应用数理统计 杨虎 第三章习题及答案

习题三
2.设总体的分布密度为：
(1),01
(;)0,
x x f x ααα+<<=⎧⎨⎩其它
1(,,)n X X 为其样本，求参数α的矩估计量1ˆα
和极大似然估计量2ˆα .现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数α的估计值 .
解 计算其最大似然估计：
()()
11
1
1
1
(,)11ln (,)ln(1)ln n
n
n
n i i i i n
n i
i L x x x x L x x n x α
α
αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑
11
21
ln (,)ln 01ˆ10.2112
ln n
n i i n i
i d n L x x x d n
x ααααα====+=+=--=∑∑ 其矩估计为：
()1 3.40.10.20.90.80.70.766
X =
+++++= 3077
.01
21ˆ,212)
1()1(11
01
21=--==++=++=+=⎰++X X
X x dx x EX αααααααα
所以：12112ˆˆ,11ln n i
i X n
X X α
α=⎛⎫
⎪- ⎪==-+-
⎪ ⎪⎝
⎭
∑， 12ˆˆ0.3077,0.2112αα≈≈.
3. 设元件无故障工作时间X 具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：
如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计. .解 最大似然估计：
1
1
(,),ln ln i n
x n nx n i L x x e e L n nx λλλλλλλ--====-∏
7
11120000ˆln 0,,2010001000
i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1
ˆ0.05X λ
==.
4. 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为：
1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.
解 设灯泡的寿命为x ,2
~(,)x N μσ,极大似然估计为：2
21
1ˆˆ,()n
i i x x x n μ
σ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.81μ
σ== . 经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.
5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布)，其化验结果如下：
试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解 设x 为每升水中大肠杆菌个数，~
()x P λ，Ex λ=，由3题（2）问知，λ的
最大似然估计为x ，所以
().150/1*42*310*220*117*0ˆ=++++==X L λ
所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .
7. 设1234,,,X X X X 是总体X 的样本，设有下述三个统计量： 123411
1
6
3
ˆ()()X X X X a ++=+
12342234ˆ()/10X X X X a +++= 12343ˆ()/4X X X X a +++=
指出1ˆ,a
2ˆ,a 3ˆa 中哪几个是总体均值a =EX 的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？ 解
22222111111
ˆˆ()(),()()0.2763369
E D α
αααααασσσσσ=+++==+++= 2ˆ(234)/10E αααααα=+++=，22ˆ0.3D ασ= 223314
ˆˆ(),0.25416
E D α
αααααα
σσ=+++=== 所以 123ˆˆˆ,,α
αα无偏，3ˆα方差最小.
8. 设1,...,n X X 是来自总体X 的样本，并且EX =μ，DX = 2
σ，2,X S 是样本均值和样本方差，
试确定常数c ，使22X cS -是2μ的无偏估计量 .
解
2
222222
222
()E X cS EX cES DX E X c c n
σσμσμ-=-=+-=
+-=
所以
1
c n =
.
9. 设1ˆθ，2ˆθ是θ的两个独立的无偏估计量，并且1ˆθ的方差是2ˆθ的方差的两倍 .试确定常
数c 1, c 2，使得11ˆc θ+22
ˆc θ为θ的线性最小方差无偏估计量 . 解： 设
22122,2D D θσθσ==
112212121221(()11E c c c c c c c c c c θθμμμμ+=+=+=+==-），，
()(
)
2
222
22211221211(2221D c c c c c c θθσσσ+=+=+-）
()2
22111121321c c c c +-=-+
当1212*33c -=-=，上式达到最小，此时212
13
c c =-= .
10. 设总体X 具有如下密度函数，
1,01
(,)0,
x x f x θθθθ-<<=>⎧⎨⎩，0其它
1,...,n X X 是来自于总体X
的样本，对可估计函数1
()g θθ
=
，求()g θ的有效估计量ˆ()g
θ，并确定R-C 下界 .
解 因为似然函数
111
1
L(,),ln ln (1)ln i i n
n n n n i i x x x x L n x θθθθθ--====+-∑∏∏
111ln ln ln ln ()0i i i d n L x n x n x g d n n θθθθ⎛⎫⎛⎫=+=---=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑ 所以取统计量1
ln i T x n
=-
∑ 1
1
1
1110
1
ln ln ln ln i E X x x dx xdx x x x dx θθθ
θθθ
--===-=-
⎰⎰⎰
得1
ET θ
=
=()g θ，所以1
ln i T x n
=-
∑是无偏估计量 令()c n θ= 由定理2.3.2知 T 是有效估计量，由221
()1()g DT c n n θθθθ
-
'=
==- 所以 C-R 方差下界为
21
n θ.
11. 设1,...,n X X 是来自于总体X 的样本，总体X 的概率分布为：
||1||
(,)()(1)
,1,0,1,012
x x f x x θ
θθθ-=-=-≤≤
1） 求参数θ的极大似然估计量ˆθ；
2） 试问极大似然估计ˆθ是否是有效估计量？如果是，请求它的方差ˆD θ和信息量()I θ；
3 试问θ是否是相合估计量？（书上没有这个问题） 解 1）
()()
111(,)1122ln ln (n )ln(1)
i
i
i i
x x n
x n x n i i i L x x L x x θθθθθθθ--
=∑⎛⎫⎛⎫
∑=-=- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭=+--∏∑∑
n 1ln 01(1)n xi xi d n L xi d θθθθθθ-⎛⎫=-=-= ⎪--⎝⎭
∑∑∑ 得到θ最大似然估计量1
ˆxi n
θ
=∑ 2）
()()1
1
0011,10122E
xi E xi E xi n n θθθθθ⎛⎫⎛⎫
==-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑
所以11
E
xi E xi n n
θ==∑∑ 所以ˆθ是无偏估计量，()(1)
n c θθθ=-，由定理2.3.2得到1ˆxi n θ=∑是θ有效估计
量
信息量c()1
()(1)
I n θθθθ=
=-
3）
1(1)ˆD 0,(n )c()n
θθθ
θ-==→→∞ 所以，T 也是相合估计量 .
12 从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为：
2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15， 2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11
设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值μ的90%置信区间，
1）若已知σ=0.01cm ； 2）若σ未知；
解 因为 2.125,16,0.171,X n s ===()0.950.9510.95, 1.65,15 1.7532
t α
μ===-
1） 计算
0.95
0.952.1209, 2.1291X b a X αμμ-===+== 所以 置信区间为[]1.1212.129，
2） 计算
(
(
0.950.9515 2.1175,15 2.1325X t b X t α-==+== 所以 置信区间为[]2.1152.135，.
13 随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为95%的置信区间 .
解 由题意标准差σ的置信度为0.95的置信区间为0.9750.02522
2
2(1)(1)(,)(8)(8)
n S n S χχ-- 计算得
0.9750.02522
22(1)(1)11,9,0.05,7.431,21.072(8)(8)
n S n S S n a b αχχ--=======
所以 置信区间为 [7.431,21.072].
14. 随机地从A 批导线中抽取4根，并从B 批导线中抽取5根，测得其电阻(Ω)为：
A 批导线：0.143，0.142，0.143，0.137
B 批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140
设测试数据分别服从21(,)N μσ和22(,)N μσ，并且它们相互独立，又2
1
2
,,μμσ均未知，求参
数12μμ-的置信度为95%的置信区间 .
解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：
置信区间为1212
2
1
(2)X Y t
n n S n α-
-±+- 计算得
262
6A B 120.14125,0.1392,8.25*10, 5.2*10,4,5,0.05
x y S S n n α--======= 2
6W W 0.9756.5710,0.00255,(7) 2.365,0.0022,0.0063S S t a b -====-=
所以[0.0022,0.0063]-.
15. 有两位化验员A 、B ，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测
定，其测定值的方差2
s 依次为0.5419和0.6065，设2A σ与2
B σ分别为A 、B 所测量数据的总
体的方差(正态总体)，求方差比2A σ/2B σ的置信度为95%的置信区间 .
解 由题意，这是两正太总体方差比的区间估计：
置信区间为22A
A
22B
B
1212(
,
)1(1,1)(1,1)
2
2
S S S S F n n F
n n -
----
计算得
22A B 120.5419,0.6065,10,0.05S S n n α=====
22
A
A
22B B
0.9750.0250.2217, 3.6008(9,9)(9,9)
S S S S a b F F ====
所以置信为 [0.2217,3.6008].。