高考论坛新课标数学理一轮教师备课练习3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案详析)

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[考情展望] 1.利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简与求值.2.利用二倍角公式进行三角函数式的化简与求值.3.与三角函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象和性质相结合，考查学生的综合能力．
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．六个公式：
①sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
②cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；
③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β
.
2．公式T(α±β)的变形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；
②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．三个公式：
①sin 2α＝2sin_αcos_α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝
2tan α1－tan2α
.
2．公式S2α、C2α的变形：
①sin αcos α＝1
2sin 2α；
②sin2α＝1
2(1－cos 2α)；
③cos2α＝1
2(1＋cos 2α)．
1．sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是( ) A.1
2
B.
3
2
C ．－1
2
D ．－3
2
【解析】 sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°
＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)＝－cos 60°＝－12. 【答案】 C
2．下列各式中，值为3
2的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1
D ．sin 215°＋cos 215°
【解析】 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 2
15°－1＝－cos 30°＝－32，
sin 215°＋cos 215°＝1.故选B. 【答案】 B
3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝( ) A.1
8 B ．－18 C.47
D ．－47
【解析】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝
tan (α＋β)＋tan (α－β)
1－tan (α＋β)·tan (α－β)＝3＋5
1－3×5＝－4
7.
【答案】 D
4．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π4＝( )
A ．－7210 B.7210 C ．－2
10
D.210
【解析】 由题意知sin α＝－3
5，
∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.
【答案】 A
5．(2013·江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( ) A ．－23 B ．－13 C.13
D.23
【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
332＝1－23＝13.
【答案】 C
6．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，则tan 2α的值是________．
【解析】 由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π解出α，进
而求得tan 2α的值．
∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12.
又∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，∴α＝23π，
∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 【答案】
3
考向一 [060] 三角函数的给值求值
(1)(2014·郑州模拟)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋β2＝( )
A.33 B ．－33 C.539 D ．－6
9 (2)(2013·广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R. ①求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6的值；
②若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2θ＋π3.
【思路点拨】
(2)①把x ＝－π
6代入函数解析式，借助特殊角的三角函数值和诱导公式求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6. ②由cos θ求出sin θ，利用两角和的余弦公式和二倍角公式求f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2θ＋π3.
【尝试解答】 (1)∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3
4π， 所以由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝22
3，
又－π2＜β＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－β2＝33，
则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－β2＝63，
故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2
＝59
3. 【答案】 C
(2)①因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π12，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π6－π12
＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π4＝2cos π4＝2×22＝1.
②因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π2，2π，cos θ＝35，
所以sin θ＝－
1－cos 2
θ＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫352
＝－45， cos 2θ＝2cos 2
θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352
－1＝－725， sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－24
25.
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2θ＋π3－π12
＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2θ＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2θ－22sin 2θ
＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2425＝17
25.
规律方法1 给值求值问题，解决的关键是把所求角用已知角表示.,(1)当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式.
(2)当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用诱导公式把所求角变成已知角.(3)注意根据角的象限确定三角函数值的符号.
对点训练 (1)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛
⎭⎪
⎫2α＋π12的值为________．
(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋7π6＝________.
【解析】 (1)∵α为锐角且cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6＝45，
∴sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π6＝35.
∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6－1
＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1 ＝12225－7250＝172
50.
(2)cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α
＝32cos α＋32sin α＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6＝45 3.
∴sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π6＝45，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋α＋π6＝－sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6＝－45.
【答案】 (1)17250 (2)－45
考向二 [061] 三角函数的给值求角
已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos(β－α)＝2
10. (1)求sin α的值；(2)求β的值．
【思路点拨】 (1)tan α2――→二倍角公式tan α――→同角三角函数
的关系sin α. (2)cos(β－α)
――→同角三角函数的关系
sin(β－α)――→拆角变换sin β――→结合β的范围
β 【尝试解答】 (1)由tan α2＝1
2，
得tan α＝
2tan α2
1－tan 2α2＝43
， ∴cos α＝3
4sin α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，②
由①、②联立，得25sin 2α＝16，∵0＜α＜π2，∴sin α＝4
5. (2)由(1)知，cos α＝35，sin α＝4
5， 又0＜α＜π
2＜β＜π，∴0＜β－α＜π. 由cos(β－α)＝210，得0＜β－α＜π
2. ∴sin(β－α)＝9810＝72
10，
∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)·sin α＝7210×35＋210×4
5
＝25250＝22.
由π2＜β＜π得β＝34π.
规律方法2 1.第(2)问中，由sin β＝22 易错误得出β＝π
4
，这些错误的原因都是忽视了角的范围.
2.“给值求角”的求解思路：(1)求角的某一三角函数值，(2)讨论角的范围，确定角的大小.其中求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－π2，π
2) ，选正弦较好.
对点训练 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π
2，试求角β的值． 【解】 由cos α＝17，0＜α＜π
2，得sin α＝1－cos 2α＝
1－(17)2＝437.
由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π
2. 又∵cos(α－β)＝13
14， ∴sin(α－β)＝
1－cos 2(α－β)＝33
14，
由β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. 又0＜β＜π2，所以β＝π
3.
考向三 [062] 三角函数式的化简
化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)； (2)()1＋sin θ＋cos θ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫sin θ
2－cos θ
22＋2cos θ
(0＜θ＜π)．
【思路点拨】 (1)切化弦，逆用两角和的正弦公式； (2)统一为θ
2的三角函数，变形化简． 【尝试解答】 (1)sin 50°()
1＋3tan 10° ＝sin 50°
⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 10°＋3sin 10°cos 10°
＝2sin 50°⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°
cos 10°
＝2sin 50°sin (30°＋10°)cos 10°
＝
2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°
＝cos 10°
cos 10°＝1.
(2)由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ
2＞0. 因此
2＋2cos θ＝
4cos 2θ2＝2cos θ2.
又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2
＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ
2cos θ.
故原式＝－2cos θ
2cos θ
2cos θ2
＝－cos θ.
规律方法3 1.本例(2)中有开方运算，联想二倍角公式的特征进行升幂，化为完全平方式.
2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则,(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，帮助我们找到变形的方向. 对点训练 化简：2cos 4
x －2cos 2
x ＋1
2
2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x ＋π4.
【解】 原式＝
2cos 2x (cos 2x －1)＋12
2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x
＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2－2x
＝cos 22x 2cos 2x ＝1
2cos 2x .
规范解答之五 三角函数中给值求值问题的解题策略 ——— [1个示范例] ———[1个规范练] ———
(12分)(2012·广东高考)已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π3＝ 2.
(1)求A 的值；
(2)设α，β∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．
【规范解答】 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2得A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12＋π6＝2，2分
即A ·cos π
4＝2，∴A ＝2.4分 (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6.
由⎩⎪⎨⎪⎧
f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4β－23π＝85
，
得⎩⎪⎨⎪⎧
2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－3017，
2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π6＋π6＝85
，6分
解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝1517，
cos β＝45.8分
∵α，β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝817， sin β＝1－cos 2β＝35.10分
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝
817×45－1517×35＝－1385.12分 【名师寄语】 (1)在利用诱导公式时，先判断角的范围，确定三角函数值的符号，再写出结果.
(2)对于两角和与差的余弦公式，应特别注意符号的差别，防止出错.
(2014·三明模拟)已知0＜α＜π4，β为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋14β，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，求2cos 2α＋sin 2(α＋β)cos α－sin α
的值． 【解】 因为β为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π8的最小正周期，所以β＝2π2＝π. 又a·b ＝cos αtan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋14β－2＝m ， 故cos αtan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＝m ＋2. 由于0＜α＜π4，
所以2cos 2α＋sin 2(α＋β)
cos α－sin α＝2cos 2α＋sin (2α＋2π)cos α－sin α
＝2cos 2α＋sin 2αcos α－sin α＝2cos α(cos α＋sin α)cos α－sin α
＝2cos α·1＋tan α1－tan α
＝2cos αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(2＋m )．。