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高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解习题十
21. 根据二重积分性质，比较与的大小，其中:
ln()dxy，,[ln()]dxy，,,,,,DD
(1)D表示以(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形;
(2)D表示矩形区域. {(,)|35,02}xyxy,,,,
解:(1)区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有
图10-1
12,，,xy
从而 0ln()1,，,xy
2故有 ln()[ln()]xyxy，,，
2所以 ln()d[ln()]dxyxy，,，,,,,,,DD
(2)区域D如图10-2所示.显然，当时，有. (,)xyD,xy，,3
图10-2 从而 ln(x+y)>1
2故有 ln()[ln()]xyxy，,，
2所以 ln()d[ln()]dxyxy，,，,,,,,,DD
2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值: (1); IxyDxyxy,，,,,,,4d,{(,)|02,02},,,D
22(2); IxyDxyxy,,,,,,sinsind,{(,)|0,π,0π},,D 2222(3). IxyDxyxy,，，,，,(49)d,{(,)|4},,,D 解:(1)因为当(,)xyD,时，有, 02,,y 02,,x
206
因而 . 04,,xy
从而 2422,，,xy故 2d4d22d,,,,，,xy,,,,,,DDD
即 2d4d22d,,,,，,xy,,,,,,DDD
而 (为区域D的面积)，由=4 σσd,,,,,D
得 . 84d82,，,xy,,,D
22(2) 因为，从而 0sin1,0sin1,,,,xy
22 0sinsin1,,xy
22故 0dsinsind1d,,,,,xy,,,,,,DDD
22即 0sinsindd,,,xy,,,,,,,DD
2而 ,,π
222所以 0sinsind,,xy,π,,D
22(3)因为当时，所以 (,)xyD,04,，,xy
2222 9494()925,，，,，，,xyxy
22故 9d(49)d25d,,,,，，,xy,,,,,,DDD
22即 9(49)d25,,,,，，,xy,,D
2而 ,,,,π24π
22所以 36π,，，,(49)d100xy,π,,D
3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值:
22222(1) ()d,{(,)|};axyDxyxya,，,，,,,,D
222222(2) axyDxyxya,,,，,d,{(,)|}.,,,D
22解:(1)在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以(0，0，a)为顶点的圆锥的体积，所以()d,axy,，,,,D
207
1223 axya,，,,()dπ,,D3
222(2)在几何上表示以原点(0，0，0)为圆心，以a为半径的上半球的体积，故axy,,d,,,D
22223 axya,,,,dπ.,,D3
12224. 设f(x，y)为连续函数，求.
fxyDxyxxyyr,,,，,,lim(,)d,{(,)|()()}00,,2Dr,0rπ
解:因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得，,(,),,,D
2 fxyfrf(,)d(,),,,,,,,,,,π(,),,D
又由于D是以(x)为圆心，r为半径的圆盘，所以当时，，
y(,)(,),,,,xyr,00000
112fxyrff,,,,,,,,lim(,)dlimπ(,)lim(,)22,,Drrr,,,000rrππ于是: ,,ffxylim(,)(,),,00,,,xy(,)(,)00
5. 画出积分区域，把化为累次积分: fxy(,)d,,,D
(1); Dxyxyyxy,，,,,,{(,)|1,1,0}
2(2) Dxyyxxy,,,,{(,)|2,}
2(3) Dxyyyxx,,,,{(,)|,2,2}x
解:(1)区域D如图10-3所示，D亦可表示为. yxyy,,,,,,11,01
11,y所以 fxyyfxyx(,)dd(,)d,,,,,,Dy01,
22(2) 区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y的交点为(1，-1)，(4，2)，区域D可表示为 . yxyy,,，,,,2,12
图10-3 图10-4
22y，所以 fxyyfxyx(,)dd(,)d,,2,,,,Dy,1
22(3)区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线与x=2的交点为(2，1)，区域Dy,y,xx
208
2可表示为 ,,,,yxx2,12.x
图10-5
22x所以. fxyxfxyy(,)dd(,)d,,2,,,,D1x
6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序:
22yelnx(1); (2) ; d(,)dyfxyxd(,)dxfxyy2,,,,0y10
πsinx132,y(3) ; (4) ; d(,)dxfxyyd(,)dyfxyxx,,,,,0sin0y2
1233yy,(5) . d(,)dd(,)dyfxyyyfxyx，,,,,0010
2解:(1)相应二重保健的积分区域为D:如图10-6所示. 02,2.,,,,yyxy
图10-6
xD亦可表示为: 04,.,,,,xyx2
224yx所以d(,)dd(,)d.yfxyxxfxyy, x2,,,,00y2
(2) 相应二重积分的积分区域D:1e,0ln.,,,,xyx如图10-7所示.
图10-7
209
yD亦可表示为: 01,ee,,,,,yx
eln1ex所以 d(,)dd(,)dxfxyyyfxyx,y,,,,100e
(3) 相应二重积分的积分区域D为:如图10-8所示. 01,32,,,,,,yyxy
图10-8 D亦可看成D与D的和，其中 12
2D: 01,0,,,,,xyx1
1D: 13,0(3).,,,,,xyx22
12,,yxx13213(3)2所以. d(,)dd(,)dd(,)dyfxyxxfxyyxfxyy,，,,,,,,y00010 x(4) 相应二重积分的积分区域D为:如图10-9所示. 0,,,,,xyxπ,sinsin.2
图10-9 D亦可看成由D与D两部分之和，其中 12
D: ,,,,,,10,2arcsinyyxπ;1
D: 01,arcsin,,,,,yyxyπarcsin.2
πsin0xyπ1π,arcsin所以d(,)dd(,)dd(,)dxfxyyyfxyxyfxyx,，x,,,,,,0sin12arcsin0arcsin,,,yy2
(5) 相应二重积分的积分区域D由D与D两部分组成，其中 12
D:01,02,,,,,yxy D:13,03.,,,,,yxy 12
如图10-10所示.
210
图10-10
xD亦可表示为: 02,3;,,,,,xyx2
123323yyx,,所以 d,dd(,)dd(,)dyfxyxyfxyxxfxyy，,，，x,,,,,,0010027. 求下列立体体积:
2222(1)旋转抛物面z=x+y,平面z=0与柱面x+y=ax所围;
222(2)旋转抛物面z=x+y,柱面y=x及平面y=1和z=0所围.
解:(1)由二重积分的几何意义知，所围立体的体积
2222V=其中D: {(,)|}xyxyax，,()ddxyxy，,,D
22由被积函数及积分区域的对称性知，V=2， ()ddxyxy，,,D1
其中D为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得 1
acos,πππacos,11334444222. Vrrraa,,,,,,,,2dd2dcosdπ,,,,000042320
(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积
22 Vxyxy,，()dd,,,D
2其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.
图10-11
2D可表示为: ,,,,,11,1.xxy
112222所以 Vxyxyxxyy,，,，()ddd()d2,,,,Dx,1
11111188，，23246 xyyxxxxx,，,，,,,d()d.,,,,,,112333105，，x
8. 计算下列二重积分:
211
2x1(1) dd,:12,;xyDxyx,,,,,,2Dyx
x
y2(2) D由抛物线y=x,直线x=0与y=1所围; edd,xy,,D
22(3) D是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形; xyxy,dd,,,D . (4) cos()dd,{(,)|0xyxyDxyxxy，,,,,,π,π},,D
x222222xxxx3解:(1) ddddddxyxyxxxx,,,,,，，1,,,,,,22111Dyyy1xx
2119，，42 ,,,xx.,,424，，1
(2) 积分区域D如图10-12所示.
图10-12
2D可表示为: 01,0.,,,,yxy
xxx2211yyxyyy所示 edddedded()xyyxyy,,,,,,,,0000Dy
2yx1111yyy ,,,,,yyyyyyyyed(e1)dedd,,,,00000
1111111yyy2 ,,,,,,yyyyyydedeed.,,,0000220(3) 积分区域D如图10-13所示.
212
图10-13 D可表示为: 01,.,,,,,xxyx
x211x，，xyy222222所以ddddarcsindxyxyxxyyxyx,,,,，,,,,,,,,,00Dx22x，，,x
11ππ1π23 ,,,,xxxd.,022360
ππππ(4)cos()dddcos()d[sin()]dxyxyxxyyxyx，,，,，x,,,,,Dx00
ππ,，,,,,[sin(πxxxxxx)sin2]d(sinsin2)d ,,00
π11，，,,.coscos2xx，,,2，，209. 计算下列二次积分:
1ysinx(1)dd;yx,,0yx yy1yy1xx2(2)dedded.yxyx，111,,,,y224
sinx解:(1)因为求不出来，故应改变积分次序。

dx,x
积分区域D:0?y?1, y?x?，如图10-14所示。

y
图10-14
2D也可表示为:0?x?1,x?y?x.
所以
213
111yxsinsinsinxxx2dddd()dyxxyxxx,,,2,,,,,000yxxxx
111 ,,,,(sinsin)dsindsindxxxxxxxxx,,,000
111,,,，,,,sindcosd1sin1.xxxxxxcos0,,00
yx(2)因为求不出来，故应改变积分次序。

积分区域D分为两部分，其中 edx, 1111 DyxyDyyxy:,,:1,.,,,,,,,, 124222
如图10-15所示:
图10-15
积分区域D亦可表示为:
12 ,,,,xxyx1,. 2
于是:
xyyy1yyyx111xxx2xdeddeddeddyxyxxyx，,,xe11111,,,,,,2,yx222224x
113eee1x2xx,,,,,,(ee)dxxx,,x1xee,1,182222210. 在极坐标系下计算二重积分: 222222 (1)sindd,;xyxyD，,,,(,)|xyxyπ,，,4π,,D
2222,，()xy(2)D为圆=1所围成的区域; xy，edd,xy,,D
x2222arctandd,(3)D是由=4, =1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭
区域; xyxy，xy，,,Dy
22(4)D是由曲线=x+y所包围的闭区域。

xy，()dd,xyxy，,,D
解:(1)积分区域D如图10-16所示:
214
图10-16 D亦可采用极坐标表示为:
π?r?2π, 0?θ?2π所以
2π2π22sindddsindxyxyrrr，,,,,,,D0π
2π2,,,,,,2π6π.rrrcossin,π(2)积分区域D可用极坐标表示为: 0?r?1, 0?θ?2π. 所以:
2π1122221,,,，,,xyrr()2xyrrr,,,,,,eddded2ed(),,,,,,,,D000,,2 11,,2,r,,,,π.1,,,,e0e,,(3)积分区域D如图10-17所示.
图10-17 D可用极坐标表示为:
π0?θ?, 1?r?2. 4
所以:
π2x4arctanddarctan(cot)dd,,,xyrr,,,,D01y
π239ππ,,4,,d.,,,,,,0264,,2(4)积分区域D如图10-18所示，215
图10-18 D可用极坐标表示为:
π3π ,,,,,，, ,,,0cossinr44
所以:
3π，cossin,,24()ddd(cossin)dxyxyrr，,，,,,π,,,,D0,4
cossin，3π,,3r4,d(cossin)，,π,,,,304 3π144,，(cossin)dπ,,,,,34 3π4ππ,,44,,sind.，,,π,,,,32,,4411. 将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值:
222aaxxax,2222 (1)d()d;(2)dd;xxyyxxyy，， ,,,,0000
122,xaay,122222 (3)d()d;(4)dd.xxyyyx，，，xy，2,,,,x000
解:(1)积分区域D如图10-19所示.
图10-19 D亦可用极坐标表示为:
π ,,,,,, 0,02cosra2
所以:
2cosa,ππ24,2a22cosaxxa,r22322d()dddd，,,,,xxyyrr,,,,,0000040
π31π344442,,,,,,4cosd4π.aaa,,,04224
216
(2)积分区域D如图10-20所示.
图10-20 D可用极坐标表示为:
π ,,,,,, 0,0secra4
于是:
asec,πππ33asecxa,ar2223444dddddsecd，,,,,,,,xxyyrr,,,,,,000000330 33πaa4，，,，，,sectanln(sectan).,,,,,,2ln(21)，，，，066
(3)积分区域D如图10-21所示.
图10-21 D也可用极坐标表示为:
π. ,,,,,,, 0,0sectanr4
于是:
1ππ,x,,1sectan2,22144d()dddsectandxxyyrrr，,,,,,,,2,,,,,x0000
π4,,,sec21,0(4)积分区域D如图10-22所示.
图10-22 D可用极坐标表示为:
π ,,,,, 0,0ra2
217
于是:
aπ224,aayaππr22342 ，,,,,,yxyxrrad()ddd.,,,,00002840*12. 作适当坐标变换，计算下列二重积分:
22(1),其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所围平面区域; xyxydd,,D 222(2) dd,{1};xyD,，,(,)xyy，，xy，x,,D
12,x22(3)令x=v,x+y=u; d()d,xxyy，,,01,x
2222xy,,xy(4) dd,:1;xyD，,，,,,,2222Dabab,,
2222(5) dd,;xyD,xy，,9(,)xyxy，,4,,,,D
2222(6) dd,.xyD,xy，,4(,)xyxyy，,2,,,,D
解:(1)积分区域D如图10-23所示:
图10-23
y令xy=u,,则 ,vx
u xyuvuv,,,,,,,,(24,13)v
111vvu,,,xx,,2,(,)1xy22uvuv,,uv J,,,,.,,yy,(,)2uvvvu
,,uv22uvuv于是:
4333411281u2222 ,,,,,,xyxyuuvvuuddddddln3.vln,,,,,,D12vv223231,,2u24 ,,v13
(2)积分区域D如图10-24所示。

218
图10-24 令x+y=u,x-y=v,则
uvuv，, xy,,, 22
1, -1?v?1. 且 -1?u?
11
,(,)1xy22 J,,,,11,(,)2uv,22于是:
4224211uuvv，，
21224224()ddddd(2)dxyxyuvuuuvvv，,,，，,,,,,,11D,,88,,,11u11,,,v 111112121，，,,423542 ,,dduuuvuvvuu，，，，,,,,,,11,,843535，，,,,1 1114121，，53,,.uuu，，,,445595，，1,(3)积分区域D: 0?x?1, 1-x?y?2-x xy
令x=v, x+y=u, 则y=u-v
积分区域D变为D: xyuv
0?v?1, 1?u?2.
01,(,)xy且 J,,,,111,,(,)uv
于是
2,x121211，，2222223xxyyvvuvuuvd()dd(22)dd，,,，,vuvuu,，2,,,,,,,,x010103，，1 1137237,,，，232v,,,d.vvvvv,，,，
23,,,,,023323,,，，0
(4)令x=arcosθ, y=brsinθ则积分区域D变为
D: 0?θ?2π, 0?r?1, rθ
aarcossin,,,,(,)xy Jabr,,,bbrsincos,(,)r,,,
219
于是:
1222π111,,xy，，
234 ,,,xyrabrrabrrabdddddd2,,,,,πabr，,,,,,,,,22,,DD00r,2，，4ab,,0
(5) 令x=rcosθ，y=rsinθ. 即作极坐标变换，
则D变为:0?r?3, 0?θ?2π.
于是:
2π32222ddddddxyrrrr,,,,xy，,4rr,,44,,,,,,DD00
2333，，,,2π (4)d(4)drrrrrr,，,,,02，，
23,,4111，，，，2442,,2ππ.，22rrrr,,,,,,,,2，，，，4402,,
(6)积分区域D如图10-25所示:D可分为D,D?D,D四个部分.它们可分为用极坐标表示为。

1234
图10-25 D: 0?θ?π, 0?r?2sinθ, 1
D?D: 0?θ?π, 2sinθ?r?2, 23
D: π?θ?2π, 0?r?2 4
于是:
22222222ddddddddxyxyxyxy,，，
xyyxyyxyyxyy，,，,，,，,2222,,,,,,,,DDDDD,1234
π2sinπ22π2,222,,，,，,d(2sin)dd(2sin)dd(2sin)d,,,,,,rrrrrrrrrrrr, ,,,,,0002sinπ0,
π2sinπ22π2,233232,,，,d(2sin)dd(2sin)drrrrrrrrr，,d(2sin)d,,,,,,, ,,,,,0002sinπ0,2sin22,444ππ2π，，，，，，222rrr333,，，dddrrrsinsinsin,,,,,,,,,,,,,,,,,,00π344343，，，，，，02sin0, ππ2π416416,,,,44,，，
sinddd4sinsin4sin,，,,,,,,,,,,,,,,,00π3333,,,,
ππ2π81616,,,,4,，sinddd,,，4sin,4sin,,,,,,,,,,,,00π333,,,,
π2π811631，，,，，,8πsind,，sin2sin4,,,,,,,,034328，，0
23,,，，,π8π09π.32
220
13. 求由下列曲线所围成的闭区域的面积:
2bb2(1)曲线所围(a>0,b>0); yxyx,,,aa
22(2)曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x所围(x>0,y>0).
2bb2解:(1)曲线所围的图形D如图10-26所示: yxyxab,,,,,(0,0)aa
图10-26 D可以表示为:
aa,2yxy,,,2 bb,
,0,,yb,
所求面积为:
abyb1aa,,2b Sxyyxyab,,,,ddddd.yy,,,a,,,,,200Dy62bb,,b
22(2)曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x(x>0,y>0)所围图形D如图10-27所示:
图10-27 所求面积为
Sxy,dd,,D
y令xy=u,,则 ,vx
u22xyuvauav,,,,,,,,(2,12) v
,(,)1xy J,,,(,)2uvv
221
于是
222a22211aa ,,,,,Sxyuvvuvdddddddln22,,,,,,,Da112222vvv22,,aua2,,v12
14. 证明:
byb1，1nn(1) yyxfxxfxbxx,,,d()()d()()d;,,,aaan，1
1(2),D为|x|+|y|?1; fxyxyfuu()dd()d，,,,,,1D
122222(3),其中D为x+y?1且 faxbycxyufu()dd21d，，,,，，uabc，，,,,,1D
22a+b?0.
解:(1)题中所给累次积分的积分区域D为
a?y?b, a?x?y. 如图10-28所示:
图10-28 D也可表示为a?x?b，x?y?b，
于是:
bbybbb1nn，1nyyxfxxxyxfxyx,,,,d()()dd()()ddfxyx,()(),,,,,aaaxan，1x b1，1n,,fxbxx()()d.,an，1(2)令x+y=u,x-y=v，则
uvuv，,,且-1?u?1,-1?v?1 xy,,,22
,(,)1xy,于是 ,,,(,)2uv
11111
fxyxyfuuvufuvfuu，,,,()dd()ddd()d()d.,,,,,,,,,,,11122Du,,,11v,,,11 aubvbuav,，(3)令,则 xy,,,2222abab，，
222
22faxbycfuabc()()，，,，，
ab,
222222 ,(,)xyababab，，J,,,，,12222ba,，，(,)uvabab
2222abab，，
22当x+y?1时，
22222222aubvbuav,，,,,,()()abuabv，，，22 ，,,，,uv1.,,,,222222ab，abab，，,,,,
于是
22faxbycxyfuv()dddd，，,，，uabc，，,,,,22Duv，,1
211,u22,ddufv，，uabc，，2,,11,,,u 21,u122,fvud，，uabc，，2,,1,,1u 1222,,21d.ufu，，uabc，，,,1
22222215. 求球面x+y+z= y含在圆柱面x+y=ax内部的那部分面积。

解:如图10-29所示:
图10-29
222上半球面的方程为，由 zaxy,,,
,,,,zxzy ,,, 222222,,xyaxyaxy,,,,
得
22,za,,,z,, 1，，,,,,,222,y,x,,,,axy,,由对称性知
223
22,za,,,z,,Axyxy,，，,41dd4dd,,,,,,,,222DD,y,x,,,,axy,,
π,acos112,,4dd4ddarrarr,,,,,,2222D00arar,,
ππacos,acos1(1),,22，，2222,,,aara2dd()2d2,,,,,,,2()ar,,22000，，0ar,
π22,,,,4(1sin)d2(aaaaπ).,,,0
22216. 求锥面z=被柱面z=2x所割下部分的曲面面积。

xy，
2222解:由z=x+y,z=2x两式消去z得
2222x+y=2x，则所求曲面在xOy面上的投影区域D为:x+y?2x,而
,,zxzy,,;, 2222,,xyxyxy，，
2222,zxy,,,z,,112.，，,，，,,,,,222,yxyxy，，,x,,,,
故所求曲面的面积为.
22π2cos,,z,,,z,,21dd2dd2d2dAxyxyrr,，，,,,,,,,,,,,,,DD00,y,x,,,,
2cosππ,π222222d42cosd22(1cos2)d2π.,,,，,,,,,,r,,00,00
22222217. 求底面半径相等的两个直交圆柱面x+y=R及x+z=R所围立体的表面积。

222解:由对称性知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x+y=R内的
部分面积的16倍，如图10-30所示。

图10-30
22这部分曲面的方程为，于是所求面积为. zRx,,
224
222,x,z,,,,,z,,2161dd1610ddAxyxy,，，,，，,,,,,,,,,,22DD,y,x,,Rx,,,,, 22RRx,RR ,,16dd16ddxyxy,,,,2222D00RxRx,,
22Rx,RRR，，2y,,,16d16d16.xRxR,,,,2200Rx,，，0
18. 设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的重心。

(1)D由所围成; ypxxxy,,,2,,00
22xy(2)D是半椭圆形闭区域:; ，,,1,0y22ab
(3)D是介于两个圆r=acosθ,r=bcosθ(0<a<b)之间的闭区域。

解:(1)闭区域D如图10-31所示。

图10-31 闭区域D的面积A为
x032xpxx200232Axyxypxxppx,,,,,,dddd2d22x0,,,,,D000330
x035xpxx21113300222xxxyxxypxxpx,,,,,,,dddd2d2x0,,,,,3D000AAA55px2200 xpxx2x1113330002 yyxyxyypxxpxy,,,,,,ddddd2px00,,,,,03D000AAA88px420 33,,所求重心为. xy,,,0058,,
1(2)因为闭区域D对称于y轴，所以=0,又闭区域D的面积。

. xAab,π2
所以:
b22,axb22aax,aa11112ayyxyxyyx,,,dddddy,,,,,,0Da,aAAA20
a224bb1,,23,,,.axx,,,2abaπ23π3,,,a
225
4b,,所求重心为. 0,,,3π,,
(3)闭区域D如图10-32所示:
图10-32
由于闭区域D关于x轴对称，所以, y,0
又
ππb,cosπ2222222 Axyrrbaba,,,,,,,,,dd2dd()cosd(),,,,,Da0cos0,4故ππ33b,cos122ba,2422,,,,xxxyrr,,,dddcosdcosd,,,,,Da0cos0,AAA3
33228π()baaabb,，，,,,.22π()162()baab,，
22,,aabb，，所求重心为 ,0,,2()ab，,,
2219. 设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y=x及直线y=x所围成，它在点(x,y)处的面密度ρ(x,y)=xy，求该薄片的重心。

解:闭区域D如图10-33所示:
图10-33
薄片的质量为
226
111x11111,,24657Mxyxyxxyyxxx,,,,,,,(,)dddd()d,xx,,,2,,,,,00Dx223557, ,0
111x11111,,35768Mxxyxyxxyyxxx,,,,,,(,)dddd()d,
xx,,,,y2,,,,,Dx00224868,,0
11x11111,,225869,.Myxyxyxxyyxxx,,,,,(,)dddd()dxx,,,x2,,,,,,Dx0054336 9,,
MM3535yx从而 ,,xy,,,, 4854MM
3535,,所求重心为. ,,,4854,,
20. 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的重心. 解:建立直角坐标系如图10-34所示。

图10-34
22由已知ρ(x,y)=x+y,
且
ax,aaxa,1，，2223Mxyxyxxyyx,,,，,(,)ddd()ddxyy，,,,,,,,000D3，，0 aa11a11，，2334344axxaxxa,,，,,,[()]d.xxax,,,(),,,0363412，，0 aaya,11，，
225233Myxyxyyyxyxyya,,,，,,(,)ddd()dd.ayyay,，,()x,,,,,,,000D153，，aaxa,11，，
225233Mxxyxyxxxyyxxa,,，,,(,)ddd()dd.axxax,，,(),y,,,,,,,000D153，，15a215从而 xya,,,154a6
22,,即所求重心为. aa,,,55,,
21. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下，求指定的转动惯量:
22xy(1)D:，求I; ，,1y22ab
227
92(2)D由抛物线与直线x=2所围成，求I和I; yx,xy2
y?b,求I和I. (3)D为矩形闭区域:0?x?a, 0?xy
解:(1)令x=arcosθ ,y=brsinθ,则在此变换下
22xy,D:变化为:r?1,即 D，,122ab
,(,)xy0?r?1, 0?θ?2π, 且, ,abr,,(,)r
所以
2π12222323Ixxyarabrrabrr,,,ddcosddcosdd,,,,y,,,,,,,DD00
32πab13,，,(1cos2)dπab.,,,084
(2) 闭区域D如图10-35所示
图10-35
x3232227722222Iyxyxyyxx,,,,dd2ddd;x,,,,,D0003522
x52326962222Ixxyxxyxx,,,,dd2ddd.y,,,,,D00072
3abbab222(3) ddddd,Iyxyxyyayy,,,,x,,,,,D0003
3abaab222 ddddd.Ixxyxxybxx,,,,y,,,,,D000322. 已知均匀矩形板(面密度为常量ρ)的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。

解:取形心为原点，取两旋转轴为坐标轴，建立坐标系如图10-36所示.
228
图10-36
bhh12223222Iyxyxyybyybh,,,,,,,,ddddd,bhhx,,,,,D,,,12222
bhb12223222Ixxyxxyhxxhb,,,,ddddd.,,,,bhby,,,,,D,,,12222
xy23. 求直线与坐标轴围成的三角区域(a>0,b>0)对x轴及坐标原点的转动惯量(面ρ为常数). ，,1ab
解:所围三角区域D如图10-37所示:
图10-37
a3bayb,aba,,2223bIyxyyyxy,,,,,,,,ddddd.ayy,,,x,,,,,D00012b,,
aay,a3bbayb,，，x22222b Ixyxyyxyxy,，,，,()ddd()dd，
yx,,,0,,,,,,,D0003，，0
33b，，abaay22,,23,d().,,，yba，,ayy1,,,,,,,0123bb,,，，
24. 求面密度为常量ρ的匀质半圆环形薄片:
2222对位于z轴上点M(0,0,a)(a>0)处单位质量的质点的引力F. RyxRyz,,,,,,0012
解:由对称性知F=0，而 y
πR,,,xrcos22,,FxGGrrddd,,π33,,,,DR,122222222，，，()()xyara
π22RRrr222 令,,,GrGrratcosdd2d(tan),,,,π33,,,RR,112222222，，，ra，()ra
RR2222arctanarctanattan2aa,,,,2secd2(seccos)dGattGtttRR33,,11,,arctanarc tanatsecaa
22,,RaR，，RR2221,,2ln,,,，G222222,,RaRRaRa，，，，1121,,
229
πR,,ddrr22FGaGa,,,,d,,πz33,,,,DR,122222222，，ra，()xya，，
R2111,,,,,ππGaGa1,,,,222222RaRa，，2，，21ra，,,R1
故所求引力为:
22,,,，，RaRRR2221,,,,,，FG2ln,0,,222222,,,RaRRaRa，，，，1121,,, 11,,,, πGa,,,,2222,RaRa，，21,,,25. 化三重积分为三次积分，其中积分区域Ω分别是: Ifxyzxyz,(,,)ddd,,,,
(1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域;
22(2)由曲面z=x+y及平面z=1所围成的闭区域;
222(3)由曲面z=x+2y及z=2-x 所围成的闭区域;
22xy(4)由曲面cz=xy(c>0)，所围成的第I卦限内的闭区域。

，,,1,0z22ab
解:(1)积分区域Ω如图10-38所示，
图10-38
01,,x,
,Ω可表示为: 01,,,yx,
,0,,zxy,
11,xxy故 Ixyfxyzz,dd(,,)d.,,,000
(2)积分区域Ω如图10-39所示。

230
图10-39
,,,11x,
,22 Ω可表示为:,,,,,11xyx,
,22xyz，,,1,
2111,x故 Ixyfxyzz,dd(,,)d.222,,,,,,，11xxy
22,zxy,，2,222(3)由消去z得 xyx，,,22,2zx,,2,,
2222即，所以Ω在xOy面的投影区域为x+y?1，如图10-40所示。

xy，,1
图10-40 Ω可表示为:
22222-1?x?1, , x+2y?z?2-x ,,,,,11xyx故
22112,,xx Ixyfxyzz,dd(,,)d.222,,,,,,，112xxy
(4)积分区域如图10-41所示。

Ω可表示为:
bxy22 0,0,0,,,,,,,xayaxz ac
图10-41 故
bxy22,aaxac Ixyfxyzz,dd(,,)d.,,,000
26. 在直角坐标系下计算三重积分:
23(1),其中Ω是由曲面z=xy与平面y=x,x=1和z=0所围成的闭区域; xyzxyzddd,,,,
231
dddxyz(2)，其中Ω为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体; 3,,,,，，，，，1xyz
22222222，Ω是两个球:x+y+z?R和x+y+z?2Rz(R>0)的公共部分;
(3)zxyzddd,,,,
(4),其中Ω是由x=a(a>0),y=x,z=y,z=0所围成; xyzxyzddd,,,,
y222,其中Ω是由x+z-y=1,y=0,y=2所围成; (5)edddxyz,,,,
yxsinπ(6),其中Ω是由所围成。

dddxyzyxyxz,,，,,0,,,,,x2解:(1)积分区域Ω如图10-42所示。

图10-42 Ω可表示为:
01,,x,
, 0,,yx,
,0,,zxy,
11xxyxxy232323xyzxyzxyxyzzxxyyzzddddddddd,,,,,,,,,,,,000000
xy411xx1，，z256,,xxyyxxyydddd ,,,,,,00004，，40
11112,,xxd.,028364(2)积分区域Ω如图10-43所示，Ω可表示为:
01,,x,
, 01,,,yx,
,01,,,,zxy,
232
图10-43
故
111,,,xxyddd1xyz,dddxyz33,,,,,,,000(1)(1)，，，，，，xyzxyz
1,,xy11,x1，，,ddxy2,,,,00,，，，2(1)xyz，，0
11,x11，，, ,ddxy2,,,,002(1)8xy，，，，
1,x111，，,y,dx,,,0,，，2(1)8xy，，0
11311，，5,,,，x,,dxln2,,,,,,02(1)88，x28,,，，
(3)积分区域Ω如图10-44所示。

图10-44
3,222xyR，,,R,4222222由方程x+y+z=R及x+y+z=2Rz得两球的交线为:,且平面把积分区域Ω分为两部分，且积分区域Ω在zz,,2R,z,,,2
RR，，，，轴上的投影区间为[0,R],记过上任意一点z的平行于xOy面的平面与Ω相交的平面区域为D(z),过上任意一点z的平行于,R0,1,,,,，，2，，2 xOy面的平面与Ω的相交的平面区域为D(z)，则 2
233
RR2222zxyzzzxyzzxyddddddddd,，R,,,,,,,,,DzDz0()(),122
RR222,，zzxyzzxyddddddR,,,,,,DzDz0()()122
RR222222 ,,，,πzRzzzzRzz(2)dπ()dR,,02
RR342242,,，,(2ππRzzzRzzz)d(ππ)dR,,02
RR2259ππR，，ππR，，45535,，,πRzz,zz,,,,,R48025，，35，，02(4)积分区域Ω如图10-45所示。

图10-45
0,,xa,
,Ω可表示为: 0,,yx,
,0,,zy,
故
y2axyaxyaxzddddddddddd,,,,xyzxyzxyxyzzxxyyzzxxyy,,,,,,,,,,,,00000000 20 aaxa11113566,,,,ddd.xxyyxxax,,,0002848480(5)积分区域Ω如图10-46所示。

图10-46 Ω在y轴上的投影区间为[0,2]，故
234
222yyyyy22edddedddexyzyxzyyyy,,,，,，π(1)dπ(ee)d,,,,,,,,,Dy0()00 2222yyy22y2 ,，,,，,πedxyyyyπedπeππ2πed，，ye，，,,,0000
2,,3π(e1).
(6) 积分区域Ω如图10-47所示。

图10-47
π,0,,x,2,Ω可表示为: 0,,yx,
,π,0,,,zx,2
故
πππxxx,yxxxsinsinsinπ,,222ddddddddxyzxyyzxyy,,,x,,,,,,,,,,,00000 xxx,,2 ππππ1π1πx,,222,,,,,sindsindsind.xxxxxxx,,,,,,0004242,,42
27. 如果三重积分的被积函数f(x,y,z)是三个函数f(x), f(y), f(z)的乘积，即f(x,y,z)=f(x)?f(y)?f(z)，积分区域fxyzxyz(,,)ddd123123,,,, 为a?x?b，c?y?d,l?z?m，证明,这个三重积分等于三个单积分的乘积，即
bdm fxfyfzxyzfxxfyyfzz()()()ddd()d()d()d,123123,,,,,,,acl证:
bdmfxfyfzxyzxyfxfyfzz()()()ddddd()()()d,123123,,,,,,,acl
bdbdmm，，，，,,ddddyxyxfxfyfzzfxfyfzz()()()d()()()d,,,,123123,,,,,, acacll，，，， bbmdmd，，，，，，，，
dx,,d()xfxfxfzzfyyfzzfyy()()d()d()d()d1,,,,13232,,,,,,aalclc，，，，，，，，
bbdmmd，，，，,,fxxfxxfyyfzz()d()d()d()d.fzzfyy()d()d112332,,,,,,aac clc，，，，
28. 利用柱面坐标计算下列三重积分:
2222(1) ,其中Ω是由曲面zxy,,,2及所围成的闭区域; zxy,，zvd,,,,
2222(2) ,其中Ω是由曲面及平面z=2所围成的闭区域. xyz，,2()dxyv，,,,, 235
22222222解:(1) 由及消去得,因而区域Ω在xOy面上的投影区域为,如zxy,,,2zxy,，xy，,1xy，,1
图10-48所示，在柱面坐标系下:Ω可表示为:
22 01, 02,,,,,,,rrzr,π, 2
22π12,r故 zvrrzzdddd,,2,,,,,,,00r
1124,,,2πrrrr(2)d,02 1711，，246,,ππ.r,,rr图10-48 ,,1246，，0
(2) 积分区域如图10-49所示，在柱面坐标系下，Ω可表示为
2r 02,,,,,,,π, 02, 2rz2
22故 ()dxyv，,,,,
2,rrrzddd,,,,,
2π2232,dddrrz,r,,,00图10-49 2
211135462,,,,2π(2)d2rrrrrπ[]0,02212
16,π.3
29. 利用球面坐标计算下列三重积分:
222222(1) ，其中Ω是由球面所围成的闭区域; xyz，，,1()dxyzv，，,,,, 2222222(2) ，其中Ω由不等式,所确定. xyzaa，，,,()xyz，,zvd,,,,
2224解:(1) ()dsindddxyzvrr，，,,,,,,,,,,,,
2ππ14,dsindd,,,rr,,,000 14π51,,,2π[cos][]rπ.,0055(2) 积分区域Ω如图10-50所示，在球面坐标系下，Ω可表示为
π ,,,,,,,,,02π, 0, 02cosra4
2故 zvrrrdcossinddd,,,,,,,,,,,,,
236
图10-50
π2π2cosa,34,drr,,,,sincosdd,,,000
π144=2πsincos(2cos)da,,,,,04
π454 ,8πasincosd,,,,0
π414，，6,8πa,cos,,,6，，0
74,πa.6
30. 选用适当的坐标计算下列三重积分:
22(1) ，其中Ω为柱面及平面z=1,z=0,x=0,y=0所围成的第I卦限内的闭区域; xy，,1xyvd,,,,
222222(2) ,其中Ω是由球面所围成的闭区域; xyzz，，,xyzv，，d,,,,
22222(3) ,其中Ω是由曲面及平面z=5所围成的闭区域; 425()zxy,，
()dxyv，,,,,
22222(4) ，其中Ω由不等式所确定。

0,0,,，，,,axyzAz()dxyv，,,,, 解:(1)积分区闭Ω如图10-51所示.利用柱面坐标计算，Ω在柱面坐标系下表示为:
图10-51
π,0?r?1，0?z?1,故 ,,,02
,π11112322,,,,,,,xyvrrrzrrdddsincosdsin2d2d,,,,,,,,00000,4
π211,,,(cos2).,1680
本题也可采用直角坐标计算，在直角坐标系下，Ω可表示为:
2 01,01,01,,,,,,,,xyxz
22111111,,xx112故
xyvxxyyzxxyyxxx,,,,,dddddd(1)d.,,,,,,,,,,00000028(2)积分区域Ω如图10-52所示。

用球面坐标计算，在球面坐标系下Ω可表示为:
237
0cos,,r,,
,,02,,π, ,π,0,,,,,2
图10-52 故
π,2πcos222232xyzvrrrrr，，,,,dsindddddsind,,,,,,,,,,,,,,,000,, ππ21π1π452,,,,,2πsincosdcos.,,,,,0425100(3) 积分区域Ω如图10-53所示。

利用柱面坐标计算，在柱面坐标系下，Ω可表示为:
02,,,π,
,,02,,r ,5,rz,,5,,2
图10-53 故
2π252223()dddddddxyvrrrzrrz，,,,,,5,,,,,,,,,,,r002 22551,,，，345,,,2πrrd2π8π.5,,rrr,,,,,0,,，，2420(4) 积分区域如图10-54所示。

利用球面坐标计算，在球面坐标系下，Ω可表示为:
02,,,π,
,,π 0,,,,2,
,arA,,,
238
图10-54 故
22222()dsinsindddxyvrrr，,,,,,,,,,,,,,,
π2πA342,dsinddrr ,,,,,,00a
4π55,,().Aa1531. 利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积: 2222(1) z=6-x-y及; zxy,，
222222(2) x+y+z=2az(a>0)及x+y=z(含有z轴的部分);
2222(3)及z=x+y; zxy,，
2222(4) z=及x+y=4z. 5,，xy
解:(1)曲面围成的立体Ω如图10-55所示。

在柱面坐标系下，Ω可表示为:
02,,,π,
,02,,r ,
2,rzr,,,6,
图10-55 用柱面坐标可求得Ω的体积
2226,,rvvrrzrrz,,,ddddddd,,,,,,,,,,,00r,, 223211，，23234,,,,,2π(6)d2rrrrπ.3rrr,,,,,,0334，，0
(2)曲面围成的立体Ω如图10-56所示。

239
在球面坐标系下Ω可表示为:
02,,,π,
,,π 0,,,,4,
,02cos,,ra,,
图10-56 利用球面坐标可求得Ω的体积:
π,,a22cos224vvrrrr,,,dsinddddsindd,,,,,,,,,,,,,,,000,, ππ4881，，333342,,,,2πaaacossind2ππ.,cos,,,,,,,033，，40
(3)曲面围成的立体Ω如图10-57所示。

在柱面坐标系下，Ω可表示为:
02,,,π,
,01,,r ,
2,rzr,,,
图10-57 利用柱面坐标可求得Ω的体积:
211,r23vvrrzrrr,,,,dddd2,π()d2,,,,,,,000r,
1π11，，34,,2π.rr,,,634，，0(4) 曲面围成的立体Ω如图10-58所示。

在柱面坐标系下，Ω可表示为:
240
,
,,,02,,,,,02r ,
,2r2,,,,zr5,4
图10-58
利用柱面坐标可求得Ω的体积:
2225,,r2vvrrzrrz,,,ddddddd,,r,,,,,,,,,00,,4
2222π,,r232,,,,2πrrrrrrrd2π5dd 5,,r,,,,,0002,,4
2232π2422,,,π.r，，,,(5)r554,,38300
*32. 选择坐标变换计算下列各题:
222222xyz,,xyz(1) 1d,(,,)vxyz ,,,,,1，，,,,,,,222222,abcabc,, 222222,,,,xyzxyz(2)
expd,(,,).vxyz ,,1，，,,,,,，，,,,222,222abcabc,,,, xar,sincos,,01,,r,,
,,解:(1)令则积分区域Ω变为Ω*:且 ,0,,πybr,sinsin,,,,
,,02,,πzcr,cos,,,,
aararsincoscoscossinsin,,,,,,,
,(,,)xyz2 ,,abcrsin.bbrbrsinsincossinsincos,,,,,,,,(,,)r,,ccrcossin0 ,,,
222xyz22故 1d1sinddd,,,,,,vrabcrr,,,*,,,,,,222,,abc
2ππ122,,dsind1d,,,abcrrr,,,000 πabcπ2,,,,,2ππabc.,,,cos,0164 241
(2) 坐标变换同(1)。

222,,xyzr2expdesindddvabcrr,,,,,,,，，*,,,,,,222,,abc,,
2ππ12r,dsindedabcrr ,,,,,,000
π2π(e2)4π(e2).,,,,,,,abcabc,cos,,,033. 球心在原点，半径为R的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球的距离成正比，求这球体的质量。

解:利用球面坐标计算:
Ω:则 0,02,,,,,,,rRkr ,,,π,0π,,
,π,R2Mvkrrr,,,,,,ddsindd,,,,,,,000,
Rkπ，，44,,,,2ππkR.,,,cosr,0,,，，4034. 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的重心(设密度ρ=1); 222(1) z=x+y,z=1;
222222(2) zAxyzaxzAaz,,,,,,,,,,(0),0;
22(3)z= x+y,x+y=a,x=0,y=0,z=0.
1解:(1)两曲面所围立体Ω为一高和底面半径均为1的圆锥体(如图10-59所示)，其体积v=.在柱面坐标系下，Ω可表示为:r?z?1,0?rπ3?1,0?θ?2π.
图10-59 又由对称性可知，重心在z轴上，故, xy,,0
2π111112π13zzvrrzzrrr,,,,,,dddd()d,,,,,,,,r000Mvv2 12412π3，，rr,,,.,,,v24，，240
3,,所以，所围立体的重心为. 0,0,,,,,4
233(2)所围立体Ω如图10-60所示。

其体积. v,π.，，Aa,3
242
图10-60 在球面坐标系下，Ω可表示为:
π, ,,,,,,,, 02π,0,arA2又由对称性知，重点在z轴上，故, xy,,0
πA2π11,332zzvrrrr,,,,,,,,,,,dsincosddddsincosdd,,,,,,,,,,,,,a0Mvv Aπ44Aa,2π13()1，，42,,,,.,,,cos2r,330,,vAa,48()，，4a
44,,3()Aa,故所围立体的重心为 .0,0,,,338()Aa,,,
(3) 所围立体Ω如图10-61所示，在直角坐标系下，Ω可以表示为
图10-61
220?x?a, 0?y?a-x, 0?z?x+y. 先求Ω的体积V.
22aaxxy,，Vxyzxyz,,dddddd,,,,,,,000
ax,aaxa,1，，2223,，,d()ddxxyyxxyy，,,,,,0003，，0 a1，，
23dx,xaxax()(),，,,,,03，，
a1a11，，4344,,a.xxax,,,(),,63412，，0故
243
22aaxxy,，11xxvxxyz,,,dddd,,,,,,000,MV
a11，，23,xxdxaxax()(),，,,,,0V3，， 3a1,,4a4322,dx,，,，
xaxaxx2,,,0V33,,
624111,,5,,,aa.,，,，,,4a515236,,
由Ω关于平面y=x的对称性可知。

2. yxa,,5又
22aaxxy,，11zzvxyzz,,,dddd,,,,,,,000MV
aax,14224,，，d(2)dxxxyyy ,,002V
a3721，，24235,,d.xaxaxxaxax,，,，,()()()4,,,0a3035，，
227,,2故所围立体的重心为. aaa,,,,5530,,
22235. 球体x+y+z?2Rz内，各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的重心。

π2解:用球面坐标计算，在球面坐标系下球体可以表示为:0?r?2Rcosφ，0?φ?,0?θ?2π，球体密度ρ=r,由对称性可知重心在z轴上，故2 π2π2cosR,222Mvrrr,,,,,,,ddsindd,,,,,,000,
π32552,2πRsincosd，又球体的质量 xy,,0,,,,05
π5264πR321，，56,,,,πR.cos,,,5156，，0从而
244
113zzvrv,,,,dcosd,,,,,,,,MM
πR2π2cos,152,rrdsincosdd,,,,,,,000M
π2π64672 ,Rsincosd,,,,0M6
π21641，，68,,Rπ,cos,,,M38，，0
6R158π5,,,R.532πR34
5,,故球体的重心为. 0,0,R,,,,4
2236. 一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域Ω由曲面z=x+y和平面z=0,|x|=a,|y|=a所围成。

(1)求物体的体积;(2)求物体的重心;(3)求, 物体关于z轴的转动惯量。

解:(1)Ω如图10-62所示。

由对称性可知。

图10-62
22aaxyaa，22Vxyzxxyy,,，4ddd4d()d,,,,,00000
a81,,423,,4d.xaaxa，,,,033,,
(2)由对称性知，而 xy,,0
22aaxy，14zzvxyzz,,,dddd,,,,,,,000MV
aa24224,，，d(2)dxxxyyy,,00V a221,,4325,dxaxaxa，，,,,0V35,,
27121,,62,,aa.，，,,V15595,,
7,,2故物体重心为. 0,0,a,,15,,
245
22aaxy，2222(3)d4dddIvxyz,,,,，，，，xyxy，，z,,,,,,,000
aa4224,，，4d(2)dxxxyyy,,,00
a21,,4325,4dxaxaxa，，,,,,035,,
2811266,,,4.aa,,4545
37. 求半径为a,高为h的均匀圆柱体对于过中心，而平行于母线的轴的转动惯量(设密度=1). ,解:建立坐标系如图10-63所示，用柱面坐标计算。

图10-63
322Ivrrz,,,,dddd，，xy，z,,,,,,,,
a2xah1，，34,,,,ddd2rrzhπ r,,,,,,000，，40
14,πha.2
22238. 求均匀柱体:对于位于点M(0，0，a)(a>h)处的单位质量的质点的引力。

xyRzh，,,,,00
解:由柱体的对称性可知，沿x轴与y轴方向的分力互相抵消，故F=F=0,而 xy ,()az,FGv,,dz3,,,,2222，，xyaz，，,()，，
ddxy，，h3,,,,,Gazz()d,,,,22,02222xyR，,，，,,xyaz，，,()，，，，
Rrrd，，h2π3,,,,,Gazz()dd,,0,,,,00222，，,,raz，,()，，，，
11,,h,,,,2πGazz()d ,,,22az,0,Raz,,(),,
az,，，h1,,,2πGdz,,22,0Raz，,(),，，
h22，，2πG,,,zRaz，，,()，，0
2222，，,,2πG.,hRazRa()，，,,，，，
39. 在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心246
上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少,
解:如图10-64所示，因为闭区域D对称于y轴，所以重心必位于y轴上，
即，要使重心恰好落在圆心上，必须使,Cxy(,)y,0x,0于是必须,而 yd0,,,,D。