2018学年高中数学北师大版必修一课件：第三章 指数函数与对数函数-第4节-4.2 精品

又因为 log2×1818＝log18118×2 ＝1＋l1og182＝1＋lo1g18198 ＝1＋1－1log189＝2－1 a， 所以原式＝a2＋ －ba.
法二：∵18b＝5， ∴log185＝b， ∴log3645＝lloogg11884356＝lloogg118854× ×99 ＝2lloogg118852＋＋lloogg118899＝2log18a19＋ 8＋blog189 ＝2－2loga1＋89b＋log189＝a2＋ －ba.
解对数应用题的步骤
[再练一题] 3．某种汽车安全行驶的稳定性系数 μ 随使用年数 t 的变化规律是 μ＝μ0e－λt， 其中 μ0，λ 是正常数．经检测，当 t＝2 时，μ＝0.90 μ0，则当稳定性系数降为 0.50μ0 时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到 1，参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
b
a
A.a
B.b
C．ab
D．ba
【解析】 log5 3＝llgg35＝ab. 【答案】 B
2．log2215·log3
1 8·log5
19＝________.
1 11
【解析】
lg 原式＝ lg
25 lg 2 ·lg
8 lg 3 ·lg
9 5
＝－2lg
5·－3lg 2·－2lg lg 2lg 3lg 5
3＝－12.
【答案】 －12
3．log332·log227＝________. 【导学号：04100058】
【解析】 log332·log227 ＝log325·log233
＝5log32·3log23
＝15·llgg
2 lg 3·lg
3 2
＝15. 【答案】 15
4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的 84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半．(结果保留 1 个有效 数字)
【解析】 又 0.50μ0＝μ0(e－λ)t，
则12＝( 0.90)t，两边取常用对数，得 lg12＝
t 2lg
0.90，
故 t＝1－2l2gl2g 3＝1－2×2×0.300.41707 1≈13.
【答案】 13
1．若 lg 3＝a，lg 5＝b，则 log53 等于( )
阶
阶
段
段
一
三
4．2 换底公式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．能推导出对数的换底公式．(重点) 2．会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)
教材整理 换底公式 阅读教材 P83～P86 有关内容，完成下列问题．
换底公式：
(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．
特别地，logab·logba＝ 1 ，logba＝
用已知对数表示其他对数
已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645. 【导学号：04100057】 【精彩点拨】 运用换底公式，统一化为以 18 为底的对数． 【尝试解答】 法一：因为 log189＝a，所以 9＝18a， 又 5＝18b， 所以 log3645＝log2×18(5×9) ＝log2×1818a＋b ＝(a＋b)·log2×1818.
【尝试解答】 (1)由题意 y＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x∈N＋)． (2)由 100·1.012x＝120，得 1.012x＝1.2， ∴x＝log1.0121.2＝lglg11.0.212≈00..007095 22≈15， 故大约 15 年以后，该城市人口将达到 120 万．
2176×llgg
32 81
＝llgg 3234×llgg 2354＝34llgg 32×54llgg 23＝1156.
(2)∵log23＝a，则1a＝log32，又∵log37＝b，
∴log4256＝lloogg335462＝lologg3737＋＋lo3g·l3o2g＋321＝aba＋b＋a＋3 1.
法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
∴log3645＝lglg91×9825＝2llgg
918＋－lglg59＝a2llgg
18＋blg 18－alg
1188＝a2＋ －ba.
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： 1增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； 2巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； 3注意一些派生公式的使用.
1 B.2 D．4
【解析】
法一：原式＝llgg
9 lg 2·lg
43＝2llgg
23··l2glg32＝4.
法二：原式＝2log23·lloogg2243＝2×2＝4. 【答案】 D
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3：
1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对 数的底越小越便于化简，如 an 为底的换为 a 为底．
2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb； loganbm＝mn logab.
[再练一题] 1．化简：(log43＋log83)(log32＋log92) 【解】 原式＝llgg34＋llgg38llgg23＋llgg29 ＝2llgg32＋3llgg32llgg23＋2llgg23 ＝56log23·32log32＝54.
某城市现有人口数为 100 万，如果年自然增长率为 1.2%，试解答 下面的问题．
(1)写出该城市 x 年后的人口总数 y(万人)与年数 x(年)的函数关系式； (2) 计 算 大 约 多 少 年 以 后 ， 该 城 市 人 口 将 达 到 120 万 ？ ( 精 确 到 1 年)(lg1.012≈0.005 2，lg1.2≈0.079 2) 【精彩点拨】 先利用指数函数知识列出 y 与 x 的函数关系式，再利用对数 求值．
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【解】 设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y，则 y 与 x 的关系式为 y＝0.84x.依题意得 0.84x＝0.5，化为对数式，得 log0.840.5＝x，由换底公式知 x＝ llnn00..854，用科学计算器计算得 x≈3.98，即约经过 4 年，该物质的剩留量是原来 的一半．
【提示】 依题意得 y＝a1－110x＝a190x，其中 x≥1，x∈N.
探究 2 探究 1 中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱 到原来强度的12以下？(根据需要取用数据 lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)
【提示】 依题意得 a190x≤a×12⇒190x≤12 ⇒x(2lg 3－1)≤－lg2⇒x≥1－02.×3001.4077 1≈6.572， ∴xmin＝7. 即：通过 7 块以上(包括 7 块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以 下．
解惑：
[小组合作型] 利用换底公式化简求值
计算：(1)log1627log8132； (2)已知 log23＝a，log37＝b，用 a，b 表示 log4256. 【精彩点拨】 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式 进行换底便于计算求值．
【尝试解答】
(1)log1627log8132＝llgg
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
[再练一题] 2．若本例条件不变，求 log 9 45(用 a，b 表示)．
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【解】 由 18b＝5，得 log185＝b， ∴log29545＝lloogg118842955 ＝lloogg118895－＋lloogg1188295＝ab－＋2ab.
对数的实际应用
[探究共研型]
探究 1 光线每通过一块玻璃板，其强度要损失 10%，把几块这样的玻璃板 重叠起来，设光线原来的强度为 a，通过 x 块玻璃板以后的强度值为 y.试写出 y 关于 x 的函数关系式．
．
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logab＝llgg
ba＝llnn
b a.(
)
(2)log52＝lloogg－－3352.(
)
(3)loga b·logb c＝loga c．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
2．(log29)·(log34)＝( ) 1
A.4 C．2