瑞友教育2017年高考押题文科数学试卷

瑞友教育2017高考数学冲刺点睛卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：
· 如果事件A ，B 互斥，那么
P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )
· 如果事件A ，B 相互独立，那么
P (AB )＝P (A )⋅P (B )
圆锥侧面积公式 S ＝rl π
其中r 为底面圆半径，l 为母线长
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若为虚数单位，则复数等于( )
A 、
B 、
C 、13i 22+
D 、33
i 22
-+
2. 命题“()2121x ,x x ∀∈>+，”的否定为( )
A 、()2000121x ,x x ∃∈≤+，
B 、()2000121x ,x x ∃∈<+，
C 、()2121x ,x x ∀∉>+，
D 、()2121x ,x x ∀∉≤+，
3 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序， 输出的i 值等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
4 已知定义域为R 的函数()y f x =在(1，+∞)上是增函数，且函数()y f x =+1是偶函数，那么 A. ()()()f f f <-<014 B ．()()()f f f <<-041 C. ()()()f f f <-<410 D. ()()()f f f -<<104
5 已知集合{||2|}P x x a =-<，函数12
log (1)y x =-的定义城为Q ，
若Q P ⊆，则a 的取值范围是 A ．{|01}a a <≤ B ．{|1}a a ≥C ．{|1}a a > D ．{|0}a a > 6 在ABC △中，17sin 17A =
，3
tan 5
B =．若AB
C △最大边的边长为17，则最小边的长为（ ）
A ．2
B ．10
C ．
1722 D ．32
2
7 已知直线0Ax By C ++=与圆224x y +=交于,M N 两点.若222A B C +=，则
OM ON ⋅的值为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ． 2
8 已知函数2210102
log x ,x f (x )|x x |,x +>⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩，若函数()()F x f x a =-有三个不同的零点，则实数a 的
取值范围是（ ）
A 、[0，116]
B 、1
(0]16
,- C 、{0} D 、{0, 116}
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2. 本卷共12小题，共110分。

二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.
9 150辆汽车正在经过某一雷达区，这些汽车行进的时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60/km h 的汽车数量约为 辆
10 一个几何体的三视图如所示，则这个几何体的表面积为
i 12i
1i
-+-11i 22+31i 22-+0.039
0.028
0.018
0.010
0.005时速3040506070802222122
2
2111
正视图俯视图
侧视图
11过点作直线与圆交于、两点，若，则圆心到直线的距离等于 .
12 函数在区间恰有个零点，则的取值范围为 .
13 抛物线焦点的直线与抛物线交于A 、B 两点，，且AB 中点的纵坐标
为1
2
，则p 的值为 ． 14 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式212
22
ma n S a n
n
≥
+
对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都
成立，则实数m 的最大值为
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
（15）（本小题满分13分）
已知向量，，函数.
(1)求函数的最小正周期与值域；
(2)已知，，分别为内角，，的对边，其中为锐角，
23a =，，且，求，和的面积.
（16）（本小题满分13分）
某乡镇为了优化组合，决定引进资金拯救亏损企业. 长年在外经商的王先生为了回报家乡，决定投资线路板厂和机械加工厂，王先生经过预算，如果引进新技术在优化管理的情况下，线路板厂和机械加工厂可能的最大盈利率分别为95%和80%，可能的最大亏损率分别为30%和10%. 由于金融危机的影响，王先生决定最多出资100万元引进新技术，要求确保可能的资金亏损不超过18万元，问：王先生如何安排投资才能使可能的盈利最大，最大盈利为多少？
（17）（本小题满分13分）
在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，
E 为1CC 的中点．求证：
（1）1AC ∥平面BDE ；（2）1A E ⊥平面BDE ; （3）求直线1A C 与平面BDE 所成角的正弦值． （18）（本小题满分14分） . 已知椭圆经过点，离心率为⑴求椭圆的方程；
⑵设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（不与重合），则直线是否恒过一定点？如果是，求出这个定点的坐标；如果不是，请说明理由. （19）（本小题满分13分） 已知数列中，的前项和满足. （Ⅰ）当时，求数列的通项公式； （Ⅱ）若对任意*n N ∈，都有(1)
n
n n a λ+>，求实数λ的取值范围。

（20）（本小题满分14分） 1. 设()(1)x f x e a x =-+．
（Ⅰ）若0,a >()0f x ≥对一切x R ∈恒成立，求a 的最大值． （Ⅱ）设()()x a
g x f x e
=+
,且112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点． 若对任意的1a ≤-，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围；
（Ⅲ）是否存在正整数a ，使得13(21)()1
n n n n e
n an e ++⋅⋅⋅+-<
-对一切正整数n 均成立?若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由．
)4,4(-P l 25)1(:22=+-⋅y x C A B 2||=PA C l 3sin (0)y x ωω=>[0,]π2ω2
2(0)y px p =>3AB =(sin ,1)a x =-1
(3cos ,)2
b x =-()()2f x a b a =+⋅-()f x T a b
c ABC ∆A B C A 4c =()1f A =A b ABC ∆S :
C 2
2
221x y
a b
+=(0)a b >>(0,1)32
e =
C :1l x my =+C ,A B A x A 'A 'B A B '{}n a 1(),{}n a t t a =为非零常数n n S 13n n S S +=1t ={}n a E
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
N
M C
A
B
O
数 学(文史类)参考答案
一、选择题。

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案
B
A
C
A
B
A
C
D
二、填空题。

9. 57 10. 3 4 12 12ω≤<. 13. 14. 1
5
.
三．解答题
15.【解析】
(Ⅰ) 2
()()22f x a b a a a b =+⋅-=+⋅-
21
sin 13cos 22
x x x =+++-
1cos 231sin 2222x x -=
+-31
sin 2cos 222
x x =- sin(2)6x π
=- 因为2ω=，所以22
T π
π==
值域为 ]1,1[-
(Ⅱ) ()sin(2)16
f A A π
=-=.
因为5(0,),2(,)2666A A ππππ∈-∈-，所以262A ππ-=，3
A π
= .
由2222cos a b c bc A =+-，得21
1216242
b b =+-⨯⨯，即2440b b -+=.
解得2b = 故11
sin 24sin 602322
S bc A ==⨯⨯⨯=
16.【解析】 （40,60）86万 设给线路板厂投资x 万元, 给机械加工厂投资y 万元，可获盈利为z 元
则100100
0.30.11831800,00,0
x y x y x y x y x y x y +≤+≤⎧⎧⎪⎪
+≤⇒+≤⎨⎨⎪⎪≥≥≥≥⎩⎩
，目标函数0.950.8z x y =+即195164z y x =-+
画出可行域如图所示
平移195164
z
y x =-+经过A （40，60）时截距最大，即z 最大.
故在省电台播放广告40万, 在市电台播放广告60万，可获有最大收益86万元
17.【解析】
（1）证明：连接AC ，设AC
BD O =．由条件得ABCD 为正方形，
故O 为AC 中点．
E 为1CC 中点，∴1//OE A C ．
OE ⊂平面BDE ，AC 1⊂/1AC ⊄平面BDE ．∴1AC ∥平面BDE ． （2）连接1B E , 设AB a =，则在1BB E ∆中，12BE B E a ==，12BB a =．
22211BE B E BB +=．∴B 1E ⊥BE ．
由1111ABCD A B C D -是正四棱柱得11A B ⊥平面11BB CC ，．
1111B E
A B B =∴BE ⊥平面11A B E ．
∴1A E BE ⊥．同理1A E DE ⊥．
BE
DE E = ∴1A E ⊥平面BDE ．
（3）
22
3
18.【解析】
解：⑴依题意可得，解得.
所以椭圆的方程是.
354∴11A B ⊥BE 22213b c a
a b c =⎧⎪
⎪=⎨⎪⎪=+⎩
2a =C 2
214
x y +=A (40,60)O
3x+y=180x+y=100
y
x
⑵由消去得，即.
设，，则且，，
经过点的直线方程为. 令，则.
又，所以当时，
这说明直线
与轴交于定点.
19.【解析】
解：（Ⅰ）方法一：由13n n S S +=得：数列{}n S 是等比数列，公比为3，首项为1
11133n n n S --∴=⋅=
当2n ≥时，
方法二：， 以上两式相减得：，
在中，取得：即，
为第二项起的等比数列，公比为3
（Ⅱ）令 由（Ⅰ）知： 为第二项起的等比数列，公比为3，
当时，，
① 若，则即
数列是从第二项起的递减数列
而，，
……………9分 对任意*n N ∈，都有(1)n n n a λ+>
3
t
λ∴> ②若0t <，则10n n b b +->即1(2)n n b b n +>≥ ∴数列{}n b 是从第二项起的递增数列 ……11分 而120b t =
<，当2n ≥时，2(1)023
n n n n b t -+=<⋅ (,0)n b ∴∈-∞ ……………12分
对任意*n N ∈，都有(1)
n
n n a λ+>
，0λ∴≥ 综上：若0t >，则3
t
λ>；若0t <，则0λ≥。

20.【解析】
解：（Ⅰ）0a >时，()x f x e a '=-，令()0f x '=，有ln x a =.
2
2141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
x 22(1)44my y ++=22(4)230m y my ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 11(,)A x y '-12224m y y m +=-+1223
4
y y m =-+1122(,),(,)A x y B x y '-11
2121
y y x x y y x x +-=+-0y =212111122112
11211212()()+x x x x y x y y x y x y x y x y y y y y y --+++=+==++11221,1x my x my =+=+0y =222112*********
62(1)(1)2()44 4.24
m m
my y my y my y y y m m x m y y y y m -
-
+++++++===
=++-+A B 'x (4,0)122
13323n n n n n n a S S ----=-=-=⋅21(1)23(2)n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩
13n n S S +=∴13(2)n n S S n -=≥13(2)n n a a n +=≥13n n S S +=1n =1213a a a +=2122a a ==21
23a
a ∴=≠{}n a ∴21(1)
23(2)n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩(1)
n n
n n b a +=
{}n a 22a t =∴2n ≥223n n a t -=⋅2
(1)
23n n n n b t -+=
⋅1121
(1)(2)(1)(1)(1)
23233n n n n n n n n n n n b b t t t +---++++--=
-=⋅⋅⋅0t >10n n b b +-<1(2)n n b b n +<≥∴{}n b 12
b t
=
23b t =21b b >max 23
()n b b t
∴==
因为ln x a <时，()0f x '<，()f x 单调递减，
ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()min ln f x f a =. 由()ln 0f a ≥，有()ln ln 10a
e
a a -+≥， ln 0a ≤，01a <≤，即a 的最大值是1.
（Ⅱ）设12,x x 是两个任意实数，且12x x <，则有()()21212121
AB
g x g x y y k m x x x x --==>--，()()2121g x g x mx mx ->-，即()()2211g x mx g x mx ->-.
设()()h x g x mx =-，则()h x 在(),-∞+∞上单调递增，故()()0h x g x m ''=-≥.即对任意
1a ≤-，对任意实数x ，()m g x '≤恒成立. 又()()1x x a g x e a x e
=-++
, ()()()())
2
211x
x x x x x a a a
g x e a e a e a a a a e e e
--'=--=++-≥⋅-=-+-=
--当
1a ≤-时，()min 3g x '=,故3m ≤. （Ⅲ）存在，a 的最小值为2.
若1a =，则由已知，13521n
n
n
n
n e n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+++
+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭n 都成立. 当1n =时，有11e e <-，即1e e -<352e +<，但352.7182
e ≈>，故1a =时不成立，2a ≥.
2a =时，由（Ⅰ）知，()()10x f x e x =-+≥，即1x e x ≥+. 令2i
x n
=-
()1,3,5,21i n =-，
则212i n i e n --≤，212n
i i e n -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭
()1,3,5,21i n =-.
故
()135
212222
112
2
1
11352122221=
11n n n
n
n n
n e e e e
n n n n e
e e e
e e -----
-
-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≤++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
-<
=
-- .。