云南省峨山彝族自治县第一中学2017-2018学年高二上学期期末备考模拟数学2-1试题(一)含答案

备考模拟一
（时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分)
1．若命题p：∀x∈R，2x2＋1＞0，则p 是（）．
A．∀x∈R,2x2＋1≤0B．∃x∈R,2x2＋1＞0
C．∃x∈R，2x2＋1＜0 D．∃x∈R,2x2＋1≤0
2．“a＞0"是“|a|＞0”的（）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若双曲线错误!－错误!＝1 (a＞0，b＞0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．e＞错误!B．1＜e＜错误!
C．e＞2 D．1＜e＜2
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0），(4，0)，则双曲线方程为( ）．
A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1
C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1
5．已知△ABC的顶点B、C在椭圆错误!＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（)．
A．2错误!B．6 C．4错误!D．12
6．过点（2,－2）与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )．
A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1
C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1
7．已知a＝(cos α，1，sin α），b＝（sin α，1,cos α），则向量a＋b与a－b的夹角是（）．
A．90°B．60°C．30°D．0°
8．设双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( ）．
A．错误!B．2 C．错误!D．错误!
9．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB,E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( ）．
A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!
10．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以（1，1)为中点的弦的长度为（）．A．3错误!B．2错误!C．错误!D．错误!错误!
11．命题p：关于x的不等式（x－2）错误!≥0的解集为{x|x≥2｝，命题q:若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4＜k≤0;那么不．正确的是（）．
A．“p⌝”为假命题B．“q⌝”为假命题C．“p或q"为真命题D．“p且q”为假命题
12．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（)．
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
题
123456789101112
号
答
案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13．已知向量a与b的夹角为120°，且｜a|＝|b｜＝4，那么b·（2a
＋b）的值为________．
14．已知双曲线x2－y2
3
＝1,那么它的焦点到渐近线的距离为
________．
15．给出如下三种说法：
①四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad ＝bc;
②命题“若x≥3且y≥2，则x－y≥1”为假命题；
③若p∧q为假命题,则p，q均为假命题．
其中正确说法的序号为________．
16．双曲线错误!－错误!＝1 （a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P 为双曲线上一点,
且｜PF1|＝2|PF2｜，则双曲线离心率的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分）
17．（10分)已知命题p：方程2x2－2错误!x＋3＝0的两根都是实数，q：方程2x2－2错误!x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q”、“p且q”、“非p"形式的命题，并指出其真假．
18．(12分）F1，F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点,从任一焦点向△F1QF2中的
∠F1QF2的外角平分线引垂线，垂足为P，求点P的轨迹．
19．(12分）若r(x）：sin x＋cos x＞m,s（x）：x2＋mx＋1＞0．已知∀x∈R，r(x）为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．
20．(12分)已知椭圆x2
a2＋错误!＝1 (a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1）,
离心率为错误!，
过点B（0，－2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．
(1）求椭圆的方程；
(2）求△CDF2的面积．
21．（12分)已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别为AB，PC的三等分点，且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求错误!的坐标．
22．（12分)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝错误!，∠ABC＝60°．
（1）证明：AB⊥A1C;
（2）求二面角A—A1C—B的正切值大小．
参考答案：
1．D
【解析】P⌝：∃x∈R，2x2＋1≤0．
2．A
【解析】因为|a|＞0⇔a＞0或a＜0，所以a＞0⇒|a|＞0，但｜a|＞0⇒a＞0,所以a＞0是
｜a|＞0的充分不必要条件．
3．C
【解析】由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点,故错误!＞a,∴错误!＞2．
4．A
【解析】由题意知c＝4，焦点在x轴上，又e＝错误!＝2，∴a＝2,∴b2＝c2－a2＝42－22＝12，
∴双曲线方程为错误!－错误!＝1．
5．C
【解析】设椭圆的另一焦点为F，由椭圆的定义知|BA|＋|BF｜＝2错误!，且｜CF｜＋｜AC|＝2错误!，
所以△ABC的周长＝｜BA|＋｜BC｜＋｜AC｜＝｜BA｜＋｜BF｜＋｜CF|＋｜AC｜＝4错误!．
6．D
【解析】与双曲线x 22
－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为错误!－y 2＝λ，
由过点（2，－2)，可解得λ＝－2．所以所求的双曲线方程为错误!－错误!＝1．
7．A
【解析】(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－｜b ｜2＝（cos 2α＋1＋sin 2α）－（sin 2α＋1＋cos 2α）＝0,
∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°．
8．C
【解析】双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程为y ＝±错误!x ，
因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，
故x 2
＋1±b a x ＝0只有一个实根， ∴错误!－4＝0，∴错误!＝4，
∴错误!＝5,∴e ＝错误!．
9．C
【解析】以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB ＝1，则AA 1＝2，
依题设有点B （1，1，0），C (0，1，0)，D 1（0,0，2）,E （1,0，1）， ∴错误!＝（0，－1,1)，错误!＝(0，－1，2）．
∴cos 〈错误!·错误!>＝错误!＝错误!．］
10．C
【解析】令直线l 与椭圆交于点A （x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则错误! ①－②得:（x 1＋x 2）(x 1－x 2）＋2（y 1＋y 2）(y 1－y 2）＝0，即2(x 1－x 2）＋4(y 1－y 2）＝0，
∴k l ＝－错误!，∴l 的方程：x ＋2y －3＝0，由错误!，得6y 2－12y ＋5＝0． ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝错误!．
∴|AB ()212211y y k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭错误!．
11．D
12．D 【解析】
以D 点为坐标原点,以DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，
建立空间直角坐标系，
则点A (2，0，0），B （2，2，0），C (0，2，0）,C 1（0，2，1）． ∴错误!＝（－2，0,1)，错误!＝（－2，2，0),且错误!为平面BB 1D 1D 的一个法向量．
∴cos 〈错误!，错误!〉＝11BC AC BC AC ⋅⋅＝错误!＝错误!．
∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为错误!．
13．0
14．3
【解析】焦点（±2，0)，渐近线：y ＝±错误!x ，焦点到渐近线的距离()323
31
+＝错误!． 15．①②
【解析】对①a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，反之不一定．故①正确；对②,令x ＝5，y ＝6,则x －y ＝－1，所以该命题为假命题,故②正确；对③，p ∧q 假时,p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．
16．(1，3］
【解析】设｜PF2｜＝m，则2a＝｜|PF1|－|PF2|｜＝m,2c＝
|F1F2|≤｜PF1｜＋|PF2｜＝3m．
∴e＝错误!＝错误!≤3，又e＞1,∴离心率的取值范围为(1，3］．17．解:“p或q”的形式:方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数或不相等．
“p且q”的形式:方程2x2－2错误!x＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p"的形式：方程2x2－2错误!x＋3＝0的两根不都是实数．
∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．
∴p真，q假．∴“p或q"真,“p且q"假,“非p”假．
18．解：设椭圆的方程为x2
a2＋错误!＝1 (a＞b＞0）,点F1，F2是它的两
个焦点，Q为椭圆上任意一点,QP是△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线(如图)，
过点F2作F2P⊥QP于P并延长交F1Q的延长线于点H,
则P是F2H的中点，且｜F2Q|＝｜QH|，
因此|PO｜＝错误!｜F1H｜＝错误!（|F1Q｜＋｜QH|）＝错误!（｜F1Q｜
＋|F2Q|)＝a,
∴点P的轨迹是以原点为圆心，以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x轴的交点)．
19．解：由于sin x＋cos x＝错误!sin错误!∈[－错误!，错误!］，∀x∈R,r(x）为假命题，
即sin x＋cos x＞m恒不成立．
∴m≥错误!．①
又对∀x∈R，s（x）为真命题．
∴x2＋mx＋1＞0对x∈R恒成立．
则Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2．②
故∀x∈R，r(x)为假命题，且s（x)为真命题，
应有错误!≤m＜2．
20．解：（1)易得椭圆方程为x2
2
＋y2＝1．
（2）∵F1(－1，0),∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，由错误!，得9x2＋16x＋6＝0．
∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D（x2，y2），则错误!,
∴|CD |＝()212+-|x 1－x 2|＝错误!·()212124x x x x +-＝错误!·错误!＝错误!错误!， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝错误!,
故S △CDF 2＝错误!|CD |·d ＝错误!错误!．
21．解：方法一 ∵PA ＝AB ＝AD ＝1,且PA ⊥面ABCD ,AD ⊥AB ， ∴可设错误!＝i ，错误!＝j ，错误!＝k ，
以{i ，j ,k ｝为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
∵错误!＝错误!＋错误!＋错误!
＝－错误!错误!＋错误!＋错误!错误!
＝－错误!错误!＋错误!＋错误!(－错误!＋错误!＋错误!)
＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!k ＋错误!（－错误!）
＝－错误!i ＋错误!k ．
∴错误!＝错误!．
方法二 设错误!＝i ，错误!＝j ，错误!＝k ，以{i ，j ，k ｝为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E ．可知NE ∥PD ．
∵错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝－错误!＋错误!（错误!＋错误!)＝－i ＋错误!（i ＋k ）＝－错误!i ＋错误!k ，
∴错误!＝错误!．
22．（1）证明：∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，
∴AB⊥AA1．
在△ABC中，AB＝1，AC＝错误!，∠ABC＝60°,
由正弦定理得∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
如图，建立空间直角坐标系,
则A(0，0，0），B(1, 0，0),C（0，错误!，0）,A1(0，0，错误!），
∴AB→＝（1，0，0），
AC＝(0，错误!，－错误!），
1
∴错误!·
AC＝1×0＋0×错误!＋0×(－错误!)＝0,
1
∴AB⊥A1C．
（2）解：可取m＝AB→＝(1，0，0)为平面AA1C的法向量，设平面A1BC的法向量为n＝(l，m，n）．
则错误!·n＝0,
AC·n＝0，又错误!＝（－1，错误!，0），
1
∴错误!∴l＝错误!m,n＝m．
不妨取m＝1，则n＝(错误!，1,1)．
cos〈m,n〉＝错误!＝
＝错误!．
设二面角A—A1C—B的大小为θ，
∴cos θ＝cos<m，n〉＝15
5
，sin θ＝错误!．
从而tan θ＝错误!，即二面角A—A1C—B的正切值为错误!．。