3.3第三章：中值定理及导数的应用

上连续；
2.按左、右导数的定义不难求出
f
/ 1
f
/ 1 1, 从而
f x 在 0,2 内
可导，且
f
/ x
x,0 x 1,
1 x2 ,1 x
2.
因此， f x 在 0,2上满足拉氏定理的条件.
（二）由拉氏定理的结论： 0,2 ，使
f
/
f
2
2
f 0
0
1 2
.不难算得：
1 或 2
2 0,2.
x 2x
lim x
x 1 21
2 x x
.
对于不直接表现为 0 型或 型的不定型，要首先合理转化，使其成为 0
四．洛必达法则 我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是 0 型，要么是 0
。对付这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理 化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则—
—洛必达法则，可用一招统一解决大部分的 0 或 的极限问题。 0
例 6．设 f x x 1x 2x 3x 4 ，证明方程 f x 0 有三个实根，并
且它们分别位于区间 1, 2, 2,3, 3, 4. （见书第 105 页）
例 7．证明方程 x5 x 1 0 只有一个正根.(反证).
拉氏定理有两个重要的的推论，也要会记会用.
推论 1：若对任意 x I , f / x 0 ，则 f x C,x I.
x
x.
.
( .
1,1
x
)
例 3.证明：对 x 0,ex 1 x. .
例 4．证明：对 x 0, ln 1 x x. .
大家自己证明，这两个结论要记住. 三．利用中值定理证明等式成立（或方程有无根）
例 5．设 f x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f 1 0, 证明： 0,1 使
现在先回顾一下洛必大达法则的条件及结论：
第一种： 0 型的洛必达法则
0
设函数 f x, F x满足：
x （1） lim f lim F x 0 ；
x x 0
0
x x 0
（2）f
x,
Fx在
x0
的某个去心邻域U
x0 ,
内，f
/
x,
F
/
x都存在
F
/
x
0
；
（3）
lim x x 0
f / x F / x
x
x 2x lim
x
x 2 lim
x
x
lim
x
x
2；
x0 x sin x
x0 1 cos x x0 sin x x0 cos x
x 3 1
x 例 5．求 lim x x0
2 1
2
lim x0
1 3
1
2
2x
2
3 .2 x
1； 3
x xx 例
6．
lim
x
2
arctan 1
x
lim
x
1 1 1
2
2
lim x 1
2 1；
x
x2
1
x x x 例
7．求
lim
x
ln
x
n
lim n x
x
n1
lim 1 n x
n
0；
x x 例 8．求 lim e e 2 e x
n 2x
lim
x
n 2
n1
2x
... lim x
n!
n 2x
0；
ln 1
e e e 例 9．求 lim
e e x ln 1
第三章 中值定理及导数的应用
一．验证罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的条件及结论是否成立
要牢记三个中值定理成立的条件及其结论。关于这个知识点，往往会出验证题
例
1．验证：
f
x
3
x2
2
, x 1, 在 0,2上满足拉氏定理的条件，并求出定理
1 x
,
x
1.
结论中的点 0,2 .
解：（一）1.由 f 1 0 f 1 0 f 1 1，知 f x 在 x 1处连续，从而在 0,2
得到一个含中值 的等式，最后适当放大或缩小不等式即可.
例
2.证明：对 x
0,
1
x
x
ln(1
x)
x
.
证明：设
f
t
ln t, t
0，则
f
/ t
1 .在 1,1
t
x 上由拉氏定理知，
ln(1 x) ln1
f 1 x f 1
f
/
x
1
x
(5)
即： 1 1
x
x
ln(1
x)
1
x
1 1
F / x 0 ；
（3）
lim x x
0
f / x F / x
A
存在（或为
）.
x 例 1． 求 lim x x1
m 1 n 1
m n
;
例 2． 求 lim x0
2x
1 x2 1 lim 1 x2 lim
x sin x
x0 sin x x cos x x0
2x
.......
1 x2 sin x xcos x
f / f 0.
证明：（分析 寻找合适的辅助函数应用罗尔中值定理，采用倒推的方法分析。
命题只须证 0,1，使
x
f
/ x
| f x x
0 ，或者
xf
x
|/ 0 . x
故令 F x xf x。显然，F 0 F 1 0 且 F x在0,1上连续，在 0,1内可
导，从而由罗尔定理知， 0,1，使 F / f / f 0.
A
存在（或为
）.
Ff 则，
lim x x
0
f / x / x A 存在（或为 ）.
第二种． 型的洛必达法则
设函数 f x, F x满足：
x （1） lim f x x 0
lim F x ；
0
x x 0
（2）
f
x,
Fx
在
x0
的
某
个
去
心
邻
域
U
x0 ,
内
，
f / x, F / x 都 存 在 ，
越来越麻烦，说明洛必达法则虽在大多数情况下可简化运算，但有时它可能并不 是最简单的做法。如能采用其他方法先行简化欲求极限的函数，再使用洛必达法 则，则效果可能会更好！
例 3.的另一种作法： lim
1
x2
1
lim
x2
2
1
；
x0 x sin x
x0 x.x 2
e e e e e e e e 例 4．求 lim
注意：中值定理中结论只保证中间值 0,2 的存在性，至于 是否唯一，不唯
一时有几个，如何求 ？定理本身并未指出.
二．利用拉格朗日中值定理证明不等式（尤其是双向不等式） 利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般方法是；先根据所要证明的不等式的 特点作一辅助函数，并恰当选择相应的闭区间；然后利用拉格朗日中值定理，
例 8.证明： arcsin x arccos x , x 1,1.
2
证明：设 f x arcsin x arccos x, x 1,1，
则， f / x 0, x 1,1 ，
所以，由推论 1， f x f 0 .
2
推论 2:若对于 x I , f / x g / x ，则 x I , f x gx C .