高考数学第一轮复习 数列的概念学案

广东饶平二中2011高考第一轮学案：数列的概念
一、知识归纳：
1．数列的定义：数列是一类离散函数，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。

在直角坐标系中，其图象是一些离散的点，数列的能项公式就是相应函数的解析式。

2．数列的分类：
（1）按数列的项数分是有限数列还是无限数列； （2）按数列的任意相邻两项之间的大小关系分类：
有递增数列（n n a a ≥+1）；递减数列（n n a a ≤+1）；摆动数列；常数数列（各项都相等） 3．数列的通项公式：
如果数列}{n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

数列的通项公式)(n f a n =揭示了数列}{n a 的第n 项n a 与n 的函数关系。

4．数列的递推公式：
如果已知数列}{n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式叫这个数列的递推公式。

递推公式是数列特有的表示法，它包含两个部分：一是递推关系，二是初始条件。

两者缺一不可。

5．数列}{n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系：
设数列}{n a 的前n 项和为n S ，即n n a a a S +++= 21，那么n S 与n a 有如下关系：
⎩⎨
⎧≥-==-)
2()1(11
n S S n S a n n n 二、学习要点：
1． 通过对数列前几项的观察、分析，可以寻找第n 项n a 与n 的函数关系，归纳出数列的一个通项公式，这种方法叫不完全归纳法，用这种法求数列的通项时通常要联系到一些基本数列，如})1{(n
-、}2{n
、{21}n -等。

2．数列是一种特殊的函数，其图象是由离散的点组成，用函数观点证明数列的单调性只要比较1+n a 与n a 的大小关系则可。

3．理解数列}{n a 的前n 项和n S 的定义，正确掌握n S 与n a 的关系。

三、例题分析： 例1．（1）分别写出下列数列的一个通项公式：
①
,167,85,43,21--；________________ ② ,99
10
,638,356,154,32；______________ ③7，77，777，7777，…；____________ ④n
n a a a 1
2,211-
==+；_______________ （2）点((),(P f n f n +在函数112
y x =+的图象上，若(1)
2f =，则
(4)f =_2_,()f n =_2__.
例2．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，求该数列分别满足下列条件的一个通项公式： （1）n n S n +=23； （2）1)1(log 2+=+n S n
例3．设函数2()log log 2
(01)x f x x x =-<<，数列}{n a 满足)(2)2(+∈=N n n f n a
（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明：数列}{n a 是递增数列。

四、练习题：
1．已知数列}{n a 首项为11=a ，且121+=-n n a a ，则5a 为 A ．7 B ．15 C ．30 D ．31
2．已知数列}{n a 满足)(,112100+-∈++++==N n a a a a a a n n ，则当+
∈N n 时，=n a
A ．n
2 B ．
)1(2
1
+n n C ．12-n D ．12-n 3．数列的前几项是： ,3
2
,53,21,31,0，则此数列的一个通项公式是=n a
A ．n n 21-
B ．11+-=n n a n
C ．1+n n
D ．1
2+n n
4．数列}{n a 中，11=a ，对所有的2≥n ，都有2321n a a a a n = ，则=+53a a
A ．
925 B ．1625 C ．16
61 D ．1531 5．已知数列{a n }的通项公式是1
n an
a an =+，其中a 为正常数，那么a n 与1+n a 的大小关系是
A.1+<n n a a
B. 1+>n n a a
C.1+=n n a a
D.与a 的取值有关 6．若数列}{n a 的前n 项和322+-=n n S n ，则此数列的前3项依次是： A ．3,1,1- B ．3,1,2 C ．3,1,6 D ．6,3,2 7．若数列若数列{}n a 的前n 项和为)1(log 3+=n S n ，则=5a A ．6log 5 B ．5log 3 C ．6log 3 D ．5
6log 3
8．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =_____；2014a =______.、 9．在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 。

10．若数列的前4项是： ,4
7
,2,25,4--
，则数列的一个通项公式是____. 11．数列{}n a 中，若1,121==a a ，且)2(21>+=--n a a a n n n ，则该数列的前5项依次是： _______________； 设n
n n a a b 1
+=
，则数列}{n b 的前5项依次是：___________. 12．已知数列}{n a 的通项2
514n a n n =--
（1）求234,,a a a 的值； （2）22是否为该数列的项？，说明理由。

（3）当n 为何值时，n a 有最小值，最小值是多少？ （4）当n 为何值时，数列}{n a 的前n 项和n S 最小？
13．已知数列}{n a 的前n 项和2)2
1(21+-=
n n S ，（1）求678a a a ++的值； （2）求数列}{n a 的奇数项的和：12531-++++n a a a a
14．已知数列}{n a 的通项是)()10
9()2(+∈⋅+=N n n a n
n ，试问n 取何值时，n a 取最大值？并求此最大值。

（一）数列的概念参考答案
三、例题分析：
例1．（1） 解：①n n n n a 212)
1(1
--=+；②)
12)(12(2+-=n n n
a n
；③7(101)9n n a =- ④依题设，23212,221=-==a a ，45
432,3432243=-==-=a a ，…… 故可归纳出通项n
n a n 1
+=
（2）(4)f =_2_,()f n =_2__.
例2． 解：（1）当1=n 时，411==S a
当2≥n 时，)]1()1(3[3221-+--+=-=-n n n n S S a n n n 26-=n 因为41=a 适合上式，故有26-=n a n
（2）由1)1(log 2+=+n S n ，得121-=+n n S ，当1=n 时，311==S a
当2≥n 时，n n n n n n S S a 22211=-=-=+-，则⎩⎨
⎧≥==)
2(2)1(3n n a n
n
例3． 解：（1）由)(2)2(+∈=N n n f n a
，得n a a n
n 21=-
，即0122
=-⋅-n n a n a 故12+±=n n a n ，由10<<x ，知120<<n a ，即2<n a ，故12
+-=n n a n
（2）由1
1122
++-=
+-=n n n n a n ，可知n n a a >+1)(+∈N n ，故此数列为递增数列。

或由
11n n a a +==< ，且0n a <，得n n a a >+1 四、练习题：
1~8．DCB CA BD 8． 1，0
9． n a = 2n －1 ，10． _ n
n a n n 3
)
1(1
+-=- ___. 11． _5,3,2,1,1___； _5
8
,35,23,2,1_____.
分析： 5．函数1
()111
ax f x ax ax =
=-++，其中0a >在),0(+∞上是增函数。

故选A 7．由455S S a -=可得D
8．2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====. 10．原数列改写为： ,4
7
,36,25,14-- 解答题：
12．解：（1）23420,20,18a a a =-=-=-
（2）由2
51422n a n n =--=，得 9n =或4n =-（舍去），故22是数列的第9项。

（3）2
2
581
514()2
4
n a n n n =--=--
，故当2n =或3n =时，n a 有最小值20- （4）由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，即22
5140(1)5(1)140
n n n n ⎧--≤⎪
⎨+-+-≥⎪⎩解得6n =或7n = 即当6n =或7n =时，n S 最小。

13．解：（1）8
5
678851
111[()][()]22
22
a a a S S ++=-=---5
8
11()()2
2
=-7256
=
（2）当1=n 时，8311=
=S a ，当2≥n 时，2211)2
1
()
21()21(+++-=-=-=n n n n n n S S a 则12531-++++n a a a a 1275)21()21()21(83+++++=n 2)1(25)2
1(1])21(1[)21(83--+
=-n n n 2)
1(2)2
1(6112524)21
(183⋅-=-+=-n )41(61125⋅-=
14．解法一：1199(3)(
)(2)()1010n n n n a a n n ++-=+⋅-+⋅ 91
()(7)1010
n n =⋅- ∴当6n ≤时，10n n a a +->，1n n a a +>，即1267a a a a <<<<
当7n =时，78a a =
当8n ≥时，10n n a a +-<，1n n a a +<，即8910a a a >>>
则7=n 或8=n 时，n a 取最大值78
10
9
14．解法二：由不等式组⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a ，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
⋅+≥⋅+⋅+≥⋅+-+1
1)109()1()109()2()10
9()3()109()2(n n n n n n n n
整理得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+≥⋅+⋅+≥+1
109)2(10
9)3(2n n n n ，解得⎩⎨⎧≤≥87n n ，则7=n 或8=n 时，n a 取最大值78109。