江苏省2019高考数学二轮复习 自主加餐的3大题型 3个附加题综合仿真练(二)(理)(含解析)

3个附加题综合仿真练(二）(理科)
1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答
A．[选修4－2:矩阵与变换]
已知变换T将平面上的点错误!，（0，1）分别变换为点错误!，错误!.设变换T对应的矩阵为M.
（1）求矩阵M；
(2)求矩阵M的特征值．
解：（1）设M＝错误!，
则错误!错误!＝错误!，错误!错误!＝错误!，
即错误!解得错误!则M＝错误!。

(2）设矩阵M的特征多项式为f（λ)，
可得f(λ）＝错误!＝(λ－3)（λ－4)－6＝λ2－7λ＋6,
令f（λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6.
B．［选修4－4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：错误!ρsin错误!
（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为2时，求＝m(m∈R),圆C的参数方程为｛x＝1＋3cos t，
y＝－2＋3sin t
m的值．
解：由错误!ρsin错误!＝m，
得错误!ρsin θcos错误!－错误!ρcos θsin错误!＝m，即x－y＋m＝0,
即直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0，
圆C的普通方程为（x－1)2＋(y＋2）2＝9,
圆心C到直线l的距离d＝错误!＝错误!，
解得m＝－1或m＝－5。

C．［选修4－5：不等式选讲]
已知x，y，z都是正数且xyz＝8，求证：(2＋x)（2＋y)·（2＋z)≥64.
证明:因为x为正数,所以2＋x≥2错误!.
同理2＋y≥2错误!，2＋z≥2错误!.
所以（2＋x）( 2＋y）（ 2＋z）≥2错误!·2错误!·2错误!＝8错误!.
因为xyz＝8，所以(2＋x)（2＋y）（2＋z）≥64.
2．如图，在棱长为3的正方体ABCD。

A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.
（1）求两条异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值； (2)求直线BB 1与平面BED 1F 所成角的正弦值．
解：（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴，z 轴，建立
空间直角坐标系D ­xyz ，如图所示，
则A (3，0,0）,C 1（0，3，3）,B (3，3，0)，E （3,0,2），AC 1，―→＝(－3，3,3），
错误!＝(0，－3，2)，
所以cos 〈错误!，错误!〉＝错误! ＝错误!＝－错误!，
故两条异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值为错误!.
（2)由(1）知错误!＝（0，－3,2）,又D 1（0,0,3），B 1（3，3,3）， 所以错误!＝（3,0，－1），错误!＝（0,0，3）． 设平面BED 1F 的法向量为n ＝（x ,y ，z )，
则错误!即错误!令x ＝1，得y ＝2，z ＝3，n ＝(1,2，3）是平面BED 1F 的一个法向量． 设直线BB 1与平面BED 1F 所成的角为α，则 sin α＝错误!＝错误!＝错误!，
所以直线BB 1与平面BED 1F 所成角的正弦值为错误!。

3．对于给定的大于1的正整数n ,设x ＝a 0＋a 1n ＋a 2n 2
＋…＋a n n n
，其中a i ∈{0,1,2，…，n －1｝，i ＝0，1，2，…，n －1，n ，且a n ≠0,记满足条件的所有x 的和为A n 。

(1）求A 2;
（2）设A n ＝错误!，求f （n )．
解:(1)当n ＝2时，x ＝a 0＋2a 1＋4a 2，a 0∈｛0，1}，a 1∈｛0，1}，a 2＝1， 故满足条件的x 共有4个，
分别为x ＝0＋0＋4，x ＝0＋2＋4，x ＝1＋0＋4，x ＝1＋2＋4，它们的和是22,所以A 2＝22。

(2)由题意得，a 0，a 1，a 2,…，a n －1各有n 种取法;a n 有n －1种取法，
由分步计数原理可得a 0，a 1,a 2…，a n －1，a n 的不同取法共有n ·n ·…·n ·(n －1)＝n n
（n －1)， 即满足条件的x 共有n n
（n －1）个,
当a 0分别取0，1，2，…，n －1时，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法，a n 有n －1种取法， 故A n 中所有含a 0项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1）·n
n －1
(n －1）＝错误!； 同理,A n 中所有含a 1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n
n －1
(n －1）·n ＝
n n n －1
2
2
·n ;
A n 中所有含a 2项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1（n －1)·n 2
＝
n n n －1
2
2
·n 2
；
A n 中所有含a n －1项的和为（0＋1＋2＋…＋n －1）·n n －1(n －1)·n n －1＝错误!·n n －1；
当a n 分别取i ＝1，2，…，n －1时，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法, 故A n 中所有含a n 项的和为（1＋2＋…＋n －1)n n
·n n
＝错误!·n n
. 所以A n ＝
n n n －1
2
2
（1＋n ＋n 2＋…＋n
n －1
）＋
n n ＋1n －1
2
·n n
＝错误!·错误!＋错误!·n n
＝错误!(n
n ＋1
＋n n
－1），
故f （n ）＝n n ＋1
＋n n
－1。