广东省普宁市高三数学上学期第一次月考试题 理

普宁二中2017届高三第一次月考数学（理科）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
（1）已知集合A=(){}{}
2|lg 1,|230x y x B y y y =-=--≤，则A B =I （ ）
A ．()1,3
B ．[)1,3
C ．[]1,3
D ．(]1,3 （2）已知函数2
23
()(1)m
m f x m m x +-=--是幂函数,且(0,)x ∈+∞时,()f x 是递减的,则m
的值为 ( ) A.1- B. 2 C. 1-或2 D.3 （3）已知1
2
3a =，3
1()2
b =，3
1
log 2
c =，它们间的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >>
（4）方程60x
e x --=的一个根所在的区间为（ ）
A ．()1,0-
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3) （5）下列四个结论，其中正确结论的个数是（ ）
①命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”；
②命题“若sin 0,0x x x -==则”的逆否命题为“若0sin 0x x x ≠-≠，则”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④若0x >，则sin x x >恒成立．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
（6）已知函数()3sin31(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则
()()1(1)2(2)f f f f ''+-+--=（ ）
A ．2
B ．1
C ．1-
D ．0
（7）已知函数2
23y x x =-+在[0,]a 上的值域为[2,3]，则a 的取值范围是（ ）
A ．[1,)+∞
B ．(0,2]
C ．[1,2]
D ．(,2]-∞
（8）函数cos sin =+y x x x 的图象大致为（ ）
A B C D
（9）已知实数,x y
满足x
y
a a <(01)a <<,则下列关系式恒成立的是（ ） A ．
22
11
11
x y >++ B ．33x y > C ．sin sin x y > D ．22ln(1)ln(1)x y +>+ （10）已知函数22,0
()(2)2,0x
ax x f x a x ⎧+≥=⎨-⋅<⎩
是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()2,+∞ B ．(2,4] C ．(,4]-∞ D ．(2,4) （11）已知函数()()f x x ∈R 满足()(4)f x f x -=-+，若函数1
2y x
=-与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则
1
()m
i
i
i x y =+=∑（ ）
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m （12）已知函数()3g x a x =-（
1
,x e e e
≤≤为自然对数的底数）与()3ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．31,3e ⎡⎤-⎣⎦
B ．3
31
3,3e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ C ．311,3e ⎡⎤+⎢⎥
⎣⎦
D ．)
33,e ⎡-+∞⎣ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．
（13）已知函数()⎩
⎨⎧≤>=030log 2x x x x f x ，，，则
1=4f f ⎛
⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （14）集合{}
022=-=x
x x A ，则集合A 的子集个数是
（15） 已知函数||
()x m f x e -=（m 为常数），若()f x 在区间[2,)+∞上是增函数，则m 的取
值范围是 .
（16）若直线y kx b =+是曲线2
x y e
-=的切线，也是曲线2x
y e =-的切线，则k =
三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
在等比数列{}n a 中，公比1q >， 22a =，前三项和37S =． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)记2log n n b a =，12
1
n n n c b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .
（18） （本小题满分12分）
如图，四棱锥S- ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥ DC,，AB=AD ＝1，DC=SD=2， E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB ． (I)证明：DE ⊥平面SBC ；
(II)证明：求二面角A- DE -C 的大小。

（19） （本小题满分12分） 设函数3
2()(0)3
a f x x bx cx d a =
+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4 （Ⅰ）当a =3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若f (x )在无极值点，求a 的取值范围。

（20）（本小题满分12分）
设函数)(x f y =定义在R 上，对任意实数m ，n ，
恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>
x
时，1)(0<<x f 。

（1）求证：1)0(=f ，且当0<x 时，1)(>x f ；
（2）设集合{}
)1()()(|),(22f y f x f y x A >⋅=，{}R a y ax f y x B ∈=+-=,1)2(|),(，若A B =∅I ，求a 的取值范围。

（21） （本小题满分12分）
已知函数()ln f x x =，()()h x a x a R =∈.
（Ⅰ）函数()f x 与()h x 的图象无公共点，试求实数a 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数m ，使得对任意的1(,)2x ∈+∞，都有函数()m
y f x x
=+
的图象在()x
e g x x
=的图象的下方？若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说理由.
（参考数据：ln 20.6931=，,ln
3 1.0986=
1.3956==）.
请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AF 是圆E 切线,F 是切点, 割线ABC 与圆E 交于B 、C , E 的直径，EF 交AC 于D ,AC AB 3
1
=
，030=∠EBC ,2MC =. （Ⅰ）求线段AF 的长；
（Ⅱ）求证：ED AD 3=.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 已知曲线1C ：4cos ,3sin ,x t y t =+⎧⎨
=-+⎩ （t 为参数）， 2C ：6cos ,
2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）.
（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为2
t π
=-
，Q 为2C 上的动点，求线段PQ 的中点M
到直线3:cos sin 8C ρθθ=+距离的最小值.
（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
设函数()|23||1|.f x x x =++- （Ⅰ）解不等式()4f x >；
（Ⅱ）若存在3,12x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
使不等式1()a f x +>成立，求实数a 的取值范围.
普宁二中2017届高三第一次月考数学（理科）参考答案 一、填空题
（1）D （2）A （3）A （4）D （5）B （6）A （7）C （8）D
（9）B
（10）B
（11）C
（12）A
二、填空题
（13）
9
1 （14）8 （15）(,2]-∞ （16）1
三、解答题
17、解：(Ⅰ)1,q >时，212a a q ==；
231(1)7S a q q =++= 得11
2a q =⎧⎨=⎩ ………………4分
∴12n n a -= ………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)中, 12n n a -=,122log log 21n n n b a n -===-…………8分 ∴121111
()(n 1)1
n n n c b b n n n ++=
==-⋅⋅++ ………………10分
∴1
111)111()3
12
1()2
11(21+=+-=+-
++-+-=+++=n n n n n
c c c T n n ……12分 18、分别以DA ，DC ，DS 所在直线为x 轴，y 轴，z 建立空间直角坐标系（如图）， 则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C S ，(1,1,0),(0,0,2)DB DS == （Ⅰ）∵SE =2EB ，
∴2121222
(1,1,0)(0,0,2)(,,)3333333
DE DB DS =
+=+=
又(1,1,0),(1,1,2)BC BS =-=-- ∴0,0DE BC DE BS ⋅=⋅= ∴,DE BC DE BS ⊥⊥ 又BC
BS B = ∴DE ⊥平面SBC ----------（6分）
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，DE ⊥平面SBC ， ∵EC ⊂平面SBC ，∴DE EC ⊥
，22(,DE =
取DE 中点F ，则111333F （，，），211333
FA =--（，，）
故0FA DE ⋅=，由此得FA ⊥DE
∴向量FA 与EC 的夹角等于二面角A DE C --的平面角 又1
cos ,2||||
FA EC FA EC FA EC ⋅〈〉=
=-，
∴二面角A DE C --的大小为0
120.------------------（12分） 19、解：由3
2()3
a f x x bx cx d =
+++ 得 2()2f x ax bx c '=++ 2()9290f x x ax bx c x '-=++-=Q 的两个根分别为1,4，
290
168360a b c a b c ++-=⎧∴⎨
++-=⎩
（*） ………………3分 （Ⅰ）当3a =时，又由（*）式得2608120b c b c +-=⎧⎨++=⎩
解得3,12b c =-= 又因为曲线()y f x =过原点，所以0d =
故32()312f x x x x =-+ ………………6分 （Ⅱ）由于a>0,所以“3
2()3
a f x x bx cx d =
+++在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“2()20f x ax bx c '=++≥在（-∞，+∞）内恒成立”。

由（*）式得295,4b a c a =-=。

又2(2)49(1)(9)b ac a a ∆=-=--
解09(1)(9)0a a a >⎧⎨∆=--≤⎩
得[]1,9a ∈ 即a 的取值范围[]1,9………………12分
20、（1）证明：在)()()(n f m f n m f ⋅=+中，令1=m ，0=n ，得)0()1()1(f f f =， ∵1)(0<<x f ，∴1)0(=f 。

………………2分
设0<x ，则0>-x ，令x m =，x n -=，代入条件式有)()()0(x f x f f -⋅=， 而1)0(=f ，
∴0<x ，1)
(1
)(>-=
x f x f 。

………………4分
（2）证明：设21x x <，则012>-x x ，∴1)(012<-<x x f 。

令1x m =，2x n m =+，则12x x n -=代入条件式，………………5分 得)()()(1212x x f x f x f -⋅=，即1)
()
(012<<x f x f ，∴)()(12x f x f <，∴)(x f 在R 上单调递减。

由)1()()(22f y f x f >⋅⇒)1()(22f y x f >+，………………8分
又由（2）知)(x f 为R 上的递减，∴122<+y x ⇒点集A 表示圆122=+y x 的内部。

………9分
由1)2(=+-y ax f 得02=+-y ax ⇒点集B 表示直线02=+-y ax 。

…………10分 ∵∅=B A ，∴直线02=+-y ax 与圆122=+y x 相离或相切。

于是
11
22
≥+a ⇒33≤≤-a 。

………………12分
21、解：（Ⅰ）函数()f x 与()h x 无公共点，等价于方程
ln x
a x
=在(0,)+∞无解.…2分 令ln ()x t x =
，则2
1ln '(),x
t x -=
令'()0,t x =得x e =
因为x e =是唯一的极大值点，故max ()t t e e
==
……………………………………4分 故要使方程
ln x
a x
=在(0,)+∞无解，当且仅当1a e > 故实数a 的取值范围为1
(,)e
+∞…………………………………………………………5分
（Ⅱ）假设存在实数m 满足题意，则不等式ln x
m e x x x
+<对1(,)2x ∈+∞恒成立.
即ln x
m e x x <-对1(,)2
x ∈+∞恒成立.……………………………………………6分
F
令()ln x r x e x x =-，则'()ln 1x r x e x =--， 令()ln 1x x e x ϕ=--，则1
'()x
x e x
ϕ=-
，………………………………………7分 因为'()x ϕ在1(,)2+∞上单调递增，1
21
'()202
e ϕ=-<，'(1)10e ϕ=->，且'()x ϕ的
图象在1(,1)2上连续，所以存在01(,1)2
x ∈，使得0'()0x ϕ=，即00
1
0x
e x -
=，则00ln x x =-，…………………………………………………………………………9分
所以当01(,)2
x x ∈时，()x ϕ单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()x ϕ单调递增， 则()x ϕ取到最小值000001()ln 11x
x e x x x ϕ=-
-=+
-110≥=>， 所以'()0r x >，即()r x 在区间1
(,)2
+∞内单调递增.………………………………11分
11
221111
()ln ln 2 1.995252222
m r e e ≤=-=+=，
所以存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1. ……………12分 （22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）因为BM 是圆E 直径
所以, 0
90=∠BCM ，………………1分
又2MC =,0
30=∠EBC ，
所以
32=BC ，
…………………… …………………………………2又,31
AC AB =
可知32
1
==BC AB ，所以33=AC …………………………………3分
根据切割线定理得：
93332=⨯=⋅=AC AB AF ，…………………………………………………4分
即3=AF …… …………………………………… …………………………………5分 （Ⅱ）过E 作BC EH ⊥于H ，……………………………………………………………6分
则ADF EDH ∆∆～，……………………………… …………………………………7分 从而有
AF
EH
AD ED =，…………………………………………………………………8分 又由题意知，BC CH 32
1
==2=EB
所以1=EH ， …………………………………9分 因此
3
1
=AD ED ，即ED AD 3= …………………………………10分
（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）221:(4)(3)1,C x y -++=，…………………………………………………1分
22
2:
1364
x y C += …………………………… ………………………………………2分 1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆. ………………………………………3分 2C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆.
…………………………………………………………4分
（Ⅱ）当2
t π
=
时，(4,4)P -，………………………………………………………5分 设(6cos ,2sin )Q θθ
则(23cos ,2sin )M θθ+-+， ………………………………………6分
3C
为直线(80x -+=，……………………………………7分
M 到3C
的距离d =
……………………8分
=
=
3)6
π
θ=-+
………………………………………9分
从而当cos()1,6
π
θ+
=时，d
取得最小值3………………………………10分
（24）（本小题满分10分） (0,)+∞ 成立1a ⇔+∴实数a 的取值范围为3,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ …………………………………… …………………10分。