三阶锁相环环路滤波器参数设计
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( 6)
[8]
3
2
2
2
2
2
2 锁相环线性模型
锁相环的线性模型如图 1 所示 , 图中 K, F ( s ) ,
1 / s分别是环路总增益 、 环路滤波器 、 VCO 环节
[ 8, 9 ]
;
由图可以得到系统的开环传递函数 、 闭环传递函数 [ 8, 9 ] 和误差传递函数 。
利用伯德法则 : 当开环增益为 1 时 ,其相位余 量必须大 于 0, 闭环 才 能 稳 定 。根 据 开 环 方 程 式 ( 5 ) ,计算出增益临界频率为 τ 2 ωT = K 2 ( 7) τ 1 环路稳定的相位条件 : ωTτ 2a rc tg + 180 °> 0 2 - 270 ° 由上式可求得稳定条件 : 2 τ 1 K > 3 τ 2 令
3
摘 要 : 锁相环在通信 、 遥测 、 导航等领域有着广泛的应用 ,三阶锁相环由于其频率斜率跟踪能力 ,越 来越受到重视 ,特别是深空探测的极窄带应用 。利用系统稳定性分析方法和高阶系统分析理论 ,分 别对两种模型的二阶环路滤波器 ,即理想二阶滤波器和三参数滤波器模型 ,推导了参数设计公式 ,给 出三阶锁相环设计参数的模拟及数字环路公式 , 并与 JPL 数字锁相环 ( DPLL ) 的设计参数经验公式 进行比较 。仿真结果表明 , 3 种设计方法近似相同 ,而所推导的参数设计方法优点在于可以灵活配 置系统的零 、 极点的位置以及阻尼系数等多种参数 ,为各种变带宽和自适应算法提供理论和应用基 础。 关键词 : 深空探测 ; 数字锁相环 ; 环路滤波器 ; 稳定条件 ; 高阶系统分析 ; 参数设计 中图分类号 : TN713 文献标识码 : A
其地面锁相接收机中的应用
[1 - 4]
。极少有文献对三
1 引 言
锁相环在通信 、 遥测 、 导航等领域有着广泛的应 用 ,目前的工程应用以二阶环为主 ,三阶环由于 其对加速度的跟踪能力 ,已经得到一定程度的应用 ,
[1 - 7]
阶锁相环的参数设计进行讨论 , 而一般以 JPL 的数 字锁相环 (DPLL ) 的经验参数公式直接进行数字锁 相环设计
r
3
=
r
4B L
2r + 3 ・ 2r - 1
r
4B L
2r + 3 ・ ・ K 2r - 1
( 14 )
3 理想二阶滤波器模型
本节推导的模型是一般的理想二阶滤 2 s
τ 1 s
( 4)
由式 ( 1 )和式 ( 2 )可以分别得到开环 、 闭环的传 递函数分别为 ・52・
n n- 1
+ … + an = 0 ( a0 > 0 ) 的系统 , 当
4 三参数模型
本节推导的滤波器称为三参数滤波器 , 其模型 如下 :
F ( s) = as + bs + c 2 s
2
n = 3 时的劳思 - 赫尔维茨稳定判据为 : a1 a2 - a0 a3
τs
2
2 3 1
K ( 1 +τ 2 s)
2 2 2
2 3 2 τ 1 s + K ( 1 +τ 2 s)
(K τ τ τ τ τ 2 / 1 ) s + ( 2K 2 / 1 ) s + K/ 1
2
2
τ τ τ τ τ s + (K 2 / 1 ) s + ( 2K 2 / 1 ) s + K/ 1
联立求解 ,可得参数的计算公式 :
2 (2m ξ ξ + 1) (m + 2)ξ - m 2 2 2 2 2 (m + 2) (2m ξ + 1)ξ ξ ξ + (2m + 1) - (m + 2)m 2
式中 , fs = 1 / T 是采样频率 。滤波器的逻辑结构如图 2 所示 。
( m + 2 )ξ ωn ・ k
r = ωTτ 2 = ( 8)
( 9)
图 1 锁相环线性模型
开环传递函数为
H0 ( s) = K ・F ( s) ・1 / s ( 1)
τ K 2 τ
2 1
3
( 10 )
闭环传递函数为
H ( s) = H0 ( s) 1 + H0 ( s) ( 2)
利用积分规则
误差传递函数为
He ( s ) =
Param eter D esign for L oop F ilter of Th ird - order PLL
WAN G Yu - zhou
( Southwest China Institute of Electronic Technology, Chengdu 610036, China ) Abstract: PLL has the w ide app lication in communication, telemetry and navigation field. B ecause of fre2 quency slope tracking capability, the third - order PLL gets more and more attention in the very narrow 2 band app lication for deep space exp loration. B y using of system stability analysis methods and high - order system analysis theory, the parameter designing formulas of two kinds of second - order loop filters which are ideal second - order and three - parameter filters are derived respectively . The analog and digital loop formulas of third - order PLL designing parameters are p rovided, and also compared w ith experienced for2 mulas of JPL ’ s DPLL designing param eters . The sim ulation results show that the three kinds of methods are sim ilar, but the position of system zero points, pole points and dump ing parameter in this deduced pa2 rameters design m ethod can be set freely, so it can p rovide p rincip les and app lication basis for each kind of variable bandw idth and adap tive algorithm. Key words: deep space exp loration; digital PLL (DPLL ) ; loop filter; stability condition; high - order system analysis; parameter design
1 1 + H0 ( s)
( 3)
锁相环的阶数等于其特征函数的阶数 , 而特征 函数在 s = 0 处的零点数就是锁相环的型数 ,其中由 于 VCO 提供一个固定的积分环节 , 所以 , 锁相环的 型数就等于环路滤波器的型数加 1。在高动态频率 跟踪时 ,对频率斜率的跟踪一般都设计成三阶三型 环结构 ,才能使环路对加速度的稳态跟踪误差为零 。 故以下推导参数公式时按二型二阶滤波器 (也就是 三阶三型锁相环 )来进行建模推导 。
第 48 卷 第 9 期 2008 年 9 月
Telecommunication Engineering
Vol . 48 No. 9 Sep. 2008
文章编号 : 1001 - 893X ( 2008 ) 09 - 0051 - 05
三阶锁相环环路滤波器参数设计
王宇舟
(中国西南电子技术研究所 , 成都 610036 )
第 48 卷 第 9 期 2008 年 9 月
Telecommunication Engineering
H0 ( s) = H ( s) = = K ( 1 +τ 2 s)
2
Vol . 48 No. 9 Sep. 2008
( 5)
设计的场合 , 就要从模拟设计建模开始进行分析 。 为此 ,本文利用系统稳定性分析方法和高阶线性系 统分析理论 ,分别对两种不同的环路滤波器模型 ,进 行了参数设计公式推导 , 并对得到的模拟参数进行 数字化 。所推导的参数公式 , 可以通过合理配置环 路的零 、 极点的位置和阻尼系数等多种参数实现系 统的优化 ,并可以和各种算法配合 ,用于变带宽或自 [ 6, 7 ] 适应算法等锁相环路设计 。
2 ( 1 + 2mξ ) ω2 ・ n k
mξ 3 ωn ・ k
( 21 )
式 ( 21 )即为所求的参数计算公式 , 可以利用进 行滤波器的参数设计 。其稳定性的分析采用劳思 图 2 三阶数字滤波器结构
赫尔维茨稳定判据 ,判据的内容如下 : 特征方程形如
D ( s) = a0 s + a1 s
利用式 ( 14 )可以进行环路滤波器的参数设计 , 设计时通过式 ( 9 ) 确保环路稳定 , 通过式 ( 13 ) 选取 环路的相位余量 。 要说明的一点是 , 利用模型推导出的参数计算 公式 ( 14 )在理论上是有缺陷的 , 通过高阶系统的分 析方法 (第 4 节所介绍的方法 ) , 所得到的方程是欠 定的 ,因为可选参数有 4 个 , 而独立参数只有 3 个 ,
[1 - 4]
。但 JPL 的参数公式已经是数字化形
式 ,对于在需要利用理论推导进行环路优化 ,或者需 要设计变带宽环路 , 甚至进行自适应算法变带宽环
并正受到越来越多的重视 , 特别是在深空探测器及
3
收稿日期 : 2008 - 06 - 20; 修回日期 : 2008 - 08 - 29 ・51・
第 48 卷 第 9 期 2008 年 9 月
Telecommunication Engineering
Vol . 48 No. 9 Sep. 2008
ωn 有无穷解 。在实际应用时将频率限制在一定范 围内 ,利用其设计三阶环的环路参数就不会出现问 题。 将模拟滤波器进行数字化有多种方法 , 下面给 [ 10 ] 出双线性变换法 。 -1 2 1 - z 将 s = 代入式 ( 1 ) , 得到理想二阶滤 T 1 + z- 1 波器的对应数字参数公式如下 : 2 (T + 2 τ 2 ) G1 = 2 τ 4 1
计算出环路带宽 : 3 τ K 2 2 2 +3 2 τ τ 1 K BL = ・ 2 ・ 3 4 τ K τ 2 1 2 2 - 1 τ 1 将 r代入式 ( 11 ) ,整理得 : r 2r + 3 BL = ・ τ 4 2r - 1 2
[ 6, 8 ]
( 11 )
( 12 )
相位余量 : ωTτ < = 2a rc tg 2 - 90 °= 2a rc tg r - 90 ° ( 13 ) 利用 r的取值和式 ( 11 ) ,滤波器的参数为 r 2r + 3 τ ・ 2 = 4B L 2 r - 1 τ 1 = τ K 2
G2 = G3 =
是负的才能保证系统稳定 。通过合理对其位置的选 择 ,系统的性能可以进行修正 ,同样可以调节三阶环 的阻尼系数 m 来改变系统的性能 。 比较闭环系统特征函数可知 , 两者代表同一个 系统 ,对应的系数应该相等 ,得到 ωn + 2 ξ ωn = ka mξ
2 2 ω2 ξ ωn = kb n + 2m
( 20 )
ωn = kc mξ 利用积分规则
BL =
[ 6, 8 ]
3
,进行等效噪声带宽计算 :
ka b + b - ac bak - c
2 2
τ τ 2 2 (T +2 2 ) τ τ 42
2 τ 1 2 2 2 1
k
( 15 )
ωn =
4BL ・
a = b = c =
4
・
( 21 )
[8]
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2
2
2
2
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2 锁相环线性模型
锁相环的线性模型如图 1 所示 , 图中 K, F ( s ) ,
1 / s分别是环路总增益 、 环路滤波器 、 VCO 环节
[ 8, 9 ]
;
由图可以得到系统的开环传递函数 、 闭环传递函数 [ 8, 9 ] 和误差传递函数 。
利用伯德法则 : 当开环增益为 1 时 ,其相位余 量必须大 于 0, 闭环 才 能 稳 定 。根 据 开 环 方 程 式 ( 5 ) ,计算出增益临界频率为 τ 2 ωT = K 2 ( 7) τ 1 环路稳定的相位条件 : ωTτ 2a rc tg + 180 °> 0 2 - 270 ° 由上式可求得稳定条件 : 2 τ 1 K > 3 τ 2 令
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摘 要 : 锁相环在通信 、 遥测 、 导航等领域有着广泛的应用 ,三阶锁相环由于其频率斜率跟踪能力 ,越 来越受到重视 ,特别是深空探测的极窄带应用 。利用系统稳定性分析方法和高阶系统分析理论 ,分 别对两种模型的二阶环路滤波器 ,即理想二阶滤波器和三参数滤波器模型 ,推导了参数设计公式 ,给 出三阶锁相环设计参数的模拟及数字环路公式 , 并与 JPL 数字锁相环 ( DPLL ) 的设计参数经验公式 进行比较 。仿真结果表明 , 3 种设计方法近似相同 ,而所推导的参数设计方法优点在于可以灵活配 置系统的零 、 极点的位置以及阻尼系数等多种参数 ,为各种变带宽和自适应算法提供理论和应用基 础。 关键词 : 深空探测 ; 数字锁相环 ; 环路滤波器 ; 稳定条件 ; 高阶系统分析 ; 参数设计 中图分类号 : TN713 文献标识码 : A
其地面锁相接收机中的应用
[1 - 4]
。极少有文献对三
1 引 言
锁相环在通信 、 遥测 、 导航等领域有着广泛的应 用 ,目前的工程应用以二阶环为主 ,三阶环由于 其对加速度的跟踪能力 ,已经得到一定程度的应用 ,
[1 - 7]
阶锁相环的参数设计进行讨论 , 而一般以 JPL 的数 字锁相环 (DPLL ) 的经验参数公式直接进行数字锁 相环设计
r
3
=
r
4B L
2r + 3 ・ 2r - 1
r
4B L
2r + 3 ・ ・ K 2r - 1
( 14 )
3 理想二阶滤波器模型
本节推导的模型是一般的理想二阶滤 2 s
τ 1 s
( 4)
由式 ( 1 )和式 ( 2 )可以分别得到开环 、 闭环的传 递函数分别为 ・52・
n n- 1
+ … + an = 0 ( a0 > 0 ) 的系统 , 当
4 三参数模型
本节推导的滤波器称为三参数滤波器 , 其模型 如下 :
F ( s) = as + bs + c 2 s
2
n = 3 时的劳思 - 赫尔维茨稳定判据为 : a1 a2 - a0 a3
τs
2
2 3 1
K ( 1 +τ 2 s)
2 2 2
2 3 2 τ 1 s + K ( 1 +τ 2 s)
(K τ τ τ τ τ 2 / 1 ) s + ( 2K 2 / 1 ) s + K/ 1
2
2
τ τ τ τ τ s + (K 2 / 1 ) s + ( 2K 2 / 1 ) s + K/ 1
联立求解 ,可得参数的计算公式 :
2 (2m ξ ξ + 1) (m + 2)ξ - m 2 2 2 2 2 (m + 2) (2m ξ + 1)ξ ξ ξ + (2m + 1) - (m + 2)m 2
式中 , fs = 1 / T 是采样频率 。滤波器的逻辑结构如图 2 所示 。
( m + 2 )ξ ωn ・ k
r = ωTτ 2 = ( 8)
( 9)
图 1 锁相环线性模型
开环传递函数为
H0 ( s) = K ・F ( s) ・1 / s ( 1)
τ K 2 τ
2 1
3
( 10 )
闭环传递函数为
H ( s) = H0 ( s) 1 + H0 ( s) ( 2)
利用积分规则
误差传递函数为
He ( s ) =
Param eter D esign for L oop F ilter of Th ird - order PLL
WAN G Yu - zhou
( Southwest China Institute of Electronic Technology, Chengdu 610036, China ) Abstract: PLL has the w ide app lication in communication, telemetry and navigation field. B ecause of fre2 quency slope tracking capability, the third - order PLL gets more and more attention in the very narrow 2 band app lication for deep space exp loration. B y using of system stability analysis methods and high - order system analysis theory, the parameter designing formulas of two kinds of second - order loop filters which are ideal second - order and three - parameter filters are derived respectively . The analog and digital loop formulas of third - order PLL designing parameters are p rovided, and also compared w ith experienced for2 mulas of JPL ’ s DPLL designing param eters . The sim ulation results show that the three kinds of methods are sim ilar, but the position of system zero points, pole points and dump ing parameter in this deduced pa2 rameters design m ethod can be set freely, so it can p rovide p rincip les and app lication basis for each kind of variable bandw idth and adap tive algorithm. Key words: deep space exp loration; digital PLL (DPLL ) ; loop filter; stability condition; high - order system analysis; parameter design
1 1 + H0 ( s)
( 3)
锁相环的阶数等于其特征函数的阶数 , 而特征 函数在 s = 0 处的零点数就是锁相环的型数 ,其中由 于 VCO 提供一个固定的积分环节 , 所以 , 锁相环的 型数就等于环路滤波器的型数加 1。在高动态频率 跟踪时 ,对频率斜率的跟踪一般都设计成三阶三型 环结构 ,才能使环路对加速度的稳态跟踪误差为零 。 故以下推导参数公式时按二型二阶滤波器 (也就是 三阶三型锁相环 )来进行建模推导 。
第 48 卷 第 9 期 2008 年 9 月
Telecommunication Engineering
Vol . 48 No. 9 Sep. 2008
文章编号 : 1001 - 893X ( 2008 ) 09 - 0051 - 05
三阶锁相环环路滤波器参数设计
王宇舟
(中国西南电子技术研究所 , 成都 610036 )
第 48 卷 第 9 期 2008 年 9 月
Telecommunication Engineering
H0 ( s) = H ( s) = = K ( 1 +τ 2 s)
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Vol . 48 No. 9 Sep. 2008
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设计的场合 , 就要从模拟设计建模开始进行分析 。 为此 ,本文利用系统稳定性分析方法和高阶线性系 统分析理论 ,分别对两种不同的环路滤波器模型 ,进 行了参数设计公式推导 , 并对得到的模拟参数进行 数字化 。所推导的参数公式 , 可以通过合理配置环 路的零 、 极点的位置和阻尼系数等多种参数实现系 统的优化 ,并可以和各种算法配合 ,用于变带宽或自 [ 6, 7 ] 适应算法等锁相环路设计 。
2 ( 1 + 2mξ ) ω2 ・ n k
mξ 3 ωn ・ k
( 21 )
式 ( 21 )即为所求的参数计算公式 , 可以利用进 行滤波器的参数设计 。其稳定性的分析采用劳思 图 2 三阶数字滤波器结构
赫尔维茨稳定判据 ,判据的内容如下 : 特征方程形如
D ( s) = a0 s + a1 s
利用式 ( 14 )可以进行环路滤波器的参数设计 , 设计时通过式 ( 9 ) 确保环路稳定 , 通过式 ( 13 ) 选取 环路的相位余量 。 要说明的一点是 , 利用模型推导出的参数计算 公式 ( 14 )在理论上是有缺陷的 , 通过高阶系统的分 析方法 (第 4 节所介绍的方法 ) , 所得到的方程是欠 定的 ,因为可选参数有 4 个 , 而独立参数只有 3 个 ,
[1 - 4]
。但 JPL 的参数公式已经是数字化形
式 ,对于在需要利用理论推导进行环路优化 ,或者需 要设计变带宽环路 , 甚至进行自适应算法变带宽环
并正受到越来越多的重视 , 特别是在深空探测器及
3
收稿日期 : 2008 - 06 - 20; 修回日期 : 2008 - 08 - 29 ・51・
第 48 卷 第 9 期 2008 年 9 月
Telecommunication Engineering
Vol . 48 No. 9 Sep. 2008
ωn 有无穷解 。在实际应用时将频率限制在一定范 围内 ,利用其设计三阶环的环路参数就不会出现问 题。 将模拟滤波器进行数字化有多种方法 , 下面给 [ 10 ] 出双线性变换法 。 -1 2 1 - z 将 s = 代入式 ( 1 ) , 得到理想二阶滤 T 1 + z- 1 波器的对应数字参数公式如下 : 2 (T + 2 τ 2 ) G1 = 2 τ 4 1
计算出环路带宽 : 3 τ K 2 2 2 +3 2 τ τ 1 K BL = ・ 2 ・ 3 4 τ K τ 2 1 2 2 - 1 τ 1 将 r代入式 ( 11 ) ,整理得 : r 2r + 3 BL = ・ τ 4 2r - 1 2
[ 6, 8 ]
( 11 )
( 12 )
相位余量 : ωTτ < = 2a rc tg 2 - 90 °= 2a rc tg r - 90 ° ( 13 ) 利用 r的取值和式 ( 11 ) ,滤波器的参数为 r 2r + 3 τ ・ 2 = 4B L 2 r - 1 τ 1 = τ K 2
G2 = G3 =
是负的才能保证系统稳定 。通过合理对其位置的选 择 ,系统的性能可以进行修正 ,同样可以调节三阶环 的阻尼系数 m 来改变系统的性能 。 比较闭环系统特征函数可知 , 两者代表同一个 系统 ,对应的系数应该相等 ,得到 ωn + 2 ξ ωn = ka mξ
2 2 ω2 ξ ωn = kb n + 2m
( 20 )
ωn = kc mξ 利用积分规则
BL =
[ 6, 8 ]
3
,进行等效噪声带宽计算 :
ka b + b - ac bak - c
2 2
τ τ 2 2 (T +2 2 ) τ τ 42
2 τ 1 2 2 2 1
k
( 15 )
ωn =
4BL ・
a = b = c =
4
・
( 21 )