高中数学第一章立体几何初步1.2.3第1课时直线与平面垂直bb高一数学

∵BE∩DF＝F，BE⊂平面BDE，DF⊂平面BDE，
∴AF⊥平面BDE，∴AF⊥BD. 12/13/2021
证明
达标检测
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1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平
面垂直的是
①三角形的两边； ②梯形的两边；
③圆的两条直径； ④正六边形的两条边.
√A.①③
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证明
(2)AF⊥BD.
证明 在Rt△ABE中，∵AE＝AB，F为BE的中点，
∴AF⊥BE.
∵△ABC是正三角形，
∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.
∵AE⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，
∴AE⊥CG，∴AE⊥DF.
且AE∩AB＝A，∴DF⊥平面ABE，
∵AF⊂平面ABE，∴AF⊥DF.
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a⊥m a⊥n
_m_⊂__α_ _n_⊂_α__
⇒ a⊥α
m∩n＝A
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条件：两平条行 直 线中的一条垂直于一 推论1 个平面， 结论：另一条直线也
同一个
垂直于这个平面 条件：两条直线垂直 于_______
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l⊥α _l∥__m__
⇒ m⊥α
l⊥α _m_⊥__α_
答案 不一定.
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思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
答案 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.
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梳理 直线与平面垂直的判定定理及推论
定理及推 论
文字语言
图形语言
条件：相交一条直线与
判定 定理
平面内的两条 直线垂直， 结论：这条直线与
符号语言
知识点一 直线与平面垂直的定义及性质 (1)直线与直线垂直 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为 直角， 则称这两条直线互相垂直.
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(2)直线与平面垂直的定义及性质
定义及符号表 图形语言及
有关名称 重要结论
示
画法
垂线
如果一条直线
直线A垂B面：平
面α垂的足
(A任B何)和直一线都个垂平直 面(α)相交于
⇒l∥m
[思考辨析 判断正误] 1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可 能平行.( × ) 2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( × ) 3.若a⊥b，b⊥α，则a∥α.( × )
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题型探究
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类型一 直线与平面垂直的判定
类型二 线面垂直的性质的应用
例2 如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC， A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.
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证明
反思与感悟 平行关系与垂直关系之间的相互转化
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跟踪训练2 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β， 垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.
B.②
C.②④
D.①②④
解析 由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面. 而②④图形中的两边不一定相交， 故该直线与它们所在的平面不一定垂直.
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解析 答案
2.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形
的第三边AB的位置关系是
A.平行
第一章 1.2.3 空间中的垂直关系
第1课时 直线与平面垂直
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学习目标
1.理解直线与平面垂直的定义及性质. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论 解决相关的问题.
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内容索引
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问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
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证明 由例1知BC⊥平面PAC， 又∵AE⊂平面PAC， ∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C， ∴AE⊥平面PBC.
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证明
反思与感悟 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直. (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线. (3)根据判定定理得出结论.
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证明
反思与感悟 若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条 直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂 直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质.
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跟踪训练3 如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC， 且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证： (1)DF∥平面ABC；
√B.垂直
C.相交
D.不确定
解析 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直， 而这两边相交于点C， 所以直线l和三角形所在的平面垂直， 又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.
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解析 答案
3.下列条件中，能使直线m⊥平面α的是
A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
∴AC⊥BO.
又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥BB1， 又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O， 又EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，
∴EF⊥平面BB1O.
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证明
规律与方法
1.直线与平面垂直的判定方法： (1)利用定义； (2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线. 2.对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解： (1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一 种方法. (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了 “垂直”与“平行”关系转化的依据.
∴AB∥CD，
故直线AB与CD确定一个平面.
∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，
又BD⊥EF，AB∩BD＝B，
∴EF⊥平面ABDC.
∵AC⊂平面ABDC，
∴AC⊥EF. 12/13/2021
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解析 答案
5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点， O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O. 证明 ∵ABCD为正方形，
又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC. 12/13/2021
证明
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明 因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
所以BD⊥平面SAC.
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证明
例1 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O 上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.
证明 ∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC. 又∵AB是⊙O的直径， ∴BC⊥AC. 而PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC.
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证明
引申探究 若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.
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跟踪训练1 如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为 斜边AC的中点. (1)求证：SD⊥平面ABC；
证明 因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
又因为SB＝SA，SD＝SD，
所以△ADS≌BDS.
所以SD⊥BD.
B.m⊥b，b∥α
C.m∩b＝A，b⊥α
√D.m∥b，b⊥α
解析 由直线与平面垂直的判定定理的推论1知，选项D正确.
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解析 答案
4.如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF， 则AC与EF的位置关系是_垂__直__.
解析 ∵AB⊥α，CD⊥α，
垂线；段 平面α： 任意一条
直线AB
如果一条直
点O，并AB且⊥α和
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的 距；离 点 线垂直于一
知识点二 直线和平面垂直的判定定理及推论 将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌 面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系. 思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？
证明 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA. 同理l⊥EB， 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a⊂β， 所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.
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证明
类型三 线面垂直的综合应用
例3 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC 的中点，求证：MN⊥CD.