上海市长宁区2019-2020学年中考数学二月模拟试卷含解析

上海市长宁区2019-2020学年中考数学二月模拟试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，ABC ∆为等边三角形，要在ABC ∆外部取一点D ，使得ABC ∆和DBC ∆全等，下面是两名同学做法：（ ）
甲：①作A ∠的角平分线l ；②以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交l 于点D ，点D 即为所求； 乙：①过点B 作平行于AC 的直线l ；②过点C 作平行于AB 的直线m ，交l 于点D ，点D 即为所求．
A ．两人都正确
B ．两人都错误
C ．甲正确，乙错误
D ．甲错误，乙正确
2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，DE ∥AB ，若∠CDE=165°，则∠B 的度数为（ ）
A ．15°
B ．55°
C ．65°
D ．75°
3．为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%．为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量(单位：m1)，绘制了统计图，如图所示．下面有四个推断：
①年用水量不超过180m 1的该市居民家庭按第一档水价交费；
②年用水量不超过240m 1的该市居民家庭按第三档水价交费；
③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180m 1之间；
④该市居民家庭年用水量的众数约为110m 1．
其中合理的是( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
4．2018年，我国将加大精准扶贫力度，今年再减少农村贫困人口1000万以上，完成异地扶贫搬迁280万人．其中数据280万用科学计数法表示为( )
A ．2.8×105
B ．2.8×106
C ．28×105
D ．0.28×107
5．一个几何体的俯视图如图所示，其中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7．用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知二次函数y=x 2+bx ﹣9图象上A 、B 两点关于原点对称，若经过A 点的反比例函数的解析式是y=8x ，则该二次函数的对称轴是直线（ ）
A ．x=1
B ．x=49
C ．x=﹣1
D ．x=﹣49
9．已知关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A ．5
B ．﹣1
C ．2
D ．﹣5
10．下列实数中，有理数是（ ）
A ．2
B ．2.1&
C ．π
D ．53
11．如图，在ABC ∆中，点D 为AC 边上一点，,6,3DBC A BC AC ∠=∠==则CD 的长为（ ）
A ．1
B ．12
C ．2
D ．32
12．如图，已知线段AB ，分别以A ，B 为圆心，大于12
AB 为半径作弧，连接弧的交点得到直线l ，在直线l 上取一点C ，使得∠CAB ＝25°，延长AC 至点M ，则∠BCM 的度数为( )
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．观察下列各等式：
231-+=
56784--++=
1011121314159---+++=
171819202122232416----++++=
……
根据以上规律可知第11行左起第一个数是__．
14．关于 x 的方程 ax=x+2(a ≠1) 的解是________.
15．矩形纸片ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，现将纸片折叠压平，使A 与C 重合，设折痕为EF ，则重叠部分△AEF 的面积等于_____．
16．把多项式9x 3﹣x 分解因式的结果是_____．
17．如图，点O 是矩形纸片ABCD 的对称中心，E 是BC 上一点，将纸片沿AE 折叠后，点B 恰好与点O 重合．若BE=3，则折痕AE 的长为____．
18．将三角形纸片（ABC ∆）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF ，已知3AB AC ==，4BC =，若以点'B ，F ，C 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则BF 的长度是______.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，已知△ABC ，分别以AB,AC 为直角边，向外作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACD ，∠EAB=∠DAC=90°，连结BD,CE 交于点F ，设AB=m ，BC=n.
（1）求证：∠BDA=∠ECA ．
（2）若m=2，n=3，∠ABC=75°，求BD 的长.
（3）当∠ABC=____时，BD 最大，最大值为____（用含m ，n 的代数式表示）
（4）试探究线段BF,AE,EF 三者之间的数量关系。

20．（6分）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x 元时，每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；（用x 的代数式表示）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
21．（6分）先化简，22211121
x x x x x x x --+⋅-++，其中x ＝12． 22．（8分）如图，二次函数y ＝﹣212
x +mx+4﹣m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与），轴交于点C ．抛物线的对称轴是直线x ＝﹣2，D 是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当﹣12
＜x ＜1时，请求出y 的取值范围； （3）连接AD ，线段OC 上有一点E ，点E 关于直线x ＝﹣2的对称点E'恰好在线段AD 上，求点E 的坐标．
23．（8分）某校为了解本校九年级男生体育测试中跳绳成绩的情况，随机抽取该校九年级若干名男生，调查他们的跳绳成绩x （次/分），按成绩分成(155)A x <，(155160)B x <…，(160165)C x <…，
D(165170)x <…，E(170)x …五个等级．将所得数据绘制成如下统计图．根据图中信息，解答下列问题： 该校被抽取的男生跳绳成绩频数分布直方图
（1）本次调查中，男生的跳绳成绩的中位数在________等级；
（2）若该校九年级共有男生400人，估计该校九年级男生跳绳成绩是C 等级的人数．
24．（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ．过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：DE 是⊙O 的切线；当⊙O 半径为3，CE ＝2时，求BD 长．
25．（10分）如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，tanA ＝2cos ∠BCD ，
(1)求证：BC ＝2AD ；
(2)若cosB ＝34
，AB ＝10，求CD 的长.
26．（12分）如图，ABC △中AB AC =，AD BC ⊥于D ，点E F 、分别是AB CD 、的中点.
(1)求证：四边形AEDF 是菱形
(2)如果10AB AC BC ===，求四边形AEDF 的面积S
27．（12分）如图，AB 、AD 是⊙O 的弦，△ABC 是等腰直角三角形，△ADC ≌△AEB ，请仅用无刻度
直尺作图：在图1中作出圆心O ；在图2中过点B 作BF ∥AC ．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
【分析】
根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论．
【详解】
甲的作法如图一：
∵ABC V 为等边三角形，AD 是BAC ∠的角平分线
∴90BEA ∠=︒
180BEA BED ∠+∠=︒Q
90BED ∴∠=︒
90BEA BED ∴∠=∠=︒
由甲的作法可知，AB BD =
ABC DBC ∴∠=∠
在ABC V 和DCB V 中，AB BD ABC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABC DCB SAS ∴≅V V
故甲的作法正确；
乙的作法如图二：
//,//BD AC CD AB Q
,ACB CBD ABC BCD ∴∠=∠∠=∠
在ABC V 和DCB V 中，ABC BCD BC BC
ACB CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABC DCB ASA ∴≅V V
故乙的作法正确；
故选：A ．
【点睛】
本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．
【详解】
解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，
∵DE ∥AB ，∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C ﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，
故选D ．
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
利用条形统计图结合中位数和中位数的定义分别分析得出答案．
【详解】
①由条形统计图可得：年用水量不超过180m 1的该市居民家庭一共有（0.25+0.75+1.5+1.0+0.5）=4（万）， 45
×100%=80%，故年用水量不超过180m 1的该市居民家庭按第一档水价交费，正确； ②∵年用水量超过240m 1的该市居民家庭有（0.15+0.15+0.05）=0.15（万）， ∴0.355
×100%=7%≠5%，故年用水量超过240m 1的该市居民家庭按第三档水价交费，故此选项错误； ③∵5万个数据的中间是第25000和25001的平均数，
∴该市居民家庭年用水量的中位数在120-150之间，故此选项错误；
④该市居民家庭年用水量为110m 1有1.5万户，户数最多，该市居民家庭年用水量的众数约为110m 1，因此正确，
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了频数分布直方图以及中位数和众数的定义，正确利用条形统计图获取正确信息是解题关键．
4．B
【解析】
分析：科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，
n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
详解：280万这个数用科学记数法可以表示为62.810，
⨯ 故选B.
点睛：考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.
5．A
【解析】
【分析】
一一对应即可.
最左边有一个，中间有两个，最右边有三个，所以选A.
【点睛】
理解立体几何的概念是解题的关键.
6．C
【解析】 试题分析：∵解不等式得：，解不等式，得：x≤5，∴不等式组的解集是
，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，故选C ．
考点：一元一次不等式组的整数解．
7．D
【解析】
分析：根据主视图和俯视图之间的关系可以得出答案．
详解： ∵主视图和俯视图的长要相等， ∴只有D 选项中的长和俯视图不相等，故选D ．
点睛：本题主要考查的就是三视图的画法，属于基础题型．三视图的画法为：主视图和俯视图的长要相等；主视图和左视图的高要相等；左视图和俯视图的宽要相等．
8．D
【解析】
【分析】
设A 点坐标为（a ，8a
），则可求得B 点坐标，把两点坐标代入抛物线的解析式可得到关于a 和b 的方程组，可求得b 的值，则可求得二次函数的对称轴．
【详解】
解：∵A 在反比例函数图象上，∴可设A 点坐标为（a ，
8a ）． ∵A 、B 两点关于原点对称，∴B 点坐标为（﹣a ，﹣8a
）． 又∵A 、B 两点在二次函数图象上，∴代入二次函数解析式可得：228989a ab a a ab a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩，解得：389a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或389a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩
，∴二次函数对称轴为直线x=﹣49． 故选D ．
本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，根据条件先求得b的值是解题的关键，注意掌握关于原点对称的两点的坐标的关系．
9．B
【解析】
【分析】
根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【详解】
∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，
∴-2+m=−3
1
，
解得，m=-1，
故选B．
10．B
【解析】
【分析】
实数分为有理数，无理数，有理数有分数、整数，无理数有根式下不能开方的，π等，很容易选择．【详解】
A、二次根2不能正好开方，即为无理数，故本选项错误，
B、无限循环小数为有理数，符合；
C、π为无理数，故本选项错误；
D、不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；
故选B.
【点睛】
本题考查的知识点是实数范围内的有理数的判断，解题关键是从实际出发有理数有分数，自然数等，无理数有π、根式下开不尽的从而得到了答案．
11．C
【解析】
【分析】
根据∠DBC=∠A，∠C=∠C，判定△BCD∽△ACB
=代入求值即可.
【详解】
∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB，
∴CD BC BC AC
=，
=
∴CD=2.
故选:C.
【点睛】
主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 12．B
【解析】
【详解】
解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=25°，
∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．
故选B．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．-1．
【解析】
【分析】
观察规律即可解题.
【详解】
解：第一行=12=1,第二行=22=4,第三行=32=9...
∴第n行=n2,第11行=112=121,
又∵左起第一个数比右侧的数大一,
∴第11行左起第一个数是-1.
【点睛】
本题是一道规律题,属于简单题，认真审题找到规律是解题关键.
14．
2 a1 -
【解析】
分析：依据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．
详解：移项，得：ax﹣x=1，合并同类项，得：（a﹣1）x=1．∵a≠1，∴a﹣1≠0，方程两边都除以a
﹣1，得：x=
2
1
a-
．故答案为x=
2
1
a-
．
点睛：本题主要考查解一元一次方程的能力，熟练掌握等式的基本性质及解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
15．．
【解析】
试题分析：要求重叠部分△AEF的面积，选择AF作为底，高就等于AB的长；而由折叠可知∠AEF=∠CEF，由平行得∠CEF=∠AFE，代换后，可知AE=AF，问题转化为在Rt△ABE中求
AE．因此设AE=x，由折叠可知，EC=x，BE=4﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即32+（4﹣x）2=x2，
解得：x=，即AE=AF=，
因此可求得=×AF×AB=××3=．
考点：翻折变换（折叠问题）
16．x（3x+1）（3x﹣1）
【解析】
【分析】
提取公因式分解多项式，再根据平方差公式分解因式，从而得到答案.
【详解】
9x3－x＝x（9x2－1）＝x（3x＋1）（3x－1），故答案为x（3x＋1）（3x－1）.
【点睛】
本题主要考查了因式分解以及平方差公式，解本题的要点在于熟知多项式分解因式的相关方法.
17．6
【解析】
试题分析：由题意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，且OE垂直平分AC，
∴AE=CE，
设AB=AO=OC=x，
则有AC=2x，∠ACB=30°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：3，
在Rt△OEC中，∠OCE=30°，
∴OE=1
2
EC，即BE=
1
2
EC，
∵BE=3，
∴OE=3，EC=6，则AE=6
故答案为6.
18．12
7
或2
【解析】
【分析】
由折叠性质可知B’F=BF，△B’FC与△ABC相似，有两种情况，分别对两种情况进行讨论，设出B’F=BF=x，列出比例式方程解方程即可得到结果.
【详解】
由折叠性质可知B’F=BF，设B’F=BF=x，故CF=4-x
当△B’FC∽△ABC，有
'B F CF
AB BC
=，得到方程
4
34
x x
-
=，解得x=
12
7
，故BF=
12
7
；
当△FB’C∽△ABC，有
'B F FC
AB AC
=，得到方程
4
33
x x
-
=，解得x=2，故BF=2；
综上BF的长度可以为12
7
或2.
【点睛】
本题主要考查相似三角形性质，解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．135°m+n
【解析】
试题分析：
（1）由已知条件证△ABD≌△AEC，即可得到∠BDA=∠CEA；
（2）过点E作EG⊥CB交CB的延长线于点G，由已知条件易得∠EBG=60°，BE=2，这样在Rt△BEG
中可得，BG=1，结合BC=n=3，可得GC=4，由长可得△ABD≌△AEC可得
（3）由（2）可知，，BC=n，因此当E、B、C三点共线时，EC最大n
+，此时
BD最大=EC最大n
+；
（4）由△ABD≌△AEC可得∠AEC=∠ABD，结合△ABE是等腰直角三角形可得△EFB是直角三角形及BE2=2AE2，从而可得EF2=BE2-BF2=2AE2-BF2.
试题解析：
（1）∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，且∠EAB=∠DAC=90°，
∴AE=AB，AC=AD，∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠BAD，
∴△EAC≌△BAD，
∴∠BDA=∠ECA；
（2）如下图，过点E作EG⊥CB交CB的延长线于点G，
∴∠EGB=90°，
∵在等腰直角△ABE，∠BAE=90°，AB=m=2，
∴∠ABE=45°，BE=2，
∵∠ABC=75°，
∴∠EBG=180°-75°-45°=60°，
∴BG=1，EG=3，
∴GC=BG+BC=4，
∴CE=22
+=，
4(3)19
∵△EAC≌△BAD，
∴BD=EC=19；
（3）由（2）可知，2m，BC=n，因此当E、B、C三点共线时，EC最大2m n
+，∵BD=EC，
∴BD最大=EC最大2m n
+，此时∠ABC=180°-∠ABE=180°-45°=135°，
即当∠ABC=135°时，BD最大2m n
+；
（4）∵△ABD≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABD，
∵在等腰直角△ABE中，∠AEC+∠CEB+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE+∠CEB=90°，
∴∠BFE=180°-90°=90°，
∴EF 2+BF 2=BE 2，
又∵在等腰Rt △ABE 中，BE 2=2AE 2，
∴2AE 2=EF 2+BF 2.
点睛：(1)解本题第2小题的关键是过点E 作EG ⊥CB 的延长线于点G ，即可由已知条件求得BE 的长，进一步求得BG 和EG 的长就可在Rt △EGC 中求得EC 的长了，结合（1）中所证的全等三角形即可得到BD 的长了；（2）解第3小题时，由题意易知，当AB 和BC 的值确定后，BE 的值就确定了，则由题意易
得当E 、B 、C 三点共线时，n +是EC 的最大值了.
20．（1）（20+2x ），（40﹣x ）；（2）每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不可能做到平均每天盈利2000元．
【解析】
【分析】
(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；
(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可．
【详解】
(1)、设每件童装降价x 元时，每天可销售20+2x 件，每件盈利40-x 元，
故答案为（20+2x ），（40-x ）；
(2)、根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，
解得：121020x x ==，，
即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；
(3)、(20+2x)(40－x)=2000， 230x 6000x -+=，
∵此方程无解，
∴不可能盈利2000元．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程．
21．2213
x ,x + 【解析】
【分析】
根据分式的化简方法先通分再约分，然后带入求值.
【详解】
解：22211121
x x x x x x x --+⋅-++ 2(1)(1)(1)1(1)11111111
21x x x x x x x
x x x x x x x x +--=
+⋅+--=++-+=+++=+ 当12
x =时，2213x x =+． 【点睛】
此题重点考查学生对分式的化简的应用，掌握分式的化简方法是解题的关键.
22．（1）y=﹣
12x 1﹣1x+6；（1）72＜y ＜558；（3）（0，4）． 【解析】
【分析】
（1）利用对称轴公式求出m 的值，即可确定出解析式；
（1）根据x 的范围，利用二次函数的增减性确定出y 的范围即可；
（3）根据题意确定出D 与A 坐标，进而求出直线AD 解析式，设出E 坐标，利用对称性确定出E 坐标即可．
【详解】
（1）∵抛物线对称轴为直线x=﹣1，∴﹣
122m ⨯-（）=﹣1，即m=﹣1，则二次函数解析式为y=﹣12x 1﹣1x+6；
（1）当x=﹣
12时，y=558；当x=1时，y=72． ∵﹣12＜x ＜1位于对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，∴72＜y ＜558
； （3）当x=﹣1时，y=8，∴顶点D 的坐标是（﹣1，8），令y=0，得到：﹣
12x 1﹣1x+6=0，解得：x=﹣6或x=1．
∵点A 在点B 的左侧，∴点A 坐标为（﹣6，0）．
设直线AD 解析式为y=kx+b ，可得：2860k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：212k b =⎧⎨=⎩
，即直线AD 解析式为y=1x+11． 设E （0，n ），则有E′（﹣4，n ），代入y=1x+11中得：n=4，则点E 坐标为（0，4）．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．23．（1）C;(2)100
【解析】
【分析】
（1）根据中位数的定义即可作出判断；
（2）先算出样本中C等级的百分比，再用总数乘以400即可.
【详解】
解：（1）由直方图中可知数据总数为40个，第20，21个数据的平均数为本组数据的中位数，第20，21个数据的等级都是C等级，故本次调查中，男生的跳绳成绩的中位数在C等级；
故答案为C.
（2）400⨯10
40
=100（人）
答：估计该校九年级男生跳绳成绩是C等级的人数有100人.
【点睛】
本题考查了中位数的求法和用样本数估计总体数据，理解相关知识是解题的关键.
24．（1）证明见解析；（2）BD＝23．
【解析】
【分析】
（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出CE CD
BD AB
=，从而求得BD•CD=AB•CE，
由BD=CD，即可求得BD2=AB•CE，然后代入数据即可得到结果．【详解】
（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴AD平分BC，即DB＝DC，
∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙0的切线；
（2）∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，
∴CE CD BD AB
=，
∴BD•CD＝AB•CE，
∵BD＝CD，
∴BD2＝AB•CE，
∵⊙O半径为3，CE＝2，
∴BD＝
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．
25．（1）证明见解析；（2）CD＝.
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的概念可知tanA＝CD
AD
，cos∠BCD＝
CD
BC
，根据tanA＝2cos∠BCD即可得结论；（2）
由∠B的余弦值和（1）的结论即可求得BD，利用勾股定理求得CD即可．【详解】
(1)∵tanA＝CD
AD
，cos∠BCD＝
CD
BC
，tanA＝2cos∠BCD，
∴CD
AD
＝2·
CD
BC
，
∴BC＝2AD.
(2)∵cosB＝BD
BC
＝
3
4
，BC＝2AD，
∴BD
AD
＝
3
2
.
∵AB＝10，∴AD＝2
5
×10＝4，BD＝10－4＝6，
∴BC＝8，∴CD＝22
BC BD
＝27.
【点睛】
本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算.熟练掌握三角函数的概念是解题关键.
26．(1)证明见解析；(2)253 2
.
【解析】【分析】
（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=1
2
AB=AE，DF=
1
2
AC=AF，再根据AB=AC，点E、
F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）根据等边三角形的性质得出EF=5，AD=53，进而得到菱形AEDF的面积S．【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴Rt△ABD中，DE=1
2
AB=AE，
Rt△ACD中，DF=1
2
AC=AF，
又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）如图，
∵AB=AC=BC=10，
∴EF=5，3，
∴菱形AEDF的面积S=1
2
EF•AD＝
1
2
×5×3
253
2
．
【点睛】
本题考查菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半．
27．见解析.
【解析】
【分析】
（1）画出⊙O的两条直径，交点即为圆心O．
（2）作直线AO交⊙O于F，直线BF即为所求．
【详解】
解：作图如下：
（1）；
（2）.
【点睛】
本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。