机械振动基础课后习题解答_第3章习题

m
0
0 m
u1 u2
3k k
k 3k
u1 u2
2ku0
sin 0
t
K
2M
3k
2m
k
k
3k 2m
H11 ( )
3k 2m ()
H 21 ( )
k ()
u1(t) u2 (t)
H11 ( ) H21()
2ku0
sin
t
3k 为反共振频率 m
P140,3-9: 图示系统初始静止，求左端基础产生阶跃位移u0后系统的响应。
ml2 1 0 M 3 0 7 /16
K
l2k 16
9 9
9
13
| K 2M | 0
1 0.65
k m
2 2.62
k m
P139,3-3: 建立图示系统的运动微分方程，并求当ki k,i 1, 6, m1 m, m2 2m, m3 m时的固有 频率和固有振型。
m1
M
m2
u2
c
3c
2c
u2
k
3k
2k
u2
0
m u3 0 2c 2c u3 0 2k 2k u3 f0
1 0,2
k m
, 3
2k m
1 1 1
φ1
1 , φ2
0
, φ3
1
1
1/ 2
1
u1 1
u2
1
u3 1
1 0 1/ 2
1 q1
1
q2
1 q3
)d
u0 2
(1 cos1t)
q2
(t)
u0 2
(1
cos 2t )
u1(t)
u0 2
(2
cos 1t
cos 2t )
u2
(t)
u0 2
(cos 2t
cos 1t )
P140,3-10: 图示阻尼系统受阶跃力 f0 作用，其中c 2mk,求零初始条件下系统的响应。
m
3m
u1 c c 0 u1 k k 0 u1 0
模态坐标系下的运动方程：
6m
3m / 2
q1 0 0 0 q1 0 0 0 q1 1
q2
0
3c / 2
0
q2
0
3k / 2
0
q2
1/
2
f0
6m q3 0 0 12c q3 0 0 12k q3 1
q1(0) q1(0) 0
q2
(0)
q2
(0)
0
q3(0) q3(0) 0
0
φ3
0
1
1
1
φ1
1 1
1
0
φ2
2 1
1
0
φ3
0
1
1
3m M
φ4 1
1
1
P140,3-7: 图示系统左端基础作简谐激励u0(t) u0 sint, 试求两集中质量的稳态位移响应并讨论其 反共振现象。
mu1(t) k(u1(t) u2 (t)) 2k(u1(t) u0(t)) mu2 (t) 2ku2 (t) k(u2 (t) u1(t))
r
n 0
r
diag[i2
1i N
]
r
Φ
1
ΦT
diag[
1i N
M
i
]
n
r
r0
r
diag[i2
1i N
]
Φ 1
ΦT CΦ
diag[ M i
1i N
]
n
r
r0
diag[i2
1i N
]
r
对角矩阵
P140,3-12 : 考察无刚体运动自由度的比例阻尼系统，证明计算其响应的模态加速度法为
证明：
mu1(t) k(u1(t) u2 (t)) 2k(u1(t) u0(t)) mu2 (t) 2ku2 (t) k(u2 (t) u1(t))
m
0
0 m
u1 u2
3k kk 3kFra biblioteku1 u2
2ku0 0
1
2k m
,2
4k m
1 1 φ1 1 , φ2 1
u1 u2
r 1
n
n
u(t) K 1 f (t) K 1M φr qr (t) K 1C φr qr (t)
r 1
r 1
n
n
K 1M
φr qr
(t )
Φ
diag[
K
1 r
]ΦT
M
φr qr (t)
r 1
1r N
r 1
Φ
diag[
K
1 r
][
M
1q1
(t
)
M nqn (t) 0
0]T
1r N
Φ[q1(t) / 12
,3
tan 1
3
1
2 3
n
P140,3-11: 如果系统阻尼矩阵形如 C M r (M 1K )r , 证明其具有实模态。
证明：特征值问题： (K r2 M )φr 0
r0
Kφr r2 Mφr , (r 1...N ) M 1Kφr r2φr , (r 1...N )
M 1KΦ Φ diag[i2 ]
k k
k k 2m
0 0
k 0 k 2m 0
k 0 0 0 k 2m
系统的固有频率： 1 0
2 3
k m
4
(M 3m)k mM
容易确定12和42的特征矢量：
1
φ1
1 1
1
3m M
φ4 1
1
1
对于2 3
k ，有 m
(K
k m
M )φi
k
3
M m
1
1
1
1 1 1
0 0 0 φi 0, (i 2,3) 0 0 0
T
1 2
( m1l 2 12
m1
(
l 2
)2
)12
1 2
( m2l 2 12
m2
(
l 4
)2
)
2 2
U
1 2
3l k1( 4
1
3l 4
2 )2
1 2
k2
(
l 2
2
)2
M
m1l 3
2
0
0
7m2l2
48
K
9l 2k1 16
9l 2k1 16
9l 2k1 16
9l 2k1 16
l 2k2 4
qn (t) / n2 0
0]T
n1
2
r 1 r
φr qr (t)
n
n
K 1C
φr
qr
(t
)
Φ
diag[
K
1 r
]ΦT
C
φr
qr
(t )
Φ
diag[
K
1 r
][C1q1
(t
)
Cnqn (t) 0
0]T
r 1
1r N
r 1
1r N
Φ[
C1 K1
q1 (t )
Cn Kn
qn (t)
0
0]T
Φ[ 21 1
P139, 3-1: 求图示摆的柔度系数。
d11
1
d 21
d31
d11
d21
d31
(m1
l1 m2
m3 )g
d 22
1
d32
d22
d32
(m1
l1 m2 m3 )g
(m2
l2 m3 )g
d33
1
d22
d32
(m1
l1 m2
m3 )g
(m2
l2 m3 )g
l3 m3 g
P139,3-2: 求图示系统的的刚度矩阵和柔度矩阵，并求m1 m2 m, k1 k2 k时系统的固有频率。
1 1
1 q1
1
q2
1
1
T
m
1
1
0
0 1 m 1
1 1
q1 q2
1 1
1
T
3k
1 k
k 1
3k
1
1 1
q1 q2
1 1
1
T
2ku0
1
0
1 0
0 1
q1 q2
012
0 22
q1 q2
ku0 ku0
/ /
m m
q1(t)
t 0
ku0 m
1 1
sin 1(t
1i N
其中：Φ [φ1
φN ]
M 1K Φ diag[i2 ]Φ1
1i N
代入
n
n
C M r (M 1K )r M r (Φ diag[i2 ]Φ1)r
r0
r0
1i N
M
n r0
rΦ
diag[i2
1i N
r
]
Φ 1
n
MΦ
r0
r
r
diag[i2
1i N
]
Φ 1
Φ
T
ΦT
MΦ
u(t)
K
1
f
(t)
n r 1
2 r r
φr qr
(t)
n r 1
1 r2 φr qr
(t)
Mu(t) Cu(t) Ku(t) f (t) u(t) K 1 f (t) K 1Mu(t) K 1Cu(t)
n
n
模态截断：u(t) φrqr (t), u(t) φrqr (t)
r 1
系统的动能：T
1 2
mu12
1 2
Mu22
1 2
mu32
系统的势能：U
1 2
3EI l
(u3
u2 )2
1 2
3EI l
(u1
u2 )2
m
1 1 0
M
M
K
3EI l
1
2
1
m
0 1 1
1 0
2
3EI ml
3EI Ml
3
3EI (2m M ) Mml
3EI (2 1) Ml
1 φ1 1
q1
(t
)
f0 12m
t
2
q2 (t)
t 0
f0 3m
1 d
2
e
22
(t
)
sin
d
2
(t
)d
f0
1
3k
e 22t
1
2 2
cos(d
2t
2
)
d 2
1
2
22
,
2
c 2m2
,2
tan1
2
1
2 2
q3 (t)
f0 6k
1
e 33t
1
2 3
cos(d 3t
3
)
d3
1
2 3
3
,
3
c 2m3
q1 (t )
2 n n
qn (t)
0
0]T
n r 1
2 r r
φr qr (t)
u(t)
K 1
f
(t)
n r 1
2 r r
φr qr
(t)
n r 1
1 r2 φr qr (t)
m3
k1 k2
K
k2
0
k2 k2 k3 k5 k6
k3
0
k3
k3 k4
m
M
2m
m
2k k 0
K k
4k
k
0 k 2k
1
k m
2
2k m
3
3k m
1 φ1 1
1
1
φ2
0
1
1 φ2 1
1
P140,3-4: 图示带集中质量的自由梁是飞机的最简单的模型，梁的抗弯刚度EI, 质量不计， 集中质量的比值为 m / M。求系统的固有频率和固有振型。
1
1
φ2
0
1
1
φ3
2
1
P140,3-5: 图示系统中各质量只能沿ui，i 1, 4方向运动，试分析其固有模态。
M 0 0 0
M
0
m
0
0
0 0 m 0
0
0
0 m
3k k k k
K k k
0
0
k 0 k 0
k 0
0
k
特征值问题： (K 2M )φ 0
3k 2M 系统固有频率满足的方程： k
0 0 0
正交条件：φiT M φ1 φiT M φ4 0, (i 2,3)
1i 0 2i 3i 4i 0
(i 2,3)
2i 3i 4i 0, (i 2,3)
任取32 42 1
0
φ2
2 1
1
正交条件：φ3T M φ2 0
1233
0 33
43
0
223 33 43 0