福建省福州市(新版)2024高考数学统编版模拟(强化卷)完整试卷

福建省福州市（新版）2024高考数学统编版模拟(强化卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
已知，，若点满足，则P点的轨迹为（）
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．一条射线
第(2)题
在平面直角坐标系中，直线为双曲线的一条渐近线，则（）
A．直线与圆相交
B．直线与圆相切
C．直线与圆相离
D．直线与圆相切
第(3)题
已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（）
A．10B．20C．25D．40
第(4)题
展开式中，的系数为（ ）
A．B．320C．D．240
第(5)题
已知，，则（）
A
．B．C．D．
第(6)题
一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值
是（）
A
．B．C．D．
第(7)题
在正方体中，为正方形内（含边界）一动点，且满足，则直线与平面
所成角的正弦值的取值范围是（）
A．B．C．D．
第(8)题
定义函数集．已知函数
，，，．若函数，则在为奇函数的条件下，存在单调递减区
间的概率为（）
A
．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
已知是上的单调递增函数，则实数a的取值可能为（）
A
．B．2C．1D．
第(2)题
在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（）
A．存在点M使得
B．四棱锥外接球的表面积为
C
．直线PC与直线AD所成角为
D
．当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是
第(3)题
已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两
点，若，则（）
A
．B．的取值范围是
C．直线AM与BN的交点的横坐标恒为1D．的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
已知的定义域为,且是奇函数,当时,,.函数,则方程
的所有的根之和为___________.
第(2)题
曲线的一条切线方程为，则______．
第(3)题
已知函数，曲线与x轴的两个相邻交点为P，Q，曲线与直线的一个交点为M，若，则实数______．
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
“十四冬”群众运动会于2024年1月13日至14日在呼和浩特市举办，有速度滑冰、越野滑雪等项目，参加的运动员是来自全国各地的滑冰与滑雪爱好者．运动会期间，运动员与观众让现场热“雪”沸腾，激发了人们对滑冰等项目的热爱，同时也推动了当地社会经济的发展．呼和浩特市某媒体为调查本市市民对“运动会”的了解情况，在15~65岁的市民中进行了一次知识问卷调查（参加者只能参加一次）．从中随机抽取100人进行调查，并按年龄群体分成以下五组：
，绘制得到了如图所示的频率分布直方图，把年龄在区间和内的人分别称为“青少年群体”和“中老年群体”．
(1)若“青少年群体”中有40人关注“运动会”，根据样本频率分布直方图完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断关注“运动会”是否与年龄样体有关；
年龄群体
运动会
合计关注不关注
青少年群体40
中老年群体
合计6040100
(2)利用按比例分层抽样的方法，在样本中从关注“运动会”的“青少年群体”与“中老年群体”中随机抽取6人，再从这6人中随机选
取3人进行专访．设这3人中“青少年群体”的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.050.010.001
3.841 6.63510.828
第(2)题
“T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立.
（Ⅰ）求4局比赛决出胜负的概率；
（Ⅱ）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望.
第(3)题
2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成
的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.
（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内.设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；
（Ⅱ）现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球，（如图），类比（Ⅰ）
中的方法，探究椭球的体积公式，并写出椭球，的体积之比.
第(4)题
在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极
坐标方程为.
（1）写出圆C的直角坐标方程；
（2）设直线l与圆C交于A，B两点，，求的值.
第(5)题
已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点.
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值.。