高等数学练习册答案

第一章函数与极限
§1函数
一、是非判断题
1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界.[√]
2、函数x e x f ln )(=与函数x e x g ln )(=是表示同一函数.
[╳]
答：不是同一函数，因为)(x f 的定义域是)(∞+−∞，而)(x g 的定义域)0(∞+，3、函数2
1
2
)
cos 1()(x x f −=与函数x x g sin )(=是表示同一函数。

[╳]
答：不是表示同一函数,因为两函数的对应规律不同.4、)1ln()1()(x x e x f x
x −+⋅−=+函数，则既是奇函数又是偶函数)(x f .
[√]
答：是,
[]0
)(,01000)(,0)1ln(00==−=+<==−+=−≥+x f e x x x x f x x x x x x x 从而，，当从而，，当综上述，对任意，x f x ()≡0,，
，故)(0)()(0)(x f x f x f x f −==−==−既是奇函数又是偶函数)(x f .
5、的最大整数，
表示不超过函数x x ][则.1][)(的周期为x x x −=ϕ[√]
答：是,1+<≤∈n x n R x ，若任取，n x =][则，　ϕ()x x n
=−[)1)1(,1]1[)1(,211+++−=+++−=+++∈+x n x x x n n x ϕ，此时=−=x n x ϕ()，
故是以为周期的周期函数ϕ()x 1。

二、单项选择题
1、下面四个函数中，与y=|x |不同的是(A )（A ）||ln x
e
y =（B ）2x y =
（C ）44
x
y =（D ）x
x y sgn =）
上是（，在其定义域、B x x f )()3(cos )(22∞+−∞=
非周期函数。

的周期函数；　最小正周期为的周期函数；
最小正周期为的周期函数； 最小正周期为)(3
2)(3
)(3)(D C B A π
π
π3、是　函数)0(ln
)(>+−=a x
a x
a x f （A ）
的值
奇偶性决定于非奇非偶函数；偶函数；
　奇函数；　
a D C B A )()()()(三、填空题
1、＝则时且当设　z x z y y x f y x z , , 0 , )(2
==−++=.
解：2 , 0 x z y ==时因　2)(x x f x =+∴　故有
x
x x f −=2)()()()(2y x y x y x f −−−=−)()(2y x y x y x z −−−++=∴2)(2y x y −+=2、的定义域为
，则设　)()65lg(56)(22x f x x x x x f +−+−+=
解：由 解得　，
650162
+−≥−≤≤x x x 由 解得　或x x x x 256023
−+><>[)(]
故函数的定义域是　，，−1236∪.
3、[]＝
则．
，　；
，设)(0202)(x f f x x x x f ⎩⎨
⎧≥<+=解：[]f f x x x x ()=+<−≥−⎧⎨
⎩4222
，；
，　四、)()(42411)(2
x x f x x x x x x f x φ的反函数求．
，
；，；，设⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<∞−=.
解：当时，，即−∞<<==x y x x y
1−∞<<y 1
当时，， ．
141162≤≤=∴=
≤≤x y x x y
y 当时，， ．
42162<<+∞=∴=>x y x y x y
log ⎪⎩⎪
⎨⎧>≤≤<<∞−=φ．，；
，；，的反函数故16log 1611)()(2
x x x x x x x x f 五、1
2)1()(222
++=
+x x
x x f x x f 设　，)(x f 求。

解：)
1(1
2)1
()(2:22
已知++=+x x x x f x x f )1(121
12
1
)(1
)1(2:2
2++=
++=
+x x x x
x x x f x
x f 故得)2(1
2)1(2)(22
++=
+x x
x x f x x f :)1()2()1(2得消去x f −×1
31242)(322+=
+−−+=x x
x x x x x x f ，1
)(+=
x x x f 故 六、 111)(000)(⎩⎨⎧≥<+=⎩
⎨⎧≥<=．，；，．，；
，设x x x x x x x x x f ϕ)()(x x f ϕ+求.
答：；
时，当1)()(0+=ϕ+<x x x f x ；
时，当12)()(10+=ϕ+<≤x x x f x 当时，．x f x x x ≥+=12()()ϕ∴+=+<+≤<≥⎧⎨⎪
⎩
⎪f x x x x x x x x ()()ϕ10210121，　；，；
， ．
§2数列的极限
一是非判断题
1、当n 充分大后，数列n x 与常数A 越来接近，则.
lim A x n x =∞
→[╳]2、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。

[╳]
3、如果对任意,0>ε存在正整数N ，使得当n>N 时总有无穷多个n x 满足|n x ε<−|a ，
则
.
lim a x n n =∞
→[╳]4、如果对任意,0>ε数列n x 中只有有限项不满足|n x ε<−|a ，则.lim a x n n =∞
→[√]5、{}{}{}必是无界数列。

，则都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x =[╳]
解：结论不一定成立
{}{}0020604020 1201250301===+−=n n n n n y x z n y n n x 都是无界数列，但，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，例如 显然是有界数列
z n 6、充分大时，必有，则当若n A A a n n )0(lim ≠=∞
→2
A a n >。

[√]
二．单项选择题
1、{}无界是数列发散的数列n a （B ）
件．
．既非充分又非必要条　．充分必要条件．充分条件 ．必要条件D C B A ;;
;2、⎪⎩
⎪⎨⎧=−为偶数当为奇数
当n n n x n ,10,1
7则
D 。

（A ）;
0lim =∞
→n n x （B ）;
10lim 7
−∞
→=n n x
（C ）;
,10,
,0lim 7
⎩⎨
⎧=−∞
→为偶数
为奇数n n x n n (D)不存在
n n x ∞
→lim 3、数列有界是数列收敛的B 。

（A ）充分条件；（B ）必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）既非充分又非必要条件。

4、下列数列n x 中，收敛的是B 。

（A ）n n x n
n 1)
1(−−=（B ）1+=n n x n （C ）2
sin πn x n =（D ）n
n n x )1(−−=三．根据数列极限的定义证明。

（1）3
21312lim
=
++∞→n n n 分析要使ε<<+=−++n n n n 41)12(21|231213|
,只须ε<n 41
,即ε
41>
n .证明因为∀ε>0,∃41[
ε
=N ,当n >N 时,有ε<−++|231213|
n n ,所以23
1213lim =++∞→n n n （2）19 999.0lim =⋅⋅⋅∞
→
个
n n 分析要使|0.99⋅⋅⋅9−1|ε<=
−1
10
1n ,只须1101−n <ε,即ε
1
lg 1+>n .
证明因为∀ε>0,∃]1
lg 1[ε
+=N ,当∀n >N 时,有|0.99⋅⋅⋅9−1|<ε,所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞
→
个
n n 四、设数列{x n }有界,又0lim =∞
→n n y ,证明:0lim =∞
→n n n y x .
证明因为数列{x n }有界,所以存在M ,使∀n ∈Z ,有|x n |≤M .又0lim =∞
→n n y ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有M
y n ε
<
||.从而当n >N 时,有
εε
=⋅
<≤=−M
M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞
→n n n y x .
五、a u n n =∞
→lim ,证明||||lim a u n n =∞
→.并举例说明:如果数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极
限.
证明因为a u n n =∞
→lim ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有ε<−||a u n ,从而
||u n |−|a ||≤|u n −a |<ε.
这就证明了||||lim a u n n =∞
→.
数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.例如1|)1(|lim =−∞
→n n ,但n n )1(lim −∞
→不存在.
§3函数的极限
一是非判断题
1、如果)(0x f =5，但则,4)0()0(00=+=−x f x f )(lim 0
x f x x →不存在。

[╳]2、)(lim x f x ∞
→存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞
→和)(lim x f x −∞
→都存在。

[╳]
3、如果对某个,0>ε存在,0>δ使得当0<δ<−||0x x 时，有(),f x A ε−<那末
.
)(lim 0
A x f x x =→[╳]4、如果在0x 的某一去心邻域内，,0)(>x f 且.
0,)(lim 0
>=→A A x f x x 那末[╳]
5、如果A x f x =∞
→)(lim 且,0>A 那么必有,0>X 使x 在[]X X ,−以外时.0)(>x f [
√
]
二．单项选择题
1、从1)(lim 0
=→x f x x 不能推出
C 。

（A ）1)(lim 0
0=+→x f x x （B ）1)0(0=−x f （C ）1)(0=x f （D ）0
]1)([lim 0
=−→x f x x 2、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0
x f x x →存在的
D 。

（A ）充分条件但非必要条件；（B ）必要条件但非充分条件（C ）充分必要条件；（D ）既不是充分条件也不是必要条件
3、若,11)(,1
)1()(22+−=
−−=x x x g x x x f 则C 。

（A ）)()(x g x f =（B ）)
()(lim 1
x g x f x =→（C ）)
(lim )(lim 1
1
x g x f x x →→=（D ）以上等式都不成立
4、)(lim )(lim 0
00x f x f x x x x +→−→=是)(lim 0
x f x x →存在的
C。

（A ）充分条件但非必要条件；（B ）必要条件但非充分条件（C ）充分必要条件；（D ）既不是充分条件也不是必要条件三、根据函数极限的定义证明（1）2
1241lim 3
2
1=+−−
→x x x 分析
|21
(|2|221|21
2413−−=−−=−+−x x x x ,要使
ε<−+−212413x x ,只须ε21|)21(|<−−x .证明
因为∀ε>0,∃εδ2
1
=,当δ<−−<|21(|0x 时,有
ε<−+−21
2413
x x ,所以21
241lim 32
1=+−−→x x x （2）2
1
21lim 33=
+∞→x x x 分析
3
3
3
333||21212121x x x x x x =
−+=−+,要使
ε<−
+21213
3x x ,只须ε<3
||21
x ,即3
21
||ε
>
x .
证明因为∀ε>0,∃3
21
ε
=
X ,当|x |>X 时,有
ε<−+212133x x ,所以2
121lim 33=+∞→x x x .
四、求x
x x 0
lim
→解
1lim ||lim )(lim 00
−=−==−−
−→→→x
x
x x x x x x ϕ,1lim |
|lim )(lim 000
===++
+→→→x
x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 0
0x x x x ϕϕ+→→≠−
,
所以极限)(lim 0
x x ϕ→不存在.
0lim ()lim ()x x x x f x A g x B B A x 五、若，，且，证明存在点的某去心邻域，
→→==>()()g x f x >使得在该邻域内　．((0101lim ()2
00x x B A
f x A x x εδδ→−=
=><−<证：取，由可知
存在，使当时，有
f x A f x A B ()()−<<
+ε，即2
又，可知存在，使当时，有
lim ()x x g x B x x →=><−<0
20200δδg x B g x A B ()()−<>
+ε，即2
{}取，，则当时有　δδδδ=<−<<
+<min ()()12002
x x f x A B
g x §4无穷小与无穷大
一、是非题1、零是无穷小。

[√]
2、
x
1
是无穷小。

[╳]3、两个无穷小之和仍是无穷小。

[√]
4、两个无穷小之积仍是无穷小。

[√
]
5、两个无穷大之和仍是无穷大。

[╳]
6、无界变量必是无穷大量。

[╳]
7、无穷大量必是无界变量。

[√]
8、0,x x →是βα时的无穷小，则对任意常数A 、B 、C 、D 、E ，
βαβαβαE D C B A ++++22也是0x x →时的无穷小。

[
√
]
二．单项选择题
1、若x 是无穷小，下面说法错误的是
C。

（A ）x 2是无穷小；（B ）2x 是无穷小；（C ）0.000001x －是无穷小；（D ）x −是无穷小。

2、在x →0时，下面说法中错误的是C 。

（A ）xsinx 是无穷小（B ）是无穷小x
x 1
sin (C)x 1sin x 1是无穷大;
(D)x 1是无穷大。

3、下面命题中正确的是D 。

（A ）无穷大是一个非常大的数；
（B ）有限个无穷大的和仍为无穷大；（C ）无界变量必为无穷大；
（D ）无穷大必是无界变量。

4、是时，函数为常数），则当若A x f x x A A x f x x −→=→)(()(lim 00
C。

; ;; A B C D ．无穷大量 ．无界，但非无穷大量．无穷小量 ．有界，而未必为无穷小量．
5、是
，则下式中必定成立的，若∞=∞=→→)(lim )(lim 0
x g x f x x x x D 。

[][]0
0lim ()() ;lim ()()0 ;
()
lim 0 ; lim ()(0) ()
x x x x x x x x A f x g x B f x g x f x C c D kf x k g x →→→→+=∞−==≠=∞≠． ．．
．，．6、下列叙述不正确的是
B。

A B C D ．无穷大量的倒数是无穷小量；．无穷小量的倒数是无穷大量；
．无穷小量与有界量的乘积是无穷小量；．无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。

7、下列叙述不正确的是C。

A B C D ．无穷小量与无穷大量的商为无穷小量；．无穷小量与有界量的积是无穷小量；．无穷大量与有界量的积是无穷大量；．无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。

lim ()lim ()()0lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=三、已知：，，问？为什么？
证：lim ()x x v x →=0
因为：lim ()lim
()()()
lim ()()()
x x x x x x v x v x u x u x u x v x u x →→→==⋅0
001
=⋅→→lim
()lim ()()x x x x u x v x u x 00
1
=⋅=00
A 四．证明函数x x y cos =在),0(+∞内无界，但当+∞→x 时，这函数不是无穷大。

证：因为∀M >0,在(−∞,+∞)内总能找到这样的x ,使得|y (x )|>M .例如y (2k π)=2k πcos2k π=2k π(k =0,1,2,⋅⋅⋅),
当k 充分大时,就有|y (2k π)|>M .所以，函数y =x cos x 在(−∞,+∞)内无界.
因为∀M >0,找不到这样一个时刻N ,使对一切大于N 的x ,都有|y (x )|>M .例如
0)2
2cos()22()22(=++=+π
πππππk k k y (k =0,1,2,⋅⋅⋅),
对任何大的N ,当k 充分大时,总有N k x >+=2
2π
π,但|y (x )|=0<M .所以，当x →+∞时,函
数y =x cos x 不是无穷大.
§5
极限的运算法则
一、是非题1、.0lim ...2lim 1lim ...321lim
2222=+++=++++∞→∞→∞→∞→n
n n n n n n n n n [╳]2、00011
lim sin lim .limsin 0
x x x x x x x
→→→==[╳]3、若则可断言且存在,0)(lim ,)()(lim 0
0=→→x g x g x f x x x x 0
)(lim 0=→x f x x [
√
]
二、单项选择题
1、{}{}，则
，且，设有两个数列0)(lim =−∞
→n n n n n a b b a D 。

{}{}{}{}{}{}{}{} ;; ;
n n n n n n n n A a b B a b C a b D a b ．，必都收敛，且极限相等．，必都收敛，但极限未必相等．收敛，而发散．和可能都发散，也可能都收敛．
2、设有两命题：A。

[]00
lim ()lim ()lim ()()lim ()lim ()lim ()() x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x A B C D 命题甲：若、都不存在，则必不存在；
命题乙：若存在，而不存在，则必不存在。

则 ．甲、乙都不成立；．甲成立，乙不成立； ．甲不成立，乙成立；．甲、乙都成立。

→→→→→→+⋅三、计算下列极限
（1）1
12lim
221−+−→x x x x 解0
2011lim )1)(1()1(lim 1
12lim 12
1221==+−=+−−=−+−→→→x x x x x x x x x x x （2）1
21lim 2
2−−−∞→x x x x 解2111211lim 121
lim 22
22=−−−=−−−∞
→∞→x
x x x x x x x .
（3）)2
141211(lim n n ++++
∞
→ 解2
2
11)21(1lim )21 41211(lim 1
=−
−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n （4）3
5)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→解51
5)3)(2)(1(lim
3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比).
或5
1)31)(21)(11
(lim 515)3)(2)(1(lim
3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n
（5）求之值．
lim
x x x x x →++−++−0
22
131422
解：原式=++−+
+−→lim x x x x x 022311242=++++++→lim
x x x x x 022311242=32四、设221lim 31
x x ax b
x →++=−，求a 和b.解由题设可知2
1
lim()0x x ax b →++=，∴1+a+b=0
222111112lim lim lim 31(1)(1)(1)2
x x x x ax b x ax a x a a
x x x x →→→+++−−+++====−−++4,5
a b ==−五、0
0()
()()(lim
0()
x x g x x x f x g x A A f x 设时，，是常数），证明：．→→→∞→=证因
g x f x g x f x ()()()()
=⋅1
lim ()()x x g x A g x x →=0
0，即在的某去心命域内有界lim
()()
x x f x f x x x →=→0
1010，即是当时的无穷小，故lim ()
()n g x f x →∞=0
§6极限存在准则，两个重要极限
一、是非题
1、,lim lim a z y n n n n ==∞
→∞
→且当n>N 时有.
lim ,a x z x y n x n n n =≤≤∞
→那么[
√
]
2、如果数列n x 满足：（1）为常数a n a x n ...,2,1(=<；（2）x n >x n +1(n=1,2…).则x n 必有
极限[╳]3、1
sin lim
=∞→x
x
x [╳
]
4、1
)11(lim =+∞
→n n n
[╳]1
5lim(1)x
x x →+=∞
、[╳]
二．单项选择题
1、下列极限中，极限值不为0的是
Ｄ。

（A ）arctan lim
;x x x →∞（B ）x
x x x cos 3sin 2lim +∞→（C ）x x x 1sin lim 02
→（D ）2420lim x x x x →+2、若且),()(x x f ϕ>lim (),lim (),x a
x a
f x A x B ϕ→→==则必有
B 。

（A ）A>B (B)A ≥B
(C)|A|>B (D)|A|≥|B|
3、1000
)11(lim +∞
→+
n x n
的值是A。

(A)e (B)e 1000
(C)e ·e 1000
(D)其它值
4、tan lim
sin x x
x
π
→=B 。

(A)1(B)
1
－(C)0
(D)∞
5、=−→)sin 1
1sin
(lim 0
x x x x x A 。

(A)1－(B)1
(C)0
(D)不存在
tan 0()lim ()30x kx
x f x f x k C x x x ，6、设，且存在，则的值为[]
，→⎧>⎪
=⎨⎪+≤⎩1234A B C D ．；　．；　．；　．．0sin lim
3(2)
3
3662
x kx
k D x x A B C D 7、已知，则的值为[]
．；　．；　．；　．
．→=−+−−−sin lim
[]
101x x
C x A B C
D 8、极限．
；　．；　．；　．．ππ
→=−−∞
21
1
22
21lim 211x x x D x A B e C e D e 9、极限的值是[]
．；　．；　．；　．．
−→∞−−−⎛⎞
⎜⎟+⎝⎠
2222221221
lim(1)lim(1)11lim(1)lim(1)x x x x x x x x A e B e x x
C e
D e x x
10、下列等式成立的是[B ]
．；　．；．；．．→∞→∞++→∞
→∞+=+=+=+=1
lim(1)1
1122
x
x kx k C A B C D 11、已知的值为[]
．；　．；　．；　．．
→+=−三．计算下列极限（1）x
x x x sin 2cos 1lim 0−→;
解法一()2sin lim 2sin 2lim 2cos
1lim sin 2cos 1lim 20220200===−=−→→→→x
x x x x x x x x x x x x .
解法二2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 02
00===−→→→x
x x x x x x x x x x .
（2）x
x x 3tan lim 0→;解33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→x x x x
x x x （3）x
x x 1
)1(lim −→;
解
{
}11)
(10
)1)(10
1
)](1[lim )](1[lim )1(lim −−−→−−→→=−+=
−+=−e x x x x x x x x .
(4)x x x
x 2)1(lim +∞→;解[]2
2211(lim )1(lim e x
x x x
x x x =+=+∞→∞→
四、利用夹逼准则证明：(
)11
211lim 222=++
⋅⋅⋅++++∞
→π
ππn n n n n n ;证明因为
()ππ
πππ+<++⋅⋅⋅++++<+22
2
22221 211n n n n n n n n n n ,而1lim
22=+∞→πn n n n ,1lim 22
=+∞→πn n n ,
所以
(
)11
211lim 222=++
⋅⋅⋅++++∞
→πππn n n n n n .四、数列2,22+,
222++,⋅⋅⋅的极限存在;
证明21=x ,n n x x +=+21(n =1,2,3,⋅⋅⋅).
先证明数列{x n }有界.当n =1时221<=x ,假定n =k 时x k <2,当n =k +1时,
22221=+<+=+k k x x ,
所以x n <2(n =1,2,3,⋅⋅⋅),即数列{x n }有界.
再证明数列单调增.
n
n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++−−=
++−+=
−+=−+2)
1)(2(22221,而x n −2<0,x n +1>0,所以x n +1−x n >0,即数列{x n }
单调增.
因为数列{x n }单调增加有上界,所以此数列是有极限的.
1111 (12)2
lim lim lim lim n n
n n n n n n
n n n n a b a b a b n a b a b 五、设，是两个正数，令，，，证明：存在，存在，且++→∞
→∞
→∞
→∞
+====a a b a b b a a b a b
b n n n n n n 21111
21
1
22
=≤+==≤=++，
故对一切有n a b a a b a a b a b b b b n n n n n n n n n n n n
n
≤=≥==
+≤+=++12
122
{}{}即单调增，单调减
a b n n 于是有a b a a a b b b a b n n n 11231211
2
=≤≤≤≤≤≤≤≤
− {}{}即有上界，有下界a b b a n n 22
从而与都存在。

设，则由　得从而lim lim lim lim lim lim
n n n n n n n n n n n n n a b a A b B
b a b B A B
A B
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
+→∞===+=
+=122
§7无穷小的比较
一、是非题
1、γβα,,是同一极限过程中的无穷小，且,~,~γββα则必有γα~。

[
√
]2、0→x ∵时330tan sin sin ~,lim lim
0sin x x x x x x
x x x
x →∞→−−∴==[╳
]
3、已知11cos lim
0=−→x
x
x ，由此可断言，当)1(cos ,0x x x −→与时为等价无穷小。

[╳]
4．当0→x 时，x 3sin 与1−x
e 是同阶无穷小。

[
√
]5．当1→x 时，31x
−是1−x 的高阶无穷小。

[╳
]
二、单项选择题
1、x →0时，1—cosx 是x 2的B 。

(A)高阶无穷小(B)同阶无穷小，但不等价(C)等价无穷小(D)低阶无穷小
2、当x →0时，（1—cosx ）2是sin 2x 的A 。

(A)高阶无穷小(B)同阶无穷小，但不等价(C)等价无穷小
(D)低阶无穷小3、如果应满足
则高阶的无穷小是比时c b a x c bx ax x ,,,1
1
1,
2+++∞→C。

(A)1,1,0===c b a (B)0,1,a b c ==为任意常数(C)为任意常数
c b a ,,0≠(D)都可以是任意常数
c b a ,,4、1→x 时与无穷小x −1等价的是C。

(A)
()
312
1
x −(B)
()
x −12
1
(C)
()
212
1
x −(D)x
−15．下列极限中，值为1的是C。

(A)x
x
x sin 2
lim
π∞
→(B)x
x
x sin 2
lim
π→(C)x
x
x sin 2
lim
2
ππ
→
(D)x
x
x sin 2
lim
ππ
→30tan sin lim
11
062x x x
x A B C D 6、极限]
．；．　．　．．
→−∞01cos3lim
sin 3123
0632
x x
x x A B C D 7、极限的值为[D
]
．；　．；　．；　．．
→−三、设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +−是比n x x sin 高阶无穷小；而n
x x sin 又是比
)1(2
−x e
高阶的无穷小，求n 。

解：当0→x 时，4
2
2
1~)1ln()cos 1(x
x x +−1
~sin +n n x
x x 2
~12
x e
x −由214>+>n 可知31=+n ，故2
=n 01()()()()x x x x x x 四、若时，与是等价无穷小，与是同阶无穷小，αααβ→1()()()()x x x x 但不是等价无穷小，证明：与也是等价无穷小。

αβαβ−−()()x x βα证：因与是同阶无穷小，而不是等价无穷小
故，lim
()
()
x x x x A A →=≠0
1βα
则lim ()()()()x x x x x x →−−0
1αβαβ =−
−
≠→lim ()
()()()()
()x x x x x x x A 0
111αααβα∵=−−=111A A §8函数的连续性与间断点
一．是非题
1、)(x f 在其定义域（a,b ）内一点x 0处连续的充分必要条件是)(x f 在x 0既左连续又右
连续。

[
√
]2、)(x f 在x 0有定义，且0
lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在x 0连续。

[╳]3、)(x f 在0x x =无定义，则)(x f 在x 0处不连续。

[
√
]
{}]
[
)()()()()(4也是连续函数．，为连续函数，试证明，、设x g x f Max x M x g x f =[
√
]{}
因，M x Max f x g x ()()()
=[]=
++−121
2
f x
g x f x g x ()()()()已知，为连续函数，故，均为连续函数，从而是连续函数
f x
g x f x g x f x g x f x g x ()()()()()()()()+−−[]所以有：是连续函数M x f x g x f x g x ()()()()()=
++−121
2
[]]
[
)(0)()(lim 50
处连续。

在，则、若已知极限a x x f x a f x a f x ==−−+→[╳
]不能
例如：，f x x
a ()=
=1
02
[]虽有 lim ()()lim(
)x x f x f x x x
→→+−−=−=0
22000但在处不连续f x x x ()=
=1
02
]
[
)()()()()(6000处也连续。

在处也连续，则在处连续，在、若x x g x x g x f x x x f =ϕ[╳]例：在处连续 ，当，当 ，当，当在处连续
f x x x
g x x x
x x f x g x x x
x x x f x g x x ()sin ()()()()sin ()()()====≠⎧⎨⎪
⎩⎪=⋅==≠⎧⎨⎪
⎩⎪==22
010
1
000
100ϕϕ但在处不连续
g x x ()=0二．单项选择题
1、)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x x =连续的A 。

(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件(C)充分必要条件
(D)无关条件
2、连续的
在是00)()()(lim 0
x x x f x f x f x x ==→C。

（A ）必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件(C)充分必要条件
(D)无关条件
3、x
x x f x 1sin sin )(0⋅==是的A 。

(A)可去间断点
(B)跳跃间断点(C)振荡间断点(D)无穷间断点
4、的是则)(1,1,2,1,11
)(2x f x x x x x x x f =⎪⎩
⎪⎨⎧≥<−−=A。

(A)连续点
(B)可去间断点
(C)跳跃间断点(D)无穷间断点
5、的是则)(0,
0,1
cos ,0,0,
0,sin )(x f x x x x x x x x
x x f =⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧>=<+=C 。

(A)连续点
(B)可去间断点
(C)跳跃间断点
(D)振荡间断点
6、设函数,)1()(cot x
x x f −=则定义)0(f 为A
时)(x f 在0=x 处连续
(A)
e
1
(B)e (C)-e
(D)无论怎样定义),0(f )(x f 在0=x 处也不连续
1107()010
x e x f x x C x A B C D −⎧⎪
−≠==⎨⎪=⎩，、函数，在点的连续性是（ ）
， ．连续； ．左连续，右不连续；
．右连续，左不连续；．左右都不连续．
2
121120)(0
20
cos )( 82
−=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=． ． ． ．）
的值等于（　处连续，则在若，　，、设函数D C B A B a x x f x x a x x e x f x 1
0010000
1sin )(9>>≥≥=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=K D k C k B k A C k x x x x
x x f k
． ． ． ．　）　的最大的取值范围是（点连续，则　，在 ，　
，、若函数cos
210()01()(1)01010101x f x x f x C x x A x x B x x C x x D x x 、设，且，为的二个间断点，则间断点的类型为（ ）．，都是第一类间断点；
．为第一类间断点，为第二类间断点；．为第二类间断点，为第一类间断点；．，都是第二类间断点．
π
==−=−=====−三、判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续。

（1）2
31
2
2+−−=x x x y x=1,x=2
解)
1)(2()
1)(1(23122−−−+=
+−−=x x x x x x x y .因为函数在x =2和x =1处无定义,所以x =2和x =1是函数的间断点.
因为∞=+−−=→→2
31
lim lim 2222x x x y x x ,所以x =2是函数的第二类间断点;
因为2)2()
1(lim lim 11−=−+=→→x x y x x ,所以x =1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在
x =1处,令y =−2,则函数在x =1处成为连续的.
(2)x
x y tan =
x=k π)
2,1,0(2
±±=+
=k k x π
π解函数在点x =k π(k ∈Z)和2
π
π+
=k x (k ∈Z)处无定义,因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x
k x tan lim
π(k ≠0),故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;
因为1tan lim 0=→x
x
x ,
0tan lim
2
=+
→x
x
k x π
π(k ∈Z),所以x =0和2 ππ+=k x (k ∈Z)是第一类间断点
且是可去间断点.
令y |x =0=1,则函数在x =0处成为连续的;
令2 ππ+
=k x 时,y =0,则函数在2
π
π+=k x 处成为连续的.四、讨论函数x x x x f n
n
n 2211lim )(+−=∞→的连续性,若有间断点,判别其类型.
解⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>−=+−=∞→1|| 1|| 01
|| 11lim )(22x x x x x x x x x f n
n n .
在分段点x =−1处,因为1)(lim )(lim 1
1
=−=−−−→−→x x f x x ,
1lim )(lim 1
1−==++
−→−→x x f x x ,所以x =−1为
函数的第一类不可去间断点.
在分段点x =1处,因为1lim )(lim 1
1
==−−→→x x f x x ,1)(lim )(lim 1
1
−=−=+
+→→x x f x x ,所以x =1为函数的第一类不可去间断点.
处连续，
在，且满足，对一切五、设0)()()()( )(=+=+−x x f y f e x f e y x f y x x f x y 处连续．
在任意点证明：x x f )(证：取代入题设等式得：
x y ==0f f f f ()()()()00000=+=　即又由在处连续，知f x x ()=0lim ()()x f x f →==0
00
[]
lim ()lim ()()
()lim lim ()
ΔΔΔΔΔΔΔΔΔx x x x x x x x f x x e f x e f x f x e e f x →→−→−→+=+=+0
=⋅+⋅=−f x e e f f x x ()()()
00故在任意点处连续
f x x ()§9连续函数的运算与初等函数的连续性
一．是非题
1、f (x ),g (x )在0x x =连续，则)(3)().(2)(2x g x g x f x f −+在0x x =也连续。

[
√
]2、)(x f 在0x x =连续，)(x g 在0x x =不连续，
则)()(x g x f +在x 0一定不连续。

[√]3、)(x f 在x 0连续，)(x g 在x 0不连续，则)()(x g x f 在x 0一定不连续。

[╳]4、x
e
x
x x f sin )(=
在),(+∞−∞上连续。

[√
]
5、不连续函数平方后仍为不连续函数。

[
╳
]
二．单项选择题
2
22241
1()(2)
0(0)[]
()0()()()x f x x x f A A B e C e D e −
−−−=+=、要使在处连续，应补充定义的值为 ． ． ． ．
任意
，． ． 处处连续，则有，当，当、b a D b
a C b
a B
b a A A x e b ax x x b x a e x f x
x 0)(1
)(2)()(][0
)(0
)sin cos ()(22==−==⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=−6
1413121]
[)1ln(cos 1lim
30． ． ． ．　的值为、极限D C B A C x x x
x +−→e
D e C B A D x x
x 101]
[)(cos lim 41
．
． ． ．　的值是、极限+→三、如果函数1sin 0()01sin 0x x x f x p x x q x x ⎧⎪⎪<⎪⎪⎪⎪==⎨⎪⎪⎪⎪+>⎪⎪⎪⎩
，在0x =处连续，求常数p 和q .
解
∵()0
1
lim lim sin 1,(0)x x f x x f p x
−−
→→==＝由()f x 在0x =处连续性可知
1
p =又
()001lim lim sin ,(0)1x x f x x q q f x ++→→⎛⎞
+==⎜⎟⎝⎠
＝由()f x 在0x =处连续性可知
1q =.
四、求下列极限（1）1
45lim
1
−−−→x x x x
解：)45)(1(44lim )
45)(1()45)(45(lim 145lim
111
x x x x x x x x x x x x x x x x x +−−−=+−−+−−−=−−−→→→21
4154454lim
1
=+−⋅=
+−=→x
x x .
（2）2
1
)
63(lim −∞→++x x x
x 解：2163362
1
)631()63(−+−⋅−+−+−+=++x x x x x
x x .因为
e x
x
x =+−+−
+∞→36631(lim ,232163lim
−=−⋅+−∞→x x x ,所以232
1)63(lim −−∞→=++e x
x x x .
（3）3
0sin tan lim
x x x x −→;解：x x x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 30303
0−=−=−→→→2
1)2(2lim cos 2sin 2sin lim 32
0320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换) .(4)x x x x x c b a 1
0)3
(lim ++→(a >0,b >0,c >0);x
c b a c b a x x x x x x x x x x x x x x x c b a c b a 33
33
010)3
31(lim )3(lim −++⋅−++→→−+++=++,因为
e c b a x x x c b a x x x x =−+++−++→33
0)3
31(lim ,)111(lim 3133lim 00x
c x b x a x c b a x x x x x x x x −+−+−=−++→→]
)1ln(1lim ln )1ln(1lim ln )1ln(1lim [ln 3
1000v c u b t a v u t +++++=→→→3ln )ln ln (ln 3
1abc c b a =++=,所以
3ln 103)3
(lim abc e c b a abc x x x x x ==++→.
§10闭区间上连续函数的性质
一．是非题
1、)(x f 在（a,b ）内连续，则)(x f 在（a,b ）内一定有最大值和最小值。

[╳]
2、设)(x f 在[a,b ]上连续且无零点，则)(x f 在上[a,b ]恒为正或恒为负。

[√
]
3、)(x f 在[a,b ]上连续且单调，f (a )·f (b )<0,则)(x f 在（a,b ）内有且只有一个零点。

[√]
4、若)(x f 在闭区间[a,b ]有定义，在开区间（a,b ）内连续，且f (a )·f (b )<0，则)(x f 在（a,b ）内有零点。

[╳]
5、)(x f 在[a,b ]上连续，则在[a,b ]上有界。

[
√
]
6、33tan
10,tan
10,tan (,4
444
x π
πππ
=>=−<∴在内必有零点。

[╳]
二．单项选择题
1、函数],[)(b a x f 在上有最大值和最小值是],[)(b a x f 在上连续的[
A ]
(A)必要条件而非充分条件
(B)充分条件而非必要条件
(C)充分必要条件
(D)既非充分条件又非必要条件。

123][)30(01323． ． ． ．　内的实根的个数为，在、方程D C B A B x x =+−3、下列命题错误的是
C
(A)],[)(b a x f 在上连续，则存在)()()(],,[,2121x f x f x f b a x x ≤≤∈使(B)],[)(b a x f 在上连续，则存在常数M ，使得对任意M x f b a x ≤∈)(],,[都有(C)],[)(b a x f 在内连续，则在（a,b ）内必定没有最大值；
(D)],[)(b a x f 在内连续，则在（a,b ）内可能既没有最大值也没有最小值；4．对初等函数来说，其连续区间一定是[A
]
（A ）其定义区间（B ）闭区间（C ）开区间
（D ）（)
,+∞∞−
[)(][]
，
． ，． ，． ，．值的区间是必能取到最大值和最小则是任意实数，且，上连续，，在、设)(][)()()(5∞+−∞<∞+−∞D b a C b a B b a A C x f b a b a x f [][]．
上连续，且，在．；上连续，且，在．上连续；，在．；．　是内存在零点的充分条件，在、函数0)()()(0)()()()()(0)()(][)()(6<<<b f a f b a x f D b f a f b a x f C b a x f B b f a f A D b a x f 三、证明五次代数方程0155
=−−x x 在区间()2,1内至少有一个根。

证：由于函数()155
−−=x x x f 是初等函数，因而它在闭区间]2,1[上连续，而
()0
5115115<−=−×−=f ()0
21125225>=−×−=f 由于()1f 与()2f 异号，故在()2,1中至少有一点0x ，使
()0
0=x f 就是说，五次代数方程0155
=−−x x 在区间()2,1内至少有一个根。

四、设()x f 在[]b a ,上连续，且()a a f <，()b b f >，
证明：()x x f =在()b a ,内至少有一个根。

证：令()()x x f x g −=，可知()x g 在[]b a ,上连续。

()()0<−=a a f a g ()()0
>−=b b f b g 由介值定理的推论，可知()x g 在()b a ,内至少有一个零点，即()x x f =在()b a ,内至少有一个根。

五、若f (x )在[a ,b ]上连续,a <x 1<x 2<⋅⋅⋅<x n <b ,则在[x 1,x n ]上至少有一点ξ,使
n
x f x f x f f n )
( )()()(21+⋅⋅⋅++=
ξ.
证明显然f (x )在[x 1,x n ]上也连续.设M 和m 分别是f (x )在[x 1,x n ]上的最大值和最小值.因为x i ∈[x 1,x n ](1≤i ≤n ),所以有m ≤f (x i )≤M ,从而有
M n x f x f x f m n n ⋅≤+⋅⋅⋅++≤⋅)( )()(21,
M n
x f x f x f m n ≤+⋅⋅⋅++≤)
( )()(21.
由介值定理推论,在[x 1,x n ]上至少有一点ξ使
n
x f x f x f f n )
( )()()(21+⋅⋅⋅++=
ξ.
[][)．，使，必存在一点，，则对于实数上非负连续，且，在六、设)()(10)10(0)1()0(10)(000c x f x f x c c f f x f +=∈<<==[]
证：令，在，上连续，且，
ϕϕϕ()()()()()()()x f x f x c x c f f c =−+−=−≤01000ϕ()()()1110
−=−−≥c f c f 若，则取；f c x f f c ()()()
===+00000)
1()1(10)1(0c c f c f c x c f +−=−−==−，有，取若若，，则，，故必存在点，，使f c f c c x c x ()()()()()()()>−><−>∈−⊂=010*********
00ϕϕϕ即f x f x c ()()00=+111
()()()a b c f x a b b c x a x b x c
七、设，则=0在，及，内<<=++−−−方程各有一个实根．
解当，，时
x a x b x c ≠≠≠方程，同解于f x x a x b x c f x ()()()()()=−−−=00令F x x b x c x a x c x a x b ()()()()()()()
=−−+−−+−−
[][]
在，及，都连续a b b c F a a b a c F b b a b c F c c a c b ()()()()()()()()()=−−>=−−<=−−>000
故在，及，内方程至少各有一实根
()()()a b b c F x =0又为二次方程，它至多有两个不同的实根
∵F x ()=0故进而原方程在，，内各有一个实根
F x a b b c ()()()()=0第二章导数与微分
§1
导数的概念
一、是非判断题：1、)]'([)('00x f x f =。

[
×]
2、若)(x f 在x 0处不连续，则)('0x f 必不存在。

[√]
3、若)(x f 在x 0处不可导，则在x 0处必不连续。

[×]
4、若曲线y=)(x f 在x 0处存在切线，则)('0x f 必存在。

[
×]
（提示：处在1122==+x y x ）
5、函数在一点处的导数就是该曲线在该点处切线的斜率。

[√]二．单项选择题
1、当自变量x 由x 0改变到x 0+=Δ=Δy x f y x 的改变量时)(,C。

(A))
(0x x f Δ+(B))('0x x f Δ+(C))()(00x f x x f −Δ+(D)x
x f Δ)(02、设)(x f 在00=x 处可导，则=′)(0x f D。

(A)x
x f x x f x Δ−Δ−→Δ)
()(lim 000
(B)h
h x f h x f h )
()(lim 000
−−+→
(C)x
x x f x f x 2)
2()(lim 000
+−→(D)x
f x f x )
0()(lim 0
−→3、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的A 。

(A)必要但非充分条件；(B)充分但非必要条件；
(C)
充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。

4、若)(x f 在0x x =处可导，则)(x f 在0x x =处C。

(A)可导；(B)不可导；(C)连续但未必可导；(D)不连续
5、曲线y=lnx 在点A
处的切线平行于直线y=2x-3
（A ）)
2ln ,2
1(−（B ）)
ln
,2
1
(2
1−（C ）)
2ln
,2(（D ）)
2ln ,2(−
6、设函数在)(x f x=0处可导，则=
−−→h
h f h f h )3()2(lim 0
C。

（A ）)0(f ′−（B ）)0(f ′（C ）)0(5f ′（D ）2)
0(f ′三、下列各题中均假定)(0x f ′存在，按照导数的定义观察，A 表示什么？（1）x
x f x x f x Δ−Δ−→Δ)()(lim 000
=A ，
则A=
)
(0x f ′−（2）A x
x f x =→)(lim 0
，其中(0)0f =且)0(f ′存在，则A=
)
0(f ′（3）A n
n x f n x f n =−−+→)()(lim 000
，
则A=
)
(20x f ′四、讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
;00
;1sin 2
x x x
x y 在x=0处的连续性与可导性。

解因为01sin
lim )(lim 20
==→→x
x x y x x , 又y (0)=0, 所以函数在在x =0处连续.
又因为
01sin lim 01sin lim
0)0()(lim 0200==−=−−→→→x
x x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y ′(0)=0.
五、设函数⎩⎨⎧>+≤=1
1 )(2x b ax x x x f 为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解因为
1lim )(lim 20
10
1==−→−→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=+→+→)(lim )(lim 0
10
1, f (1)=a +b ,
所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 .
又因为当a +b =1时
211lim )1(201=−−=′−→−x x f x , a x x a x b a x a x b ax f x x x =−−=−−++−=−−+=′+→+→+→+1)
1(lim 1
1)1(lim 11lim )1(010101,
所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =−1.
六、设()()()f x x a g x =−，其中()g x 在点a 处连续，求()f a ′。

解∵没有假设()g x 可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义
()()()()()0
lim
lim x a
x a f x f a x a g x f a x a x a
→→−−−′==−−()()
=lim x a
g x g a →=七、设)(x f 在1=x 处可导且2)1(=′f ，求极限x
x f x f x )
1()1(lim
0+−−→。

解：00(1)(1)(1)(1)
lim lim
x x f x f f x f x x
→→−−+−=−原式=−′−′=−f f ()()114§2函数的求导法则
一．是非题
1、若221,1,(1)'2,1,()'(),1,()', 1.
x x x x x x x x f x f x e x e e x ⎧⎧+<+=<⎪⎪==⎨⎨≥=≥⎪⎪⎩⎩则[×]
2、若处可导在则处可导在00)()(,)(),(x x g x f x x x g x f +=[√]
3、若处亦不可导在则处均不可导在00)()(,)(),(x x g x f x x x g x f +=[
×]
（提示：例⎩⎨⎧≠==⎩
⎨
⎧≠==.
1,,1,0)(',1,,1,2)(2
x x x x f x x x x f 则）
4、设)sin (cos )'(cos )'(sin )(',cos sin )(x x x x x f x x x f −=⋅=⋅=[×]
5、设x
e x
f x e x f x
x 2)(',)(2=
=则[×]6、若)('x f >0，则)(x f >0
[×]7、若)('x f >()g x ′，则)
()(x g x f >[
×]
（提示：)1,0(,1)(,2)(∈+==x x x g x x f 则）二．单项选择题
1、设则连续在其中,)(),()()(a x x x a x x f =−=ϕϕB 。

(A))()('x x f ϕ=(B))
()('a a f ϕ=(C))
(')('a a f ϕ=(D))
(')()()('x a x x x f ϕϕ−+=2、若对于任意x ，有1)1(,4)('3−=+=f x x x f ，则此函数为
B。

(A)2
)(4
−=x x f (B)2
5
2)(24
−
+=x x x f (C)112)(2+=x x f (D)3
)(24−+=x x x f 3、曲线x x y 33−=上切线平行于x 轴的点是C。

(A)（0，0）
(B)（-2，-2）
(C)（-1，2）
(D)（2，2）
4、设,)()(,)(的反函数是单调可导x f x x f ϕ且5
)2(,4)2(=′=f f ,6)4(=′f 则)4(ϕ′=B 。

(A)
4
1(B)
5
1
(C)
6
1
(D)不存在
（提示：5
1)2('1)4(',2)4(===f ϕϕ）
5、设=−=dy dx x x y 则,sin 2
1D 。

(A)y cos 211−(B)x cos 211−(C)y
cos 22−(D)
x
cos 22−6、已知),)()()(()(d x c x b x a x x f −−−−=且))()(()(0d a c a b a x f −−−=′，
则A 。

(A)a
x =0(B)b
x =0(C)c
x =0(D)d
x =0三、求下列函数在给定点处的导数
（1）5
53)(2x x x f +−=求])0([′f )0(f ′和)2(f ′解：])0([′f =0，x x x f 52)5(3)(2+−=′， 253)0(=′f , 15
17
)2(=′f (2)θθθρcos 2
1sin +=,求
4
π
θθρ
=d d .
解：
θθθθθθθθρ
cos sin 2
1sin 21cos sin +=−+=d d ,
)21(4222422214cos 44sin 214
πππππθ
ρπ
θ+=⋅+⋅=+==d d 四、求下列函数的导数
（1）2
ln 22.
x
x
y x y ′=++设，求解：′=++y x
x
ln ln 2222（2）y x x x x x y ′+−+−=求设　.csc cot tan cos sin 解：′=+++−⋅y x x sce x x x x cos sin csc csc cot 2
2
（3）设　．求．y x x y x
=−+′ln arcsin tan 3解：′=−
−+y x x
ln sec 3112
2（4）设　，求．y e x x
y x x
=−
′(sin )ln ()31
解：′=++
y e x x x x
x
312(cos sin )ln （5）设 ，　求．
y x
x
y =+−′11cot tan 解：2
22)tan 1(sec )cot 1()tan 1(csc x x
x x x y −++−−=
′（6）．
　求设　y x x x y x ′⋅−⋅=2ln sec 解：′=
+⋅⋅−⋅−⋅⋅y x x x x x x
x x x sec sec tan ln ln 1
2222五、求下列函数的导数。