特征求得正四棱柱的高度，然后求解其表
面积即可.
【详解】由题意可得题中的四棱柱是一个长方体，且正四棱柱的底面边长为，
设高为，由题意可得：，，
该四棱柱的表面积为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正四棱柱外接球的性质，正四棱柱的表面积的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13.若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用绝对值三角不等式确定的最大值，然后由恒成立的条件确定实数的取值范围即可确定实数的最大值.
【详解】由绝对值三角不等式可得：，
，即，解得，
综上可知：实数的最大值为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值的方法，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14.已知函数且函数在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
将原问题转化为两个函数有且仅有两个不同的交点的问题，则实数的值等价于直线的斜率，结合函数的图像研究临界情况即可确定实数取值范围.
【详解】函数在内有且仅有两个不同的零点，即函数与函数在内有且仅有两个不同的交点，表示过点，斜率为的直线，
绘制函数的图像如图所示，考查临界情况：
首先考查经过点且与相切的直线方程的斜率：
由可得，
故切点坐标为，切线的斜率，
切线方程为：,
切线过点，故，解得：，故切线的斜率，
由可得，
由可得，
结合图形可得实数取值范围是.
【点睛】本题主要考查已知函数零点求参数取值范围的方法，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.已知函数
(Ⅰ)求在上的单调递增区间；
(Ⅱ)在中，分别是角的对边，为锐角，若，且的面积为，求
的最小值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)首先化简三角函数式，由化简的三角函数式得到函数的单调增区间，然后与进行交集运算可得函数的单调增区间；
(Ⅱ)首先化简求得∠A的大小，然后利用面积公式确定的值，最后由基本不等式可得
的最小值.
【详解】(Ⅰ)
，
由可得：.
设，
则，故在上的单调递增区间为.
(Ⅱ)由可得：，
化简可得：，又，解得：.
由题意可得：，解得：.
，当且仅当时等号成立.
故的最小值为.
【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解，基本不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16.某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。

在规定时间内，他们检索到的图书册数的茎叶图如图所示，规定册数不小于20的为优秀.
(Ⅰ) 从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率；
(Ⅱ) 从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀，利用排列组合公式和对立事件公式求解概率值即可；
(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算相应的概率值可得的分布列，然后由期望公式计算数学期望即可.
【详解】(1)由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀。

记“抽取的4人中至少有一人优秀”为事件A.
则
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
，
故随机变量X的分布列为
X 的数学期望
.
【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，离散型随机变量分布列与数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17.如图,正方形与梯形
所在的平面互相垂直，
，
,点在线段
上.
(Ⅰ) 若点为的中点，求证：
平面；
(Ⅱ) 求证：平面平面；
(Ⅲ) 当平面
与平面
所成二面角的余弦值为时，求的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【解析】 【分析】
(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量结论可证得BM ⊥平面ADEF 的法向量，从而可证得线面平行； (2)分别求得平面，平面
的法向量，由法向量的数量积为0可证得面面垂直；
(3)设
，由题意可得点M 的坐标，分别求得两个半平面的法向量，由二面角的余弦值得到关于
的方程，解方程求得的值即可确定
的长.
【详解】(1)∵正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD 为交线， ∴ED ⊥平面ABCD ，由已知得DA ，DE ，DC 两两垂直，
如图建系D -xyz ，可得D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，E (0，0，1)，F (1，0，1). 由M 为C 的中点，知，故
.
易知平面ADEF 的法向量为
，
，
∵BM平面ADEF，∴BM//平面ADEF.
(2)由(1)知，
设平面BDE的法向量为，
平面BEC的法向量为，
由得，
由得，
，故平面BDE⊥平面BEC.
(3)设，设，计算可得，
则，
设平面BDM的法向量为，
由得，
易知平面ABF的法向量为，
由已知得，
解得，此时，
，则，即AM的长为.
【点睛】本题主要考查利用空间向量证明线面平行的方法，利用空间向量证明面面垂直的方法，立体几何中探索问题的解决方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为．已知．（1）求椭圆的离心率；
（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线
的斜率．
【答案】（1）；（2）直线的斜率为或．
【解析】
试题分析：（1）设椭圆的右焦点的坐标为，由已知，可得，结合，可得，从而可求得椭圆的离心率；（2）在（1）的基础上，可先利用及数量积的坐标运算求
出点的坐标，再求出以线段为直径的圆的方程（圆心坐标和半径），最后设经过原点的与该圆相切的直线的方程为，由圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即可得求得直线的斜率．
（1）设椭圆的右焦点的坐标为．由，可得，又，则，∴椭圆的离心率．
（2）由（1）知，，故椭圆方程为．设．由，，有，
．由已知，有，即．又，故有①
又∵点在椭圆上，故②
由①和②可得．而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为
．设圆的圆心为，则，，进而圆的半径
．设直线的斜率为，依题意，直线的方程为．由与圆相切，可得，即，整理得，解得．∴直线的斜率为
或．
考点：1．椭圆标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系．
【此处有视频，请去附件查看】
19.已知单调等比数列中，首项为，其前n项和是，且成等差数列,数列满足条件
(Ⅰ) 求数列、的通项公式；
(Ⅱ) 设 ,记数列
的前项和
.
①求
;②求正整数，使得对任意
，均有 .
【答案】(Ⅰ)
；
；
(Ⅱ)①见解析；②见解析. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得数列的公比，据此即可确定数列的通项公式，进一步利用递推关系可得数列的通
项公式；
(Ⅱ)①.结合(Ⅰ)中求得的通项公式分组求和即可确定的值； ②.利用作差法结合指数函数和一次函数增长速度的关系可得k 的值.
【详解】(Ⅰ)设. 由已知得 即
进而有. 所以
，即
，则
，
由已知数列是单调等比数列，且
所以取
，
数列的通项公式为
.
∵ ， ∴
则.
数列
的通项公式为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
①设，
的前项和为.则
.
又设，
的前项和为
.
则.
所以
②令
.
由于比
变化快，所以令
得
.
即递增，而递减.所以，最大.
即当
时，
.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和的方法，数列中最大项的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知函数，当时，取得极小值.
（1）求的值；
（2）记，设是方程的实数根，若对于定义域中任意的，.当
且
时，问是否存在一个最小的正整数，使得恒成立，若存在请求出的值；若不存在请说明理由.
（3）设直线，曲线.若直线与曲线同时满足下列条件：
①直线与曲线相切且至少有两个切点；
②对任意都有.则称直线与曲线的“上夹线”.
试证明：直线是曲线
的“上夹线”.【答案】(1)，；(2)答案见解析；(3)证明见解析. 【解析】【分析】(1)由题意可得，，据此可得的值，然后验证所得的结果满足题意即可；(2)首先由函数的单调性确定的值，然后求得函数的最大值和最小值，结合恒成立的条件即可确定的值；(3)由题意首
先证得直线与曲线相切且至少有两个切点，然后令，，易证明，据此即可证明直线是曲线的“上夹线”.
【详解】(1)由已知，于是得：，
代入可得：，.
此时，.所以.
当时，；当时，.
所以当时，取得极小值，即，符合题意.
(2)，则.所以单调递增，又
.
为的根，即，也即
.
，.
，
所以存在这样最小正整数使得恒成立.
(3)
由，得，
当时，.
此时，
所以是直线与曲线的一个切点，
当，此时，.
所以也是直线与曲线的一个切点，
即直线与曲线相切且至少有两个切点，
对任意，.
即，因此直线是曲线的“上夹线”.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。