(江苏专用)高考数学一轮复习 考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词必刷题(含解析)-人教版

考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1、已知命题“∃x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a≥0”为真命题，则实数a 的取值X 围是____．
【答案】[－8，＋∞)
【解析】原命题的否定为∀x ∈[1，2]，x 2＋2x ＋a<0.因为y ＝x 2＋2x 在区间[1，2]上单调递增，所以x 2＋2x≤8<－a ，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a 的取值X 围是a<－8的补集，即a≥－8，故a 的取值X 围是[－8，＋∞)．
2、若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值X 围是________．
【答案】[－22，22]
【解析】因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，
则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．
因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，
故－22≤a ≤2 2.
3、已知命题；命题是增函数.若“”为假命题且“”为真命题，则实数m 的取值X 围为_______.
【答案】[1，2)
【解析】命题p ：∀x ∈R ，x 2
+1＞m ，解得：m ＜1；
命题q ：指数函数f （x ）=（3-m ）x 是增函数，
则3-m ＞1，解得：m ＜2，
若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，
则p ，q 一真一假，
p 真q 假时：
无解， p 假q 真时： ，解得：1≤m＜2， 故答案为：[1，2）．
4、现有下列命题：
①命题“∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0”的否定是“∃x ∈R ，x 2
＋x ＋1≠0”；
②若集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则A ∩(∁R B )＝A ；
③函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是φ＝k π＋π2
(k ∈Z)； ④若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则b 与a －b 的夹角为60°.
其中为真命题的是________．
【答案】②③
【解析】命题①假，因为其中的存在符号没有改；命题②真，因为∁R B ＝(－1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝A ；
命题③真，若φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则f (x )＝sin(ωx ＋k π＋π2
)＝±cos ωx 为偶数；命题④假，因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以由三角形法则可得|a |， |b |的夹角为60°，b 与(a －b )的夹角为120°.所以填写答案为②③.
5、已知命题p ：∃x ∈[0，
π2
]，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值X 围是________． 【答案】[－1,2]
【解析】依题意，cos 2x ＋cos x －m ＝0在x ∈[0，π2]上恒成立，即cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，由于x ∈[0，π2
]，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值X 围是[－1,2]．
6、已知命题p 1：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0成立；p 2：对任意x ∈[1,2]，x 2
－1≥0.以下命题： ①(綈p 1)∧(綈p 2)；②p 1∨(綈p 2)；③(綈p 1)∧p 2；④p 1∧p 2.
其中为真命题的是________(填序号)．
【答案】③
【解析】∵方程x 20＋x 0＋1＝0的判别式
Δ＝12－4＝－3<0，
∴x 20＋x 0＋1<0无解，故命题p 1为假命题，綈p 1为真命题；
由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1.
∴对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题，綈p 2为假命题．
∵綈p 1为真命题，p 2为真命题，
∴(綈p 1)∧p 2为真命题． 7、设命题p ：函数f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －32x
是R 上的减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间[0，a ]上的值域为[－1，3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，某某数a 的取值X 围． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤52，4 【解析】因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个命题为真命题．
若命题p 为真，则0<a －32<1，所以32<a <52
； 若命题q 为真，则g (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2
－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]，
故⎩
⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2－4a ＋3≤3，解得2≤a ≤4. ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧32<a <52，a <2或a >4，
所以32
<a <2； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤4，a ≤32
或a ≥52， 所以52
≤a ≤4. 综上所述，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤52，4. 8、已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面．
命题p ：若α∥β，n ⊂α，m ⊂β，则m ∥n ；
命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；
下面的命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨綈q ；④綈p ∧q .
【答案】①④
【解析】∵命题p 是假命题，命题q 是真命题．
∴綈p 是真命题，綈q 是假命题，
∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，
p ∨綈q 是假命题，綈p ∧q 是真命题．
9、写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)∃x 0∈R ，x 20－4＝0；
(2)∀T ＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T )＝sin x ；
(3)集合A 是集合A ∪B 或A ∩B 的子集；
(4)a ，b 是异面直线，∃A ∈a ，B ∈b ，使AB ⊥a ，AB ⊥b .
【解析】它们的否定及其真假分别为：
(1)∀x ∈R ，x 2－4≠0(假命题)．
(2)∃T 0＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．
(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．
(4)a ，b 是异面直线，∀A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．
10、命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x
是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，某某数a 的取值X 围．
【答案】1≤a <2，或a ≤－2.
【解析】设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，
由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，
所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，
故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.
又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，
所以3－2a >1，∴a <1.
又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假． (1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；
(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.
综上可知，所某某数a 的取值X 围为1≤a <2，或a ≤－2.
11、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值X 围．
【答案】0<a ≤12
或a ≥1 【解析】由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值X 围是0<a <1，
令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2a x ≥2a ，2a x <2a .不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，
而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >12.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤12
；若p 假q 真，则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值X 围是0<a ≤12
或a ≥1. 12、已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2
＋8m －2≥0恒成立；命题q ：∃x ∈[1，2]，log 1
2
(x 2－mx ＋1)<－1成立，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，某某数m 的取值X 围．
【答案】{m |m <12或m ＝32
} 【解析】若p 为真，则∀x ∈[－1, 1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立．
设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，
所以f (x )在区间[－1，1]上的最小值为－3，
所以4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32
， 所以当p 为真时，12≤m ≤32
； 若q 为真，则∃x ∈[1，2], x 2－mx ＋1>2成立，
所以∃x ∈[1，2]，m <x 2－1x
成立． 设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ， 易知g (x )在区间[1，2]上是增函数，
所以g (x )的最大值为g (2)＝32，所以m <32
， 所以当q 为真时，m <32
. 因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，
所以p 与q 必是一真一假，
当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，所以m ＝32； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，
所以m <12. 综上所述，m 的取值X 围是{m |m <12或m ＝32
}. 13、已知命题函数
在内恰有一个零点；命题函数在上是减函数，若
为真命题，则实数的取值X 围是___________． 【答案】
【解析】命题p ：函数f （x ）=2ax 2﹣x ﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点，
则f （0）f （1）=﹣（2a ﹣2）＜0，解得a ＞1；
命题q ：函数y=x 2﹣a 在（0，+∞）上是减函数，2﹣a ＜0，解得a ＞2．
∴￢q ：a ∈（﹣∞，2]．
∵p 且￢q 为真命题，∴p 与￢q 都为真命题，
∴ 解得1＜a≤2．
则实数a 的取值X 围是（1，2]．
故答案为：（1，2]．
14、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2
－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，某某数a 的取值X 围．
【答案】(0，1]∪[4，＋∞).
【解析】因为函数y ＝a x
在R 上单调递增，
所以命题p ：a >1.
因为不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，
所以a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4，
所以命题q ：0<a <4.
因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，
所以p ，q 中必是一真一假．
若p 真q 假，则⎩
⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥4，解得a ≥4； 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <4，解得0<a ≤1. 综上所述，a 的取值X 围为(0，1]∪[4，＋∞).
15、命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，某某数a 的取值X 围．
【答案】1≤a <2，或a ≤－2
【解析】设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，
由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，
所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，
故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.
又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，
所以3－2a >1，∴a <1.
又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．
(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；
(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪
⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.
综上可知，所某某数a 的取值X 围为1≤a <2，或a ≤－2.
16、已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x
在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值X 围．
【答案】0<a ≤12
或a ≥1 【解析】由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值X 围是0<a <1，
令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2a x ≥2a ，2a x <2a .不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，
而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >12.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值X 围是0<a ≤12或a ≥1. 17、已知命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解；命题q ：∀x ∈R ，ax 2
＋2ax ＋4>0恒成立．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，某某数a 的取值X 围．
【答案】(－∞，0)∪[1，4)
【解析】命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解，则a <1；
由命题q 得，a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，解得0<a <4， 所以命题q ：0≤a <4.
因为命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个真命题． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，
a ≥4或a <0，
解得a <0；
若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a <4，解得1≤a <4. 综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，0)∪[1，4)．
18、设：实数x 满足
，：实数x 满足. （1）若
，且p ∧q 为真，某某数x 的取值X 围； （2）若且是的充分不必要条件，某某数a 的取值X 围.
【答案】（1）；（2）
【解析】 (1)由得
， 当时,，即为真时，
. 由,得,得，即q 为真时，
. 若为真,则真且真,所以实数的取值X 围是.
(2)由
得,，. 由
,得,得. 设,,若p 是q 的充分不必要条件，
则是的真子集，故
，所以实数的取值X 围为
.
19、已知k 为实常数，命题p ：方程x 22k －1＋y 2k －1＝1表示椭圆；命题q ：方程x 24＋y 2
k －3
＝1表示双曲线. (1) 若命题p 为真命题，求k 的取值X 围；
(2) 若命题“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求k 的取值X 围．
【答案】(1) (1，＋∞) (2) (－∞，1]∪[3，＋∞)
【解析】(1) 若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，k －1>0，2k －1≠k－1，
解得k>1，即k 的取值X 围是(1，＋∞)．
(2) 若命题q 为真命题，则k －3<0，即k<3.
因为“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，
所以p ，q 必是一真一假．
当p 真q 假时，⎩
⎪⎨⎪⎧k>1，k≥3， 解得k≥3； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k≤1，k<3，解得k≤1. 综上所述，k 的取值X 围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．。