备战高考物理培优 易错 难题(含解析)之电磁感应现象的两类情况及详细答案

备战高考物理培优 易错 难题(含解析)之电磁感应现象的两类情况及详细答案
一、电磁感应现象的两类情况
1．如图所示，两根光滑、平行且足够长的金属导轨倾斜固定在水平地面上，导轨平面与水平地面的夹角37θ=︒，间距为d =0.2m ，且电阻不计。

导轨的上端接有阻值为R =7Ω的定值电阻和理想电压表。

空间中有垂直于导轨平面斜向上的、大小为B =3T 的匀强磁场。

质量为m =0.1kg 、接入电路有效电阻r =5Ω的导体棒垂直导轨放置，无初速释放，导体棒沿导轨下滑一段距离后做匀速运动，取g =10m/s 2，sin37°=0.6，求：
（1）导体棒匀速下滑的速度大小和导体棒匀速运动时电压表的示数； （2）导体棒下滑l =0.4m 过程中通过电阻R 的电荷量。

【答案】（1）20m/s 7V （2）0.02C 【解析】 【详解】
（1）设导体棒匀速运动时速度为v ，通过导体棒电流为I 。

由平衡条件
sin mg BId θ=①
导体棒切割磁感线产生的电动势为
E =Bdv ②
由闭合电路欧姆定律得
E
I R r
=
+③ 联立①②③得
v =20m/s ④
由欧姆定律得
U =IR ⑤
联立①⑤得
U =7V ⑥
（2）由电流定义式得
Q It =⑦
由法拉第电磁感应定律得
E t
∆Φ
=
∆⑧
B ld ∆Φ=⋅⑨
由欧姆定律得
E
I R r
=
+⑩ 由⑦⑧⑨⑩得
Q =0.02C ⑪
2．图中装置在水平面内且处于竖直向下的匀强磁场中，足够长的光滑导轨固定不动。

电源电动势为E （不计内阻），导体棒ab 初始静止不动，导体棒 ab 在运动过程中始终与导轨垂直， 且接触良好。

已知导体棒的质量为m ，磁感应强度为B ，导轨间距为L ，导体棒及导轨电阻均不计，电阻R 已知。

闭合电键，导体棒在安培力的作用下开始运动，则： (1)导体棒的最终速度？
(2)在整个过程中电源释放了多少电能？ (3)在导体棒运动过程中，电路中的电流是否等于
E
R
，试判断并分析说明原因。

【答案】(1)E v BL =；(2) 2
22
2mE B L
；(3)见解析 【解析】 【分析】 【详解】
(1) 闭合电键，导体棒在安培力的作用下开始运动做加速运动，导体棒运动后切割磁感线产生感应电流，使得通过导体棒的电流减小，安培力减小，加速度减小，当加速度为0时，速度达到最大值，之后做匀速运动，此时感应电动势与电源电动势相等。

设导体棒的最终速度v ，则有
E BLv =
解得
E
v BL
=
(2)在整个过程中电源释放的电能转化为导体棒的动能，导体棒获得的动能为
2
222
122k mE E mv B L ∆==
所以在整个过程中电源释放的电能为2
22
2mE B L
(3)在导体棒运动过程中，闭合电键瞬间，电路中的电流等于
E
R
，导体棒在安培力的作用下开始运动做加速运动。

之后导体棒运动后切割磁感线产生感应电流，使得通过导体棒的电流减小，当感应电动势与电源电动势相等时，电路中电流为0，因此在导体棒运动过程中，电路中的电流只有在闭合电键瞬间等于
E
R
，之后逐渐减小到0。

3．如图所示，足够长的U 型金属框架放置在绝缘斜面上，斜面倾角30θ=︒，框架的宽度
0.8m L =，质量0.2kg M =，框架电阻不计。

边界相距 1.2m d =的两个范围足够大的磁
场I 、Ⅱ，方向相反且均垂直于金属框架，磁感应强度均为0.5T B =。

导体棒ab 垂直放置在框架上，且可以无摩擦的滑动。

现让棒从MN 上方相距0.5m x =处由静止开始沿框架下滑，当棒运动到磁场边界MN 处时，框架与斜面间摩擦力刚好达到最大值3N m f =（此时框架恰能保持静止）。

已知棒与导轨始终垂直并良好接触，棒的电阻0.16R =Ω，质量0.4kg m =，重力加速度210m/s g =，试求：
(1)棒由静止开始沿框架下滑到磁场边界MN 处的过程中，流过棒的电量q ； (2)棒运动到磁场Ⅰ、Ⅱ的边界MN 和PQ 时，棒的速度1v 和2v 的大小；
(3)通过计算分析：棒在经过磁场边界MN 以后的运动过程中，U 型金属框架能否始终保持静止状态？
【答案】(1) 1.25C q =；(2)12m/s v =，24m/s v =；(3)框架能够始终保持静止状态 【解析】 【分析】
本题考查导体棒在磁场中的运动，属于综合题。

【详解】 (1)平均电动势为
BLx
E t t
∆Φ=
=∆∆ 平均电流
E
I R
=
则流过棒的电量为
BLx
q I t R
=∆=
代入数据解得 1.25C q =。

(2)棒向下加速运动时，U 形框所受安培力沿斜面向下，静摩擦力向上，当棒运动到磁场边界MN 处时，框架与斜面间摩擦力刚好达到最大值3N m f =，由平衡条件，有
221
sin m B L v Mg f R
θ+=
解得12m/s v =。

棒经过MN 后做匀加速直线运动，加速度
3sin 5m/s a g θ==
由2
2
212v v ad -=，解得
24m/s v =
(3)棒在两边界之间运动时，框架所受摩擦力大小为
1sin 1N m f Mg f θ==<
方向沿斜面向上棒进入PQ 时，框架受到的安培力沿斜面向上，所受摩擦力大小为
222
2sin 3N m B L v f Mg f R
θ=-==
向沿斜面向下以后，棒做加速度减小的减速运动，最后做匀速运动。

匀速运动时，框架所受安培力为
22sin 2N B L v F mg R
θ===安
方向沿斜面向上。

摩擦力大小为
223sin 1N m B L v f Mg f R
θ=-=<
方向沿斜面向下。

综上可知，框架能够始终保持静止状态。

4．如图甲所示，一对足够长的平行光滑轨道固定在水平面上，两轨道间距 l= 0.5m ，左侧接一阻值 为R 的电阻。

有一金属棒静止地放在轨道上，与两轨道垂直，金属棒及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于垂直轨道平面竖直向下的磁感应强度为1T 的匀强磁场中。

T=0 时，用一外力F 沿轨道方向拉金属棒，使金属棒以加速度 a =0.2 m/s 2 做匀加速运动，外力F 与时间 t 的关系如图乙所示。

(1)求金属棒的质量 m ；
(2)当力F 达到某一值时，保持F 不再变化，金属棒继续运动3s ，速度达到1.6m/s 且不再变化，测得在这 3s 内金属棒的位移 s=4.7 m ，求这段时间内电阻R 消耗的电能。

【答案】（1）0.5kg ；（2）1.6J 【解析】 【分析】 【详解】 由图乙知
0.10.05F t =+
（1）金属棒受到的合外力
220.10.05B l v
F F F t ma R
=-=+-=合安
当t =0时
0v at ==
0.1F =N 合
由牛顿第二定律代入数值得
0.5F m a
=
=kg 合
（2）F 变为恒力后，金属棒做加速度逐渐减小的变加速运动，经过3s 后，速度达到最大
1.6m v =m/s ，此后金属棒做匀速运动。

1.6m v =m/s 时
0F =合
220.4m
B l v F F R
===N 安
将F =0.4N 代入0.10.05F t =+
求出金属棒做变加速运动的起始时间为t =6s （该时间即为匀加速持续的时间） 该时刻金属棒的速度为
1 1.2v at ==m/s
这段时间内电阻R 消耗的电能
()2
2112F K m E W E FS m v v =-∆=--
()221
0.4 4.70.5 1.6 1.2 1.62
E =⨯-⨯⨯-=J
5．如图所示，两平行长直金属导轨(不计电阻)水平放置，间距为L ，有两根长度均为L 、电阻均为R 、质量均为m 的导体棒AB 、CD 平放在金属导轨上。

其中棒CD 通过绝缘细绳、定滑轮与质量也为m 的重物相连，重物放在水平地面上，开始时细绳伸直但无弹力，棒CD 与导轨间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略其他摩擦和其他阻力，导轨间有一方向竖直向下的匀强磁场1B ，磁场区域的边界满足曲线方程：
sin
(0y L x x L L
π
=≤≤，单位为)m 。

CD 棒处在竖直向上的匀强磁场2B 中。

现从0t =时
刻开始，使棒AB 在外力F 的作用下以速度v 从与y 轴重合处开始沿x 轴正方向做匀速直线运动,在运动过程中CD 棒始终处于静止状态。

（1）求棒AB 在运动过程中，外力F 的最大功率；
（2）求棒AB 通过磁场区域1B 的过程中，棒CD 上产生的焦耳热；
（3）若棒AB 在匀强磁场1B 中运动时，重物始终未离开地面,且满足：2124B B L v
mg R
μ=，
求重物所受支持力大小随时间变化的表达式。

【答案】（1）222
12B L v R
（2）2318B L v R
（3）①当 0<t ≤
6L
v
时，F N =mg ②当6L v <t <56L v 时， F N =(1+μ)mg -2122B B L v R sin x L π ③当
56L v ≤t <L
v 时， F N =mg 【解析】 【详解】
（1）当棒AB 运动到2
L
x =
处时，棒AB 的有效切割长度最长，安培力最大，则外力F 最大，功率也最大，此时：
F =B 1IL =2211122B Lv B L v
B L R R
=
，P m =Fv 解得：
P m =22212B L v R
；
(2) 棒AB 在匀强磁场区域B 1的运动过程中，产生的感应电动势为：
E =B 1Lv sin
L
πx 则感应电动势的有效值为：
E
有效，I 有效 t =L v
可以得到：
Q = 2I
有效
Rt =2318B L v R
；
(3)当CD 棒所受安培力F 安=μmg 时，设棒AB 所在位置横坐标为x 0，对棒CD 受力分析可得：
122B B Lyv R =μmg y =L sin L
π
x 0 解得：
x 0=
6L ，x 1=5
6
L 则：
t 1=
06x L v v =，t 2=156x L v v
= ①当 0<t ≤6L
v
时， 则：
F N =mg
②当
6L v <t <56L v
时，则： F N =mg +μmg -
122B B Lyv
R
即：
F N =(1+μ)mg -2122B B L v R
sin x
L π
③当
56L v ≤t <L
v
时，则： F N =mg 。

6．如图，两足够长的平行金属导轨平面与水平面间夹角为=30θ︒，导轨电阻忽略不计，二者相距l =1m ，匀强磁场垂直导轨平面，框架上垂直放置一根质量为m =0.1kg 的光滑导体棒ab ，并通过细线、光滑滑轮与一质量为2m
、边长为
2
l
正方形线框相连，金属框下方h =1.0m 处有垂直纸面方向的长方形有界匀强磁场，现将金属框由静止释放，当金属框刚进入磁场时，电阻R 上产生的热量为1Q =0.318J ，且金属框刚好能匀速通过有界磁场。

已知两磁场区域的磁感应强度大小相等。

定值电阻R =1Ω。

导体棒ab 和金属框单位长度电阻r =1Ω/m ，g =10m/s 2，求
(1)两磁场区域的磁感应强度为多大？
(2)金属框刚离开磁场时，系统损失的机械能是多大？ (3)金属框下方没有磁场时，棒的最大速度是多少？
【答案】(1)1T(2)2.136J(3)3m/s 【解析】 【详解】
(1)由题意知，导体棒ab 接入电路的电阻为
11ΩR rl ==
与定值电阻R 相等，故金属框由静止释放到刚进入磁场过程重金属导轨回路产生的总热量为
120.636J Q Q ==
此过程由动能定理得
21
2sin 30(2)2
mgh mgh Q m m v ︒--=+
解得
v =2.4m/s
金属框的总电阻为
21
42Ω2
R l r =⨯⨯=
金属框在磁场中做匀速运动时导体棒ab 产生的电动势为1E Blv =，则有
1
11E I R R
=
+
金属框产生的电动势
212E Blv =
2
22
E I R =
金属框在磁场中做匀速运动时由平衡条件得
121
2sin 3002
mg mg BI l BI l ︒---=
得
B =1T
(2)由于金属框刚好能做匀速通过有界磁场，说明磁场宽度与线框边长相等
0.52
l
d m =
= 根据能量守恒得
21
2(2)(2)sin 30(2)2
mg h d mg h d E m m v ︒+-+=∆++
得
2.136J E ∆=
(3)金属框下没有磁场，棒的速度达到最大后做匀速运动，设此时速度为m v ，则
m
1Blv I R R
=
+ 根据平衡条件得
2sin 300mg mg BIl ︒--=
解得
m 3m/s v =。

7．如图所示，凸字形硬质金属线框质量为m ，相邻各边互相垂直，且处于同一竖直平面内，ab 边长为l ，cd 边长为2l ，ab 与cd 平行，间距为2l ．匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面．开始时，cd 边到磁场上边界的距离为2l ，线框由静止释放，从cd 边进入磁场直到ef 、pq 边进入磁场前，线框做匀速运动．在ef 、pq 边离开磁场后，ab 边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q ．线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且ab 、cd 边保持水平，重力加速度为g ．求：
(1)线框ab 边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd 边刚进入磁场时的几倍； (2)磁场上下边界间的距离H ． 【答案】（1）4（2）28Q
H l mg
=+ 【解析】 【分析】 【详解】
设磁场的磁感应强度大小写为B ，cd 边刚进入磁场时，线框做匀速运动的速度为v 1，cd 边上的感应电动势为E 1，由法拉第电磁感应定律可得：
设线框总电阻为R ，此时线框中电流为I 1，由闭合电路欧姆定律可得：
设此时线械所受安培力为F 1，有：
由于线框做匀速运动，故受力平衡，所以有：
联立解得：
设ab 边离开磁场之前，线框做匀速运动的速度为v 2，同理可得：
故可知：
（2线框自释放直到cd 边进入磁场前，由机械能守恒定律可得：
线框完全穿过磁场的过程中，由能量守恒定律可得：
联立解得：
8．如图所示，间距为l 的平行金属导轨与水平面间的夹角为α，导轨间接有一阻值为R 的电阻，一长为l 的金属杆置于导轨上，杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直于斜面向上，当金属杆受到平行于斜面向上大小为F 的恒定拉力作用，可以使其匀
速向上运动；当金属杆受到平行于斜面向下大小为
2
F
的恒定拉力作用时，可以使其保持与向上运动时大小相同的速度向下匀速运动，重力加速度大小为g ，求：
（1）金属杆的质量；
（2）金属杆在磁场中匀速向上运动时速度的大小。

【答案】（1）4sin F m g α=；（2）2222344tan RE RF
v B l B l μα
=-。

【解析】 【分析】 【详解】
（1）金属杆在平行于斜面向上大小为F 的恒定拉力作用下可以保持匀速向上运动，设金属杆的质量为m ，速度为v ，由力的平衡条件可得
sin cos F mg mg BIl αμα=++，
同理可得
sin cos 2
F
mg mg BIl αμα+=+， 由闭合电路的欧姆定律可得
E IR =，
由法拉第电磁感应定律可得
E BLv =，
联立解得
4sin F
m g α
=
，
（2）金属杆在磁场中匀速向上运动时速度的大小
2222
344tan RE RF
v B l B l μα
=
-。

9．如图所示，宽度L ＝0.5 m 的光滑金属框架MNPQ 固定于水平面内，并处在磁感应强度大小B ＝0.4 T ，方向竖直向下的匀强磁场中，框架的电阻非均匀分布．将质量m ＝0.1 kg ，电阻可忽略的金属棒ab 放置在框架上，并与框架接触良好．以P 为坐标原点，PQ 方向为
x 轴正方向建立坐标．金属棒从0x 1?m ＝
处以0v 2?m /s ＝的初速度，沿x 轴负方向做2a 2?m /s ＝的匀减速直线运动，运动中金属棒仅受安培力作用．求：
(1)金属棒ab 运动0.5 m ，框架产生的焦耳热Q ；
(2)框架中aNPb 部分的电阻R 随金属棒ab 的位置x 变化的函数关系；
(3)为求金属棒ab 沿x 轴负方向运动0.4 s 过程中通过ab 的电荷量q ，某同学解法为：先算出经过0.4 s 金属棒的运动距离x ，以及0.4 s 时回路内的电阻R ，然后代入BLx
q R R
∆Φ＝＝求解．指出该同学解法的错误之处，并用正确的方法解出结果． 【答案】(1)0.1 J (2)R 0.4x ＝(3)0.4C 【解析】 【分析】 【详解】
(1)金属棒仅受安培力作用，其大小
0.120.2?F ma N ⨯＝＝＝
金属棒运动0.5 m ，框架中产生的焦耳热等于克服安培力做的功
所以0.20.50.1?
Q Fx J ＝＝＝⨯. (2)金属棒所受安培力为
F BIL ＝
E BLv I R R ＝＝所以22B L R
F ma v
＝＝ 由于棒做匀减速直线运动2002()v v a x x ＝－－所以222000.420.522()222210.40.12
B L R v a x x x x ma －－⨯==-⨯-=⨯(3)错误之处是把0.4 s 时回路内的电阻R 代入BLx
q R
＝进行计算． 正确的解法是q It ＝ 因为F BIL ma ＝＝ 所以ma 0.12
q t 0.40.4?C BL 0.40.5
⨯⨯⨯＝
＝＝
【点睛】
电磁感应中的功能关系是通过安培力做功量度外界的能量转化成电能．找两个物理量之间的关系是通过物理规律一步一步实现的．用公式进行计算时，如果计算的是过程量，我们要看这个量有没有发生改变．
10．如图所示，两条相距d 的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R 的电阻．质量为m 的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ 的磁感应强度大小为B 、方向竖直向下．当该磁场区域以速度v 0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v ．导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求：
（1）MN 刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I ； （2）MN 刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a ； （3）PQ 刚要离开金属杆时，感应电流的功率P ．
【答案】（1）0Bdv R ；（2）220B d v mR ；（3）222
0()B d v v R
-；
【解析】 【分析】
本题的关键在于导体切割磁感线产生电动势E =Blv ，切割的速度（v ）是导体与磁场的相对速度，分析这类问题，通常是先电后力，再功能．
（1）根据电磁感应定律的公式可得知产生的电动势，结合闭合电路的欧姆定律，即可求得MN 刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I ；
（2）根据第一问求得的电流，利用安培力的公式，结合牛顿第二定律，即可求得MN 刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a ；
（3）首先要得知，PQ 刚要离开金属杆时，杆切割磁场的速度，即为两者的相对速度，然后结合感应电动势的公式以及功率的公式即可得知感应电流的功率P ． 【详解】
（1）感应电动势 0E Bdv = 感应电流E I R =
解得0Bdv I R
=
（2）安培力 F BId = 牛顿第二定律 F ma =
解得220
B d v a mR
=
（3）金属杆切割磁感线的速度0=v v v '-，则
感应电动势 0()E Bd v v =-
电功率2
E P R
= 解得2220()B d v v P R -=
【点睛】
该题是一道较为综合的题，考查了电磁感应，闭合电路的欧姆定律以及电功电功率．对于法拉第电磁感应定律是非常重要的考点，经常入选高考物理压轴题，平时学习时要从以下几方面掌握． （1）切割速度v 的问题
切割速度的大小决定了E 的大小；切割速度是由导体棒的初速度与加速度共同决定的．同时还要注意磁场和金属棒都运动的情况，切割速度为相对运动的速度；不难看出，考电磁感应的问题，十之八九会用到牛顿三大定律与直线运动的知识． （2）能量转化的问题
电磁感应主要是将其他形式能量（机械能）转化为电能，可由于电能的不可保存性，很快又会想着其他形式能量（焦耳热等等）转化． （3）安培力做功的问题
电磁感应中，安培力做的功全部转化为系统全部的热能，而且任意时刻安培力的功率等于系统中所有电阻的热功率． （4）动能定理的应用
动能定理当然也能应用在电磁感应中，只不过同学们要明确研究对象，我们大多情况下是通过导体棒的．固定在轨道上的电阻，速度不会变化，显然没有用动能定理研究的必要．
11．如图所示，间距L =1m 的足够长的两不行金属导轨PQ 、MN 之间连接一个阻值为R =0.75Ω的定值电阻，一质量m =0.2kg 、长度L =1m 、阻值r =0.25Ω的金属棒ab 水平放置在导轨上，它与导轨间的动摩擦因数μ=0. 5。

导轨不面的倾角37θ=︒，导轨所 在的空间存在着垂直于导轨不面向上的磁感应强度大小B = 0.4T 的匀强磁场。

现让金属棒b 由静止开始下滑，直到金属棒b 恰好开始做匀速运动，此过程中通过定值电阻的电量为q =1.6 C 。

已知运动过程中金属棒ab 始终与导轨接触良好，导轨电阻不计，sin370.6︒=，
cos370.8︒=，重力加速度g =10m/s 2，求： (1)金属棒ab 下滑的最大速度；
(2)金属棒ab 由静止释放后到恰好开始做匀速运动所用的时间；
(3)金属棒ab 由静止释放后到恰好开始做匀速运动过程中，整个回路产生的焦耳热。

【答案】(1) 2.5/m v m s = (2) 2.85t s = (3) 0.975Q J = 【解析】 【详解】
（1）设金属棒ab 下滑的最大速度为m v ，由法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律得
()m BLv I R r =+
由平衡条件得
sin cos mg mg BIL θμθ=+
联立解得 2.5m/s m v =；
（2）金属棒ab 由静止开始下滑到恰好匀速运动的过程，由动量定理得
()sin cos 0m mg mg BIL t mv θμθ--=-
又
q It =
联立解得 2.85t s =；
（3）由法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律得
BLx
q
R r
=
+ 由能量守恒定律得
2
1sin cos 2
m mgx mg x mv Q θμθ=++g
联立解得0.975J Q =。

12．如图所示，间距为
L 、电阻不计的足够长双斜面型平行导轨，左导轨光滑，右导轨粗糙，
左、右导轨分别与水平面成α、β角，分别有垂直于导轨斜面向上的磁感应强度为 B1、B2 的匀强磁场，两处的磁场互不影响．质量为 m 、电阻均为 r 的导体棒 ab 、cd 与两平行导轨垂直放置且接触良 好．ab 棒由静止释放，cd 棒始终静止不动．求： （1）ab 棒速度大小为 v 时通过 cd 棒的电流大小和 cd 棒受到的摩擦力大小． （2）ab 棒匀速运动时速度大小及此时 cd 棒消耗的电功率．
【答案】（1）12B Lv r ；2122B B L v
r
－mgsin β（2）22222
1sin m g r B L α 【解析】 【分析】 【详解】
（1）当导体棒ab 的速度为v 时，其切割磁感线产生的感应电动势大小为：E ＝B 1Lv①
导体棒ab 、cd 串联，由全电路欧姆定律有：2E I r
=
② 联立①②式解得流过导体棒cd 的电流大小为：12B Lv
I r
=③
导体棒cd 所受安培力为：F 2＝B 2IL④ 若mgsin β ＞F 2，则摩擦力大小为：
21212sin ?sin 2B B L v
f m
g F mg r
ββ=-=-
⑤ 若mgsin β ≤F 2，则摩擦力大小为：
21222sin sin 2B B L v
f F m
g mg r
ββ=-=-⑥
（2）设导体棒ab 匀速运动时速度为v 0，此时导体棒ab 产生的感应电动势为：E 0＝B 1Lv 0⑦
流过导体棒ab 的电流大小为：0
02E I r
=
⑧ 导体棒ab 所受安培力为：F 1＝B 1I 0L⑨
导体棒ab 匀速运动，满足：mgsin α－F 1＝0⑩ 联立⑦⑧⑨⑩式解得：022
12sin mgr v B L α
=
此时cd 棒消耗的电功率为：22220
22
1sin m g r P I R B L α
==
【点睛】
本题是电磁感应与力学知识的综合应用，在分析中要注意物体运动状态（加速、匀速或平衡），认真分析物体的受力情况，灵活选取物理规律，由平衡条件分析和求解cd 杆的受力情况．
13．如图所示，两根足够长的直金属导轨MN 、PQ 平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L ，M 、P 两点间接有阻值为R 的电阻，一根质量为m 的均匀直金属杆ab 放在两导轨上，并与导轨垂直，金属杆的电阻为r ，整套装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨电阻可忽略，让ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦.(重力加速度为g )
（1）在加速下滑过程中，当ab 杆的速度大小为v 时，求此时ab 杆中的电流及其加速度的大小；
（2）求在下滑过程中，ab 杆可以达到的速度最大值.
（3）杆在下滑距离d 的时以经达到最大速度，求此过程中通过电阻的电量和热量。

【答案】(1) I r BLv R =+，22sin ()B L v a g R r m θ=-+(2) 22
()sin m mg R r v B L θ
+=(3) BLd q r R =+,32244
sin ()sin 2R mgdR m g R r R Q R r B L θθ
+=-+ 【解析】 【详解】
(1)杆受力图如图所示：
重力mg ，竖直向下，支撑力N ，垂直斜面向上，安培力F ，沿斜面向上，故ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意如图所示，当ab 杆速度为v 时，感应电动势E =BLv ，此时电路中电流
E BLv
I R r R r
=
=++ ab 杆受到安培力：
22B L v
F BIL r R
==
+ 由牛顿运动定律得：
mg sin θ-F =ma
解得加速度为
22sin ()B L v
a g R r m
θ=-+
(2)当金属杆匀速运动时，杆的速度最大，由平衡条件得
22sin B L v
mg R r
θ=
+ 解得最大速度
22
()sin m mg R r v B L θ
+=
(3)杆在下滑距离d 时，根据电荷量的计算公式，可得
E BLd q It t R r r R
==
=++ 由能量守恒定律得
2
1sin 2
m mgd Q mv θ=+
解得
322244
()sin sin 2m g R r Q mgd B L
θ
θ+=- 电阻R 产生的热量
32223224444
()sin sin ()sin (sin )22R R m g R r mgdR m g R r R Q mgd R r B L R r B L
θθθ
θ++=-=-++
14．如图所示，两根相距L 1的平行粗糙金属导轨固定在水平面上，导轨上分布着n 个宽度为d 、间距为2d 的匀强磁场区域，磁场方向垂直水平面向上．在导轨的左端连接一个阻值为R 的电阻，导轨的左端距离第一个磁场区域L 2的位置放有一根质量为m ，长为L 1，阻值为r 的金属棒,导轨电阻及金属棒与导轨间的接触电阻均不计．某时刻起,金属棒在一水平向右的已知恒力F 作用下由静止开始向右运动，已知金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ．
(1)若金属棒能够匀速通过每个匀强磁场区域，求金属棒离开第2个匀强磁场区域时的速度v 2的大小；
(2)在满足第(1)小题条件时，求第n 个匀强磁场区域的磁感应强度B n 的大小；
(3)现保持恒力F 不变，使每个磁场区域的磁感应强度均相同，发现金属棒通过每个磁场区域时电路中的电流变化规律完全相同，求金属棒从开始运动到通过第n 个磁场区域的整个过程中左端电阻R 上产生的焦耳热Q. 【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
试题分析：（1）金属棒匀加速运动有
解得：
（2）金属棒匀加速运动的总位移为
金属棒进入第n个匀强磁场的速度满足
金属棒在第n个磁场中匀速运动有
解得：
（3）金属棒进入每个磁场时的速度v和离开每个磁场时的速度均相同，由题意可得
金属棒从开始运动到通过第n个磁场区域的过程中，有
解得：
考点：法拉第电磁感应定律；牛顿第二定律；能量守恒定律的应用
【名师点睛】本题分析受力是基础，关键从能量转化和守恒角度来求解，解题时要注意抓住使棒进入各磁场的速度都相同，以及通过每段磁场时电路中发热量均相同的条件．
15．如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直向下的磁场中，整个磁场由n个宽度皆为x0的条形匀强磁场区域1、2、3、…n组成，从左向右依次排列，磁感应强度的大小分别为B、2B、3B、…nB，两导轨左端MP间接入电阻R，一质量为m的金属棒ab垂直于MN、PQ放在水平导轨上，与导轨电接触良好，不计导轨和金属棒的电阻。

（1）对导体棒ab施加水平向右的力，使其从图示位置开始运动并穿过n个磁场区，求导体棒穿越磁场区1的过程中，通过电阻R的电荷量q。

（2）对导体棒ab施加水平向右的恒力F0，让它从磁场1左侧边界处开始运动，当向右运
动距离为时做匀速运动，求棒通过磁场区1所用的时间t。

（3）对导体棒ab施加水平向右的恒定拉力F1，让它从距离磁场区1左侧x=x0的位置由静止开始做匀加速运动，当棒ab进入磁场区1时开始做匀速运动，此后在不同的磁场区施加不同的水平拉力，使棒ab保持该匀速运动穿过整个磁场区，求棒ab通过第i磁场区时的水平拉力Fi和棒ab通过整个磁场区过程中回路产生的电热Q。

【答案】⑴；⑵；⑶
【解析】
试题分析:⑴电路中产生的感应电动势。

通过电阻的电荷量。

导体棒穿过1区过程。

解得
（2）棒匀速运动的速度为v，则
设棒在前x0/2距离运动的时间为t1，则
由动量定律：F0 t1-BqL=mv；解得：
设棒在后x0/2匀速运动的时间为t2，则
所以棒通过区域1所用的总时间：
（3）进入1区时拉力为，速度，则有。

解得；。

进入i区时的拉力。

导体棒以后通过每区都以速度做匀速运动，由功能关系有
解得。

考点：动能定理的应用；导体切割磁感线时的感应电动势；电磁感应中的能量转化。