高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算

思考交流
1.如何用向量法求与平面平行的直线到平面的距离？
• 2将.如问何求题平转行化平面为间求的点距离到？平面的距离。因为当直
线与平面平行，两个平面平行时，直线上的点或 其中一个平面上的点到另一个平面的距离均相等，
所以只要在直线（或平面）上取一个定点， 则该点到平面的距离即为所求距离。
例2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,求直线 BD 到平面
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
从而
n n
MN 2x 2y 0， 解得
AM 2x 4z 0，
x 2z， y 2z.
取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于 AB＝(0，4，0)，
所以
AB在n上的投影为
n
AB＝ n
8 ＝－8 . 4 41 3
学习目标
【学习目标】
1.理解点到平面的距离的概念,会用向量法求 点到平面的距离.
2.了解直线到平面的距离,平面到平面的距离 的概念,并会用向量法将这两种距离转化为点到平 面的距离计算.
温故夯基 问题1：如何求平面的法向量？
（1）若在空间图形中容易找出一个平面的垂线，则该垂线的方向向量即为该平面的法向量。 （2）若平面的垂线不易找出，则采用待定系数法求平面的法向量。步骤如下： 第一步：建立空间直角坐标系，设法向量 n=(x,y,z)； 第二步：找出平面内的两个不共线的向量 a 和 b； 第三步：利用 n.a=0,n.b=0 建立方程组； 第四步：解方程组，由于方程组的解不确定，所以取其中的一组解，就求出了此平面的一个 法向量。|�Βιβλιοθήκη ���� |Aβn
A'
P
其中 n0 是平面 的单位法向量
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
探索新知
向量法求点到平面的距离
例1. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,求点 C1 到平面 AB1D1 的距离.
AB1D1 的距离.
例3. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为
A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,求平面AMN与平面EFBD间的距离.
解析：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz 如图，则A(4，0，0)，M(2，0，4)， D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)， F(2，4，4)，N(4，2，4)， 从而 EF＝(2，2，0)，MN ＝(2，2，0)， AM＝(－2，0，4)， BF＝(－2，0，4)， 所以 EF＝MN，AM＝BF， 所以EF∥MN，AM∥BF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M. 所以平面AMN∥平面EFBD.
试 一 试
问题2：如何求a在b方向上的投影
若 a，b 为非零向量，则称|a|cos<a，b>为向量 a 在向量 b 方向上的投影。 若 b0 为 b 的单位向量，则|a|cos<a，b>=a.b/|b|=a.b0
2. 点到平面距离的向量计算公式
求点A到平面α的距离:
d PA n0
=|������A ·������ |
所以两平行平面间的距离d＝|n AB|＝8.
n3
体系构建