(完整版)勾股定理笔记要点

勾股定理基础知识汇总
一、 已经学过的有关直角三角形中的边
角关系
B
A
1．两锐角之间的关系：90o
A B ∠+∠=
2.边与高的关系： ab ch =
3.边与角之间的特殊关系：在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、 勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即2
2
2
a b c +=
三、 勾股定理逆定理
如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条
边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

四、 勾股数组
1.如果三个正整数,,a b c 满足关系2
2
2
a b c +=，那么,,a b c 叫做勾股数。

2.勾股数的性质
如果,,a b c 是勾股数，k 为正整数，那么
,,ka kb kc 也是勾股数
思考：勾股数的定义中有何限制？
3.常用勾股数：
3,4,5；5, 12,13；7,24,25；8,15,17；
4.勾股数的几种表达方式
22(1).21,22,221n n n n n ++++（毕达哥拉斯）
22(2)1,2,1n n n -+（柏拉图） 2222(3),2,m n mn m n -+（丢番图）
请探究上述三个表达式，思考下列问题 （1） 你能从勾股数
3,4,5；5, 12,13；7,24,25；归
纳出毕达哥拉斯给出的表达式吗？这组勾股数有何特征？
（2） 柏拉图公式与丢番图公式之间有何联系？
与你已经学过的哪些公式有关联？
五、勾股定理应用
（1） 学习过勾股定理之后三角形的特殊关系
①如果30o
A ∠=，那么::2a b c =
②如果45o A ∠=，那么::a b c = ③如果,,a b c 是直角三角形的三条直角边，那么以a
+ b ，c + h ，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形
④如果,,a b c 是直角三角形的三条直角边，那么以
a 1，
b 1，1
h
的长为边的三条线段能组成直角三角形
（2） 藤绕树问题的解法
我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是 尺．
（3） 长方体盒子对角线的长度公式
H G F E
D
C
B
A
（4） 蚂蚁最短路径问题公式
A
D E
F
G
H
a
b c
A
D
E
F
G
H
b
c
A
B
C
D
E
F
G H
a
b c
c b
a
H G
F E D
C B A
六、 典型例题
例1：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制
了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3．若正方形EFGH 的边长为2，则S 1+S 2+S 3= ．【答案】12
2.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．
3.（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
（2）如图2，Rt Rt ABC CDE △≌△，
90B D ∠=∠=，且B C D ，，三点共线．
试证明90ACE ∠=；
（3）伽菲尔德（Garfield ，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．
4.「问题情境」
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言． 「定理表述」
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）：（3分）
「尝试证明」
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a b 、为底，以a b +为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；（4分） 「知识拓展」
利用图2中的直角梯形，我们可以证明
2a b
c
+< BC a b =+，AD = ．
又在直角梯形ABCD 中有BC AD
（填大小关系），即 ．
2a b
c
+∴
<．
（3分）
（图1） （图2）
A B
C D
c
b a
a a
b b c
c
E a b b a 图1 a
b
c c A E D C B b a
图2
5.给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
6.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
(1)当△ABC三边长分别为6,8,9时，△ABC为______c2；当△ABC三边长分别为6,8,11时，△ABC 为___________三角形．(4分)
(2)猜想：当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，△ABC为钝角三角形．(4分) (3)判断当a=2,b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．(4分) 7.阅读材料：
例：()2
2134
x x
+-+
并求它的最小值．
解：()()()
222 222 1340132
x x x x
+-+=-+-+，如图，建立平面直角坐标系，点()0
P x，是x轴上一点，()22
01
x-+P与点()
01
A，的距离，()22
32
x-+可以看成点P与点()
32
B，的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA PB
+的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA PA
=′，因此，求PA PB
+的最小值，只需求PA PB
+
′的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA PB
+
′的最小值为线段A B
′的长度．为此，构造直角三角形A CB
′，因为=3=3
A C CB
'，，所以32
A B=
′，即原式的最小值为32
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式()()
22
1129
x x
-+-+的值可以看成平面直角坐标系中点()0
P x，与点()
11
A，、点B___________的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式22
491237
x x x
+-+的最小值为_____________．。