2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十二函数与方程含解析

课时跟踪检测(十二)函数与方程
一、题点全面练
1.
设f (x )是区间［—1,1］上的增函数，且f —1
• f 1
v 0,则方程f (x ) = 0在区间
［—1,1］内(
)
A.可能有3个实数根
B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根
D.没有实数根
解析：选C •/f (x )在区间［—1,1］上是增函数，且f — 1
• f 1
v 0, .••f (x )在区间」一, 2上有唯一的零点.
•••方程f (x ) = 0在区间［—1,1］内有唯一的实数根.
2. (2018 •濮阳一模)函数f (x ) = In(2 x ) — 1的零点位于区间( )
A. (2,3)
B. (3,4)
C. (0,1)
D. (1,2)
解析：选D •/f (x ) = ln(2 x ) — 1是增函数，且是连续函数，
f (1) = In 2 — 1v 0, f (2) = In 4 — 1> 0,
•根据函数零点的存在性定理可得，函数
f (x )的零点位于区间(1,2) 上.
3. (2019 •南宁模拟)设函数f (x ) = In x — 2x + 6，则f (x )零点的个数为(
)
A. 3
B. 2
D. 0
解析：选 B 令 f (x ) = 0，则 In x = 2x — 6,令 g (x ) = In x (x >0) , h (x ) = 2x — 6(x >0), 如图所示，两个函数图象的交点个数就等 5 %— Iog 3x ,若 x o 是函数 y = f (x )的零点，且 0v X 1< x o ,贝U f (x"
的值(
解析：选 A 因为函数f (x ) = '1) — log 3X 在(0 ,+^)上是减函数，所以当
0v X 1 v x °
C. 1
已知函数f (x )=
A. 恒为正值
B.等于0
C. 恒为负值
D.不大于0
在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象, 于函数
,故选B.
时，有f (X i ) > f (X o ).又X o 是函数f (x )的零点，因此f (X o ) = 0,所以f (X i ) > 0, 即 f (X i )的 值恒为正值，故选 A.
5 . (2018 •黄山一模)已知函数f (X ) = e lX| + | X |.若关于X 的方程f (X ) = k 有两个不同的 实根，则实数k 的取值范围是(
)
A. (0,1)
B. (1 ,+^)
C. ( —1,0)
D. ( —s, — 1)
解析：选B 方程f (X ) = k 化为方程e |X| = k — | X |.令y = e |X|, y = k —| X | ,
y = k — | x |表示过点(0 , k )，斜率为1或—1的平行折线系，折 线与曲线y = e |x|
恰好有一个公共点时，
有k = 1,如图.若关于x 的方程
f (x ) = k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是(1 ,+s ).
6.若方程In x + x — 4 = 0在区间(a , b )( a , b € Z ,且b — a = 1)上有一根，则 a 的值为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
解析：选B 方程ln x + x — 4 = 0的根为
函数f (x ) = ln x + x — 4的零点.f (x )的定义 域为(0,+s ) , f (x )在定义域上单调递增.因为 f (2) = ln 2 — 2 v 0, f (3) = ln 3 — 1> 0, 所以f (x )在区间(2,3)有一个零点，则方程ln x + x — 4= 0在区间(2,3)有一根，所以a = 2, b = 3.故选B.
7 . (2019 •哈尔滨检测)若函数f (x ) = x 2+ ax + b 的两个零点是一1和2,则不等式af (— 2x ) > 0的解集是 ________________ .
解析：函数f (x ) = x 2+ ax + b 的两个零点是一1和2,即一1,2是方程x 2 + ax + b = 0的 两根，可得—1 + 2=— a , — 1X 2= b ,解得 a =— 1, b = — 2. f (x ) = x 2— x — 2, af ( — 2x ) >0,
D. 4
2
1 即 4x + 2x — 2v 0，解得—1v x v
答案：i — 1
, 2
2X — 2— 1, x >0,
8 .已知函数 f (x )=( X + 2, x v 0, 的所有零点之和是 _________ .
解析：由 f (x ) = 0,得 x = 2 或 x = — 2, 1
x =— 2，所以函数f (g (X ))的所有零点之和是
—-2
x — 2x , x >0,
g (x ) = S 1
则函数 f (g (x ))
二，X v 0,
由 g (x ) = 2,得 x = 1 + ・.3，由 g (x ) = — 2,得
-1+1+w =2+V 3.
答案：
2
9.已知y= f(x)是定义域为R的奇函数，当x € [0，+)时，f (x) = x —2x.
(1) 写出函数y=f(x)的解析式；
(2) 若方程f (x) = a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围.
解：(1)设x v 0,则—x>0,
所以f( —x) = x2+ 2x.又因为f(x)是奇函数,
所以f (x) = —f( —x) = —x2—2x.
x2—2x, x>0, 所以f(x)= —x2—2x,
x v0.
⑵方程f(x)= a恰有3个不同的解,
作出y= f (x)与y= a的图象如图所示，故若方程f (x) = a恰有3个不同的解，只需一1 v a v 1,
故实数a的取值范围为(一1,1).
10. (2019 •济南月考)已知二次函数f (x)的最小值为一4,且关于x的不等式f(x) <0
即y = f (x)与y= a的图象有
的解集为{x| —1< x< 3, x € R}.
(1)求函数f (x)的解析式;
f x
⑵求函数g(x) = --- —4ln x的零点个数.
x
解：⑴ 因为f (x)是二次函数，且关于x的不等式f (x) <0的解集为｛x| —1< x<3, x € R},
2
所以f(x) = a(x+ 1)( x —3) = ax —2ax—3a,且a>0.
所以f(X)min= f (1) = —4a=—4, a= 1.
故函数f (x)的解析式为f(x) = x2—2x— 3.
x —2x —3 3
⑵因为g(x) = x —4ln x= x —x —4ln x —2( x >0),
所以g，(x) = 1 + 2—4= x-1 2x —
x x x
令g'(x) = 0,得X1 = 1, X2= 3.
当x变化时，g'(x) , g(x)的取值变化情况如下
x(0,1)1(1,3)3(3 ,+s)
当 0v X W3 时，g (x ) W g (1) =- 4v 0.
又因为g (x )在(3 ,+s )上单调递增，因而 g (x )在(3 ,+s )上只有1个零点.故g (x ) 在(0 ,+^)上只有1个零点.
二、专项培优练
(一)易错专练一一不丢怨枉分
3. (2019 •沧州质检)已知定义在 R 上的函数f (x )满足：①f (x ) + f (2 — x ) = 0 :②f (x
1. (2018 •德州期末)设函数f (x )是定义在 R 上的奇函数，当x > 0时，f (x ) = e x + x - 3,
则f (x )的零点个数为(
A. 1
B . C. 3
D .
解析：选C 因为函数f (x )是定义域为 R 的奇函数，所以f (0) = 0，即0是函数f (x )
x
1
的一个零点，当 x >0时，f (x ) = e + x -3为增函数•因为 f (1) = e + 1 — 3= e — 2>0, f
1 1
=e 4 + 4 — 3= e 4 —乎< 0，所以当x >0时，f (x )有一个零点.根据对称性知，当 x v 0时, 函数f (x )也有一个零点•综上所述,
2. (2019 •六安模拟)已知函数 f (x )的零点的个数为
3.
f (x ) = 2m )<— x — 1在区间(一2,2)上恰有一个零点，则
实数m 的取值范围是(
A.
1 8,
B. 3 8
’ D. 1 8
’
解析：选D 当m= 0时，函数 时，函数f (x ) = 2mx — x — 1在区间 f (x )=
—x — 1有一个零点x =— 1,满足条件.当 m^0
(—2,2) 上恰有一个零点，需满足① f ( — 2) • f (2) v 0或
f —2 = 0, ② 1
—2 v v 0
4m
f 2
或③ 1
0V —v 2. 4m
=0,
解①得—8v m< 0或0v m v 書；②无解；解③
得m= 3.综上可知—
8 3
8,故选D.
2
[...1 - x , x € [- 1, 0],
—2) = f( —x);③当x€ [ —1,1]时，f(x)=
x €0, 1],
则函数y= f (x) cos
1 —
1 1x1在区间［—3,3］上的零点个数为( )
2
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
解析：选 A 由①f (x ) + f (2 — x ) = 0可得f (x )的图象关于点(1,0)对称；由②f (x — 2)
=f ( — x )可得f (x )的图象关于直线x =— 1对称.如图，作出f (x )在［—1,1］上的图象，再 由对称性，作出f (x )在［—3,3］上的图象，作出函数 y = 1 |x|
在［—3,3］上的图象，由图象 观察可得它们共有
5个交点，即函数y = f (x ) — 1 |x|
在区间［—3,3］上的零点个数为5.故选
A.
解析：可转化为两个函数 y = 2 |x 7与y = — 2cos n x 在［—4,6］上的交点的横坐标的 和，因为两个函数均关于 x = 1对称，所以两个函数在x = 1两侧的交点对称，则每对对称点 的横坐标的和为 2,分别画出两个函数的图象易知两个函数在
x = 1两侧分别有5个交点，
所以 5X 2= 10.
4.函数
f (x )=
'1)x T + 2cos 2
n x ( — 4< x < 6)的所有零点之和为
答案：10
(二)难点专练一一适情自主选
广 2
—x — 2x + 3, x < 1,
5.已知函数f (x )= ］n x , x > 1, 相等的实数根，则实数 k 的取值范围是(
1
若关于x 的方程f (x ) = kx —恰有4个不
象和直线y = kx — §有4个交点.作出函数 y = f (x )的图象，如图，故点(1,0)在直线y = kx 1
—§的下方.
1
i
••• k x 1 — 2>0，解得 k >2
1 J e 1
此时，k =帚=盲，f (x )的图象和直线y = kx — §有3个交点，不满足条件，故所求 k 的取值
范围是§，e ，故选D .
6.(2018 •兰州一模)已知定义在R 上的函数y = f (x )对任意的x 都满足f (x + 2) = f (x ),
n ,
当一 1 < x v 1时，f (x ) = sin —x ,若函数g (x ) = f (x ) — log a | x |至少有6个零点，则 a 的取
值范围是( )
解析：选A 当a > 1时，作出函数y = f (x )与函数y = log a | x |的图象，如图所示.
r 2
产
1
-2
结合图象可知J Og
“ 5|
* 1
， 故a > 5；
log a |5| V 1,
当直线y = kx — §和y = In x 相切时，设切点横坐标为
In
m 贝 U k =
一
m ，•m=
e.
A.
1 5 u (5
，
C.
1 1 7，5 u (5,7)
1
1
当0 v a v 1时，作出函数f (x)与函数y= log a| x|的图象，如图所示.
log a| —5| >—1, 1 结合图象可知
lOg a|5| 一 1 ,故 * 水5.故选A.。