第六章 不等式、推理与证明(课件+随堂训练及解析+课时

课时跟踪训练(三十一)
一、选择题
1．(2014·西安五校第三次模拟)若集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x
x －1≤0
，B ＝{x |x 2<2x }，则A ∩B ＝( )
A ．{x |0<x <1}
B ．{x |0≤x <1}
C ．{x |0<x ≤1}
D ．{x |0≤x ≤1}
解析：集合A ＝{x |0≤x <1}，集合B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝{x |0<x <1}，故选A.
答案：A
2．(2013·安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪⎪
x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >－lg 2}
B ．{x |－1<x <－lg 2}
C ．{x |x >－lg 2}
D ．{x |x <－lg 2}
解析：因为一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >1
2}，所以可设f (x )＝a (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －12<0，即10x <12，x <－lg 2，故选D.
答案：D
3．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式成立的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0
解析：因为a －|b |>0，所以a >|b |≥0，所以，不论b 为何实数都有b ＋
a >0.
答案：C
4．(2014·洛阳一模)设A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于( )
A ．7
B ．－1
C ．1
D ．－7 解析：由A 可知x <－1或x >3，如图．
若A ∪B ＝R ，则x 2＋ax ＋b ＝0的两根x 1，x 2必有x 1≤－1，x 2≥3. 又A ∩B ＝(3,4]，故x 1＝－1，x 2＝4. ∴－1＋4＝－a ，∴a ＝－3，
－1×4＝b ，∴b ＝－4，故a ＋b ＝－7. 答案：D
5．(2015·天津一模)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋1(x <0)，x －1(x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋
1)f (x ＋1)≤1的解集是( )
A ．{x |－1≤x ≤ 2－1}
B ．{x |x ≤1}
C ．{x |x ≤ 2－1}
D ．{x |－2－1≤x ≤ 2－1}
解析：⎩⎨
⎧
x ＋1<0，
x ＋(x ＋1)[－(x ＋1)＋1]≤1，
或⎩⎨
⎧
x ＋1≥0，x ＋(x ＋1)[(x ＋1)－1]≤1，
∴x <－1或－1≤x ≤ 2－1.∴x ≤ 2－1. 答案：C
6．已知a 、b 、c ∈R ，则下列推理：
①a c 2>b c 2⇒a >b ；②a 3>b 3，ab >0⇒1a <1b ；③a 2>b 2
，ab >0⇒1a <1b ；④0<a <b <1⇒log a (1＋a )>log b 1
1－a
.
其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：由a c 2>b
c 2可知c 2>0， ∴a c 2·c 2>b c 2·c 2，即a >b ，∴①正确． 由a 3>b 3，ab >0，可得
a >
b >0或b <a <0，∴1a <1
b ，∴②正确． 由a 2>b 2，ab >0可得a >b >0或a <b <0，
a >
b >0时1a <1b ，但a <b <0时，1a >1
b ，故③不正确． ∵0<a <b <1，∴log a (1＋a )>log b (1＋a )． 又∵log b (1＋a )－log b 1
1－a
＝log b (1－a 2)>0，
∴log b (1＋a )>log b 11－a ，∴log a (1＋a )>log b 1
1－a ，故④正确．
答案：C 二、填空题
7．(2015·辽宁五校高三模拟)函数y ＝log 1
3(4x 2－3x )的定义域为
________．
解析：函数y ＝
log 13(4x 2
－3x )的定义域应保证满足0<4x 2－3x ≤1，解
得－14≤x <0或3
4<x ≤1.
答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤
34，1
8．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1
b 的大小关系是__________． 解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a
a 2
＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2 ＝(a ＋b )(a －b )2
a 2
b 2
. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1
b
9．已知函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c
a 的取值范围
是__________．
解析：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c )，又a >b >c ， ∴a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0， ∴1>－a ＋c a >c a ，∴1>－1－c a >c a ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2c a <－1，c a >－2，
∴－2<c a <－1
2.
答案：－2，－1
2 三、解答题
10．已知b >a >0，x >y >0，求证：x x ＋a >y
y ＋b .
证明：x x ＋a －y
y ＋b ＝x (y ＋b )－y (x ＋a )(x ＋a )(y ＋b )
＝bx －ay
(x ＋a )(y ＋b ). ∵b >a >0，x >y >0，
∴bx >ay ，x ＋a >0，y ＋b >0， ∴bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0， ∴x x ＋a >y y ＋b
. 11．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；
(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.
解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得
⎩⎪⎨⎪⎧
1＋b ＝3a ，
1×b ＝2a ，
解得⎩⎨
⎧
a ＝1，
b ＝2.
(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0， 即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.
当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为Ø.
所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为Ø.
12．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．
解：解法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a ， ①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3，
要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3. 又a <－1，∴－3≤a <－1.
②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1.
又a ≥－1，∴－1≤a ≤1.
综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.
解法二：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，
即Δ＝4a 2
－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ>0，a ≤－1，
g (－1)≥0，
解得－3≤a ≤1.。