四川省雅安2019届高三上学期第一次月考数学(文)试卷含答案

2019届高三上学期第一次月考
数学（文）试题
第I卷（选择题）
一、单选题
1.已知集合，则的子集个数为（）
A. 2
B. 4
C. 7
D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合A，B，再求出A∩B={0，1，2}，由此能求出A∩B的子集个数．
【详解】∵集合A={0，1，2，3}，
B={x∈R|0≤x≤2}，
∴A∩B={0，1，2}，
∴A∩B的子集个数为23=8．
故选：D．
【点睛】本题考查交集的子集个数的求法，考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．若集合有n个元素，其子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.
2.设为向量，则“”是“” （）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量数量积运算，求得向量的夹角，进而判断向量是否平行；根据向量平行，即夹角为0，即可判断向量的数量积与模的乘积是否相等。

【详解】根据向量数量积运算，
若，即 =
所以 =1，即所以
若，则的夹角为0，所以“
所以“”是“”的充分必要条件
所以选C
【点睛】本题考查了向量数量积的运算，充分必要条件的判定，属于基础题。

3.已知集合，，，则（）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合并集运算与集合互异性原则，可求得m的值。

【详解】因为
所以m=3或=，即m=1（舍）或m=0
所以选A
【点睛】本题考查了集合的并集运算，集合互异性原则的应用，属于基础题。

4.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）
A. 2
B.
C.
D. 1
【答案】D
【解析】
由题,
,
切线方程为 ,即,
与坐标轴的交点为(0.2)和(1,0)
所以与坐标轴围成的三角形的面积为 ,故选D.
5.已知,则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数的定义域，可依次代入求得函数值。

【详解】因为，所以=
因为>2，所以=
所以选C
【点睛】本题考查了分段函数值的求解，关键是判断定义域的取值，属于基础题。

6.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：最小正周期为的函数有A、B、D，在上有增有减，在是是增函数，在上是减函数．故选D．
考点：函数的周期性与单调性．
7.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，
则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数F(x)=f（x）g（x），由题意可判断F(x) 是R上的奇函数，且在（-∞，0）上是增函数；从而解不等式即可
【详解】构造函数F(x)=f（x）g（x）
因为当时，，即当时F(x)为单调递增函数
且，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以F(x)为奇函数F（3）==0
所以的解集是
所以选B
【点睛】本题考查了导数与单调性的综合应用，通过结合构造函数法判断函数的单调区间并解不等式，属于中档题。

8.在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式表示出，再利用余弦定理表示出，变形后代入已知等式，进而求出，最后得出的值
【详解】，
，
代入已知等式可得：
，
故选
【点睛】本题主要考查了余弦定理和同角三角函数间的基本关系，运用三角形面积公式代入化简，属于基础题
9.若，设，，，则，，的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据定义域，分别判断a、b、c的大小即可。

【详解】因为
所以
所以选D
【点睛】本题考查了不等式大小比较，对数的化简应用，属于中档题。

10.下列几个命题：
①是不等式的解集为的充要条件；
②设函数的定义域为，则函数与的图象关于轴对称；
③若函数为奇函数，则；
④已知，则的最小值为；
其中不正确的有（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质及充分必要条件的概念可判断①正确；通过反例y=sinx可判断②错误；根据奇函数性质f（0）=0可判断③正确；由基本不等式等号成立条件，可知④错误。

【详解】①是一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R的充要条件，所以①正确；
②，如函数y=sinx；因为y=sinx与y=sin（-x）的定义域均为R，但两个函数的图象关于x轴对称，故②错误
③若函数为奇函数，则当x=0时=0，所以正确，所以③正确
④，此时，所以不成立
所以④错误
综上，正确个数为2个，所以选C
【点睛】本题综合考查了二次函数恒成立条件和充分必要性的判定，奇偶函数的性质及图像，基本不等式成立的条件等，综合性强，属于中档题。

11.已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系。

【详解】因为
所以<0，即
构造函数，所以，即在R上为单调递减函数
所以，化简得
同理，化简得
所以选D
【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性并解不等式，属于难题。

12.已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标原点）的斜率为，则（）
A. 存在点使得
B. 对于任意点都有
C. 对于任意点都有
D. 至少存在两个点使得
【答案】B
【解析】
分析：任取正实数，则直线的斜率为，利用的性质，逐一判定，即可求解.
详解：任取正实数，则直线的斜率为，
因为，又由成立，
因为和中两个个等号成立条件不一样，
所以恒成立，即恒成立，排除A；
当时，，则，排除C；
对于D选项，至少存在两个点使得，即至少存在两解，
即至少有两解，又因为恒成立，所以
至多有一个解，排除D，
综上所述，选项B是正确的，故选B.
点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，以及直线的斜率公式，导数在函数中的应用，其中解
答中根据题意构造函数，利用函数的单调性和最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理、论证能力.
第II卷（非选择题）
二、填空题
13.已知命题，，命题，恒成立.若为假命题，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
分析：由题意首先确定p,q至少有一个是假命题，然后求解m的取值范围即可.
详解：为假命题，则p,q至少有一个是假命题，
若p为假命题，则，据此有：；
若q为假命题，则，据此有：，解得：或；
据此可得：实数的取值范围为.
点睛：本题主要考查逻辑连接词，由命题的真假确定参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北
的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的
高度______
【答案】
【解析】
【分析】
先根据已知条件得，在中利用正弦定理计算，再由为等腰直角三角形，即可求出结果.
【详解】由题意可知，，，为等腰直角三角形，
在中，，
由正弦定理
.
故答案为.
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键.
15.若函数的定义域和值域都是，则实数b=______.
【答案】5
【解析】
函数的对称轴方程为，
所以函数在[1,a]上为减函数，
又函数在[1,a]上的值域也为[1,a]，
则,即，
由①得：b=3a−1,代入②得：−3a+2=0,解得：a=1(舍)，a=2.
把a=2代入b=3a−1得：b=5.
故答案为5.
点睛：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.
16.已知函数,如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
通过讨论m的取值情况，分析零点的个数。

【详解】若m＜-2，则f（x）在（-∞，m]上无零点，在（m，+∞）上有1个零点x=4，不符合题意；若-2≤m＜0，则f（x）在（-∞，m]上有1个零点x=-2，在（m，+∞）上有1个零点x=4，符合题意；若0≤m＜4，则f（x）在（-∞，m]上有2个零点x=-2，x=0，在（m，+∞）上有1个零点x=4，不符合题意；
若m≥4，则f（x）在（-∞，m]上有2个零点x=-2，x=0，在（m，+∞）上无零点，符合题意；
综上所述，-2≤m＜0或m≥4，即实数的取值范围为
【点睛】本题考查了分类讨论在解不等式中的应用，属于难题。

三、解答题
17.已知命题曲线1与轴没有交点；命题函数是减函数.若或为真命题,且为假命题,则实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
通过复合命题真假，判断出p与q命题一真一假，进而求得m的取值范围。

【详解】由y=1与x轴没有交点，知＜0，∴m＜；
由q：f（x）=﹣（5﹣2m）x在R上是减函数，知5﹣2m＞1，∴m＜2
由题意p，q一真一假，若p真q假，m．若p假q真，m
综上所述，m的取值范围为
【点睛】本题考查了复合命题的综合应用，属于基础题。

18.函数的部分图象如图所示.
(1)求的最小正周期及解析式；
(2)设函数，求在区间上的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据图像，求出最小正周期；进而求得ω的值；将最高点坐标代入，可求得φ的值；进而求得三角函数表达式。

(2)根据三角函数和角公式及倍角公式，结合辅助角公式求得g(x)=sin，再根据定义域求出最小值。

【详解】(1)由图可得A=1,,所以T=π,因此ω=2.
当x=时,由f(x)=1,可得sin=1,即+φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,
故f(x)=sin.
(2)由(1)知g(x)=f(x)-cos 2x=sin-cos 2x=sin 2x+cos 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin,
因为x∈,所以-≤2x-,
故当2x-=-,即x=0时,函数g(x)取最小值.
【点睛】本题考查了三角函数图像的简单应用，已知定义域求函数的最值，属于基础题。

19.在中，三个内角所对的边分别为，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求边的长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据余弦定理，将表达式中余弦值化为边，进而求得角C。

(2)根据三角形面积，求得ab的值；结合a+b的值与余弦定理，可求得c。

【详解】由余弦定理可得：
，，
又
，
又，
，
.
【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用，三角形面积在解三角形中的应用，属于基础题。

20.（1）已知，求的解析式；
（2）已知是一次函数，且满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)利用换元法，求函数的解析式。

(2)利用待定系数法，设出解析式，根据函数定义求得g（x），进而求得最小值。

【详解】(1)令，则，
所以，
故.
(2)设，则由，
得，即，
所以，解得.
所以.
从而，则.
【点睛】本题考查了换元法、待定系数法求函数的解析式，求已知函数的最值，属于基础题。

21.已知函数（且）是定义在上的奇函数.
（1）求的值；
（2）求函数的值域；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【解析】
【分析】
(1)根据奇函数定义，代入求得a的值。

(2)通过分离常数，得到，进而通过函数单调性求得值域。

(3)通过分离参数，得到，进而利用换元法并结合基本不等式求得m的取值范围。

【详解】(1)∵是上的奇函数，
∴，
即.
整理可得．
（注：本题也可由解得，但要进行验证）
(2)由（1）可得，
∴函数在上单调递增，
又，
∴，
∴．
∴函数的值域为．
(3)当时，．
由题意得在时恒成立，
∴在时恒成立．
令，
则有，
∵当时函数为增函数，
∴.
∴.
故实数的取值范围为．
【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，分离常数法与分离参数法在函数中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题。

22.已知函数
（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；
（2）若，且曲线与总存在公共的切线，求正数的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析：
（1）根据可求得．（2）根据导数的几何意义可求得函数在点处的切线方程为，由得，由两曲线总存在公切线可得
有解，即关于的方程有解，分离参数后转化为函数的最值问题求解即可．
试题解析：
（1)∵，
∴．
依据题意得，即，解得．
∴.
（2）当时，，
∴，
设切点为，则，
∴曲线在点处的切线方程为：，
即．
由消去y得，
∵总存在公切线，
∴总有解，
即关于的方程总有解.
∵,
∴,解得，
∴方程总有解．
令，
则，
则当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴，
∴，解得，
∴正数的最小值故.
点睛：
（1）对于一些复杂的问题，解题时要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究的问题来处理．（2）求解不等式能成立（方程有解）问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域（或最值）的问题．注意以下结论：①有解等价于的范围即为函数的值域；②有解等价于；③有解等价于．。