辽宁省锦州市2021届新高考二诊数学试题含解析

辽宁省锦州市2021届新高考二诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（）
A．45 B．60 C．75 D．100
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．
【详解】
由题意
123
15
234
S⨯⨯⨯=，60
S=．
故选：B.
【点睛】
本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．
2．设
2,(10)
()
[(6)],(10)
x x
f x
f f x x
-≥
⎧
=⎨
+<
⎩
,则(5)
f=( )
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．
【详解】
∵f（x）
()
()()
210
610
x x
f f x x
⎧-≥
⎪
=⎨
⎡⎤
+
⎪⎣⎦
⎩＜
，
∴f（5）＝f[f（1）]
＝f（9）＝f[f（15）]
＝f（13）＝1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．3．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）
A．8 B．
8
3C．4 D．
4
3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．
【详解】
根据三视图知，该几何体是侧棱PA⊥底面ABCD的四棱锥，如图所示：
结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为PA=2，
∴四棱锥的体积为
2
124
2
323 V=⋅⋅=.
故选：D.
【点睛】
本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.
4．若x,y满足约束条件x0
x+y-30z2 x-2y
x y
≥
⎧
⎪
≥=+
⎨
⎪≤
⎩
，则的取值范围是
A．[0,6] B．[0,4] C．[6, +∞）D．[4, +∞）
【答案】D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
5．已知函数()
f x是定义域为R的偶函数，且满足()(2)
f x f x
=-，当[0,1]
x∈时，()
f x x
=，则函数
4
()()
12
x
F x f x
x
+
=+
-
在区间[9,10]
-上零点的个数为（）
A．9 B．10 C．18 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得函数f （x ）的周期与对称轴，函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x +=-
-图象在[9,10]-上交点的个数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，数形结合即可得到答案.
【详解】
函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x
+=--图象在[9,10]-上交点的个数，
由f （x ）＝f （2﹣x ），得函数f （x ）图象关于x ＝1对称，
∵f （x ）为偶函数，取x ＝x+2，可得f （x+2）＝f （﹣x ）＝f （x ），得函数周期为2.
又∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，且f （x ）为偶函数，∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝﹣x ，
g （x ）44191221242
x x x x x ++=-==+---， 作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图：
由图可知，两函数图象共10个交点，
即函数F （x ）＝f （x ）412x x
++
-在区间[9,10]-上零点的个数为10. 故选：B.
【点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题. 6．已知点(m,8)在幂函数()(1)n
f x m x =-的图象上，设,(ln ),()m a f b f c f n n π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．b ＜a ＜c
B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．a ＜c ＜b
【答案】B
【解析】
【分析】 先利用幂函数的定义求出m 的值，得到幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增，再利用幂函数f （x ）的单调性，即可得到a ，b ，c 的大小关系.
由幂函数的定义可知，m ﹣1＝1，∴m ＝2，
∴点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 上，
∴2n ＝8，∴n ＝3，
∴幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增， ∵2
3m
n =，1＜lnπ＜3，n ＝3， ∴m
ln n n π＜＜，
∴a ＜b ＜c ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.
7．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( )
A ．1
B ．-3
C ．1或53
D ．-3或17
3
【答案】D
【解析】
【分析】
4=，解方程即得k 的值.
【详解】
4=，解方程即得k=-3或17
3.
故答案为：D
【点睛】
(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离d =.
8．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（
）． A ．12
25- B ．24
25- C ．16
5 D ．8
5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角终边上的点坐标，求得sin ,cos αα，代入二倍角公式即可求得sin 2α的值.
因为终边上有一点(3,4)P -，所以43sin ,cos 55αα==-， 4324sin 22sin cos 25525
ααα⎛⎫∴==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ 故选：B
【点睛】
此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.
9．已知函数()()1x f x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．(),1e -∞-
B ．()1,e -+∞
C ．(],0e -
D ．(]
1,1e - 【答案】D
【解析】
【分析】 先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R 恒成立，即1x y e
=得图象恒在函数 (1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.
【详解】
由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1x y e
=得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方， 作出函数的图象如图所示
过原点作函数1x y e
=的切线，设切点为(,)a b ，则1e e a a b a a --==，解得1a =-，所以切 线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤.
故选：D.
【点睛】
本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题.
10．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )
A ．10
B ．50
C ．60
D ．140
【答案】C
【解析】 从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中
有0.3×
50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050
⨯=，故选C 11．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ）
A 6
B ．10
C 5
D 15 【答案】D
【解析】
【分析】
以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，
建立空间直角坐标系．求解平面11ACC A 的法向量，利用线面角的向量公式即得解.
【详解】
如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -，60ABC ︒∠=，取BC 中点E ，
以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，
建立空间直角坐标系．
设2AB =，则11(0,0,0),(0,0,2),(3,1,0),(3,1,0),(3,1
,2)A A B C C -， 11(0,2,2),(3,1,0),(0,0,2)BC AC AA ===u u u r u u u r u u u r ．
设平面11ACC A 的法向量为(,,)n x y z =r ，
则130,20,
n AC x y n AA z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩v v 取1x =，
得(1,3,0)n =-r ．
设直线1BC 与平面11ACC A 所成角为θ，
则11236sin 84||
BC n BC n θ⋅-===⋅⋅u u u r r u u u r r ， 2610cos 144θ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于
15 故选：D
【点睛】
本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 12．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）
A ．(722+π
B ．(1022+π
C ．()
1042+π
D ．()
1142+π 【答案】C
【解析】
【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，
【详解】
由题意可知几何体的直观图如图：
上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+
⨯⨯⨯=+， 故选：C
【点睛】
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为____________.
【答案】116
【解析】
【分析】
易得1113n n a a +-=，所以1{}n
a 是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可. 【详解】
由已知，0n a ≠，因1130n n n n a a a a +++-=，所以1113n n a a +-=，所以数列1{}n a 是以 111a =为首项，3为公差的等差数列，故611(61)316a =+-⨯=，所以6a =116. 故答案为：
116
【点睛】
本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题. 14．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，
将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12
，则小球落入A 袋中的概率为__________．
【答案】
34
【解析】 记小球落入B 袋中的概率()P B ，则()()1P A P B +=，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B 袋，所以有()33
111224
P B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()314P A P B =-=．故本题应填34． 15．已知数列{}n a 满足：点(),n n a 在直线210x y -+=上，若使1a 、4a 、m a 构成等比数列，则m =______
【答案】13
【解析】
【分析】
根据点在直线上可求得n a ，由等比中项的定义可构造方程求得结果.
【详解】 (),n n a Q 在210x y -+=上，21n a n ∴=+，
14,,m a a a Q 成等比数列，241m a a a ∴=，即()81321m =+，解得：13m =.
故答案为：13.
【点睛】
本题考查根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于基础题. 16．已知过点O 的直线与函数3x y =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数9x
y =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是 【答案】3log 2
【解析】
【分析】
通过设出A 点坐标，可得C 点坐标，通过BC ∥x 轴，可得B 点坐标，于是再利用OA OB k k =可得答案.
【详解】
根据题意，可设点(
),3
a
A a ，则(),9a
C a ,由于BC ∥x 轴，故9a C
B y
y ==，代入3x y =，
可得2B x a =，即(
)2,9
a
B a ，由于A 在线段OB 上，故OA
OB k
k =，即
392a a
a a
=，解得
3log 2a =.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，CB 2GF,BF CF ==.
（1）求证：AB CG ⊥；
（2）若BC CF =，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见证明；6
【解析】 【分析】
（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF ，易证四边形CDFG 为平行四边形，即//CG DF ，由于BF CF =，
D 为BC 的中点，可得到DF BC ⊥，从而得到CG BC ⊥，即可证明CG ⊥平面ABC ，从而得到
CG AB ⊥；
（Ⅱ）易证DB ，DF ，DA 两两垂直，以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，求出平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =v
，设AE 与平面BEG 所成
角为θ，则sin cos ,AE n
AE n AE n
u u u v v
u u u v v u u u v v θ⋅=〈〉=⋅，即可得到答案． 【详解】
解：（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF .
由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，从而//BC FG . ∵2CB GF =，∴//CD GF ，
∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.
∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ，
∴CG ⊥平面ABC ，而AB Ì平面ABC ， ∴CG AB ⊥. （Ⅱ）连结AD .
由ABC ∆是正三角形，且D 为中点，则AD BC ⊥. 由（Ⅰ）知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ， ∴DF
AD ⊥，DF BC ⊥，
∴DB ，DF ，DA 两两垂直.
以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.
设2BC =，则()
003A ,,，13,
3,2
E ⎛⎫
- ⎪
⎪⎝⎭，()1,0,0B ，()
1,3,0G -， ∴13,3,22AE u u u v ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()
2,3,0BG =-u u u v ，33,3,22BE ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v .
设平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =v
.
由0{0BG n BE n ⋅=⋅=u u u v v u u u v v 可得，230{3330
2x y x y z -+=-++=. 令3x =，则2y =，1z =-，∴()
3,2,1n =-v
.
设AE 与平面BEG 所成角为θ，则6
sin cos ,AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉==⋅u u u v v
u u u v v u u u
v v .
【点睛】
本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．
18．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈满足关系式233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的通项公式是332
1
log log n n n b a a +=
⋅，前n 项和为n T ，求证：对于任意的正数n ，总有
34
n T <
. 【答案】（1）3n
n a =（2）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）根据公式
1n n n a S S -=-得到()132n n a a n -=≥，计算得到答案. （2）11122n b n n ⎛⎫
- ⎪+⎝⎭=，根据裂项求和法计算得到111112212n T n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭
，得到证明. 【详解】
（1）由已知得()2n ≥时，()11233n n n n S S a a --=－－，故()132n n a a n -=≥. 故数列{}n a 为等比数列，且公比3q =.
又当1n =时，11233a a =-，13a ∴=.3n n a ∴=.
（2）()33211log l 112og 122n n n b n n a a n n +=
==⋅+⎛⎫
- ⎪+⎝⎭
.
12n n T b b b ∴=+++L 1111111
112324352n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝
⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎣=
⎭⎦L 11113
122124
n n ⎛⎫=
+--< ⎪++⎝⎭. 【点睛】
本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
19．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）.
（Ⅰ）证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；
（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值6
6
N 点位置；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）存在，此时N 为BC 的中点.
【分析】
（Ⅰ）证明PE ⊥平面EBCD ，得到平面PEB ⊥平面EBCD ，故平面PBC ⊥平面PEB ，EM ⊥平面
PBC ，得到答案.
（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，MQ ⊥平面EBCD ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角，设2PE EB BC ===，BN x =，计算得到答案. 【详解】
（Ⅰ）∵PE EB ⊥，PE ED ⊥，EB ED E =I ，∴PE ⊥平面EBCD . 又PE ⊂平面PEB ，∴平面PEB ⊥平面EBCD ，
而BC ⊂平面EBCD ，BC EB ⊥，∴平面PBC ⊥平面PEB ， 由PE EB =，PM AB =知EM PB ⊥，可知EM ⊥平面PBC ， 又EM ⊂平面EMN ，∴平面EMN ⊥平面PBC .
（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，由PE EB ⊥知//PE MQ ， 易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD ，
过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥（三垂线定理）， 即MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角， 不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，
在Rt EBN ∆中，设BN x =（02x <<），由Rt ~Rt EBN ERQ ∆∆得，
BN EN
RQ EQ
= 即2221x x RQ +=，得222RQ x =+，∴24
tan MQ x MRQ RQ x
+∠==， 依题意知6
cos MRQ ∠=，即24
tan 5x MRQ +∠=
=，解得1(0,2)x =∈， 此时N 为BC 的中点.
综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值
6
6
，此时N 为BC 的中点.
本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案.
20．设椭圆2
2:12
x E y +=，
直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l P 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.
(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 【答案】 (Ⅰ
) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【解析】 【分析】
(Ⅰ)
计算得到故A ⎛- ⎝⎭
，1,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭
，C ⎛ ⎝⎭
，1,D ⎛ ⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到21222212242122
21k m
x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，计算AB =，
同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.
(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故11
2PQ k k k
=-≠-，得到结论. 【详解】
(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N
，故2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，1,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，1,2C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，1,2D ⎛- ⎝⎭. 故四边形ABCD
的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2
212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，故()22222
214220k x k mx m k +-+-=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，故212222
122421
2221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，
()
2222
22
2
1212122
1688114121
k k m AB k x x k
x x x x k
k -+=+-=++-=++，
同理可得2222
2
1688121
k k n CD k
k -+=++，
AB CD =，故2222222
2
22
16881688112121
k k m k k n k
k k k -+-++=+++， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.
(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则2
21
112x y +=，222212
x y +=，
相减得到
()()()()1212121202
x x x x y y y y +-+
+-=，即20a kb +=，
同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11
222PQ d b d b k c a kd kb k k
--=
==-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】
本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21．某保险公司给年龄在2070-岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.
年龄 （单位：岁） [)20,30
[)30,40
[)40,50
[)50,60 []60,70
保费 （单位：元）
x
2x
3x
4x
5x
（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求x 精确到整数时的最小值0x ；
（2）经调查，年龄在[]60,70之间的老人每50人中有1人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为
12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元.某老人年龄66岁，若购买该项保险(x 取()1中的0x ).
针对此疾病所支付的费用为X 元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y 元.试比较X 和Y 的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？ 【答案】（1）30；（2）()()E Y E X >，比较划算. 【解析】 【分析】
（1）由频率和为1求出0.032a =，根据a 的值求出保费的平均值3.35x ，然后解一元一次不等式
3.35100x ≥ 即可求出结果，最后取近似值即可；
（2）分别计算参保与不参保时的期望()E X ，()E Y ，比较大小即可. 【详解】
解:（1）由()0. 0070.0160.0250.020101a ⨯++++=， 解得0.032a =.
保险公司每年收取的保费为:
()100000.070.1620.32 3.0.2540.20510000 3.35x x x x x x +⨯+⨯+⨯+⨯=⨯
∴要使公司不亏本，则10000 3.351000000x ⨯≥，即3.35100x ≥ 解得100
29.85,3.35
x ≥
≈ ∴030x =.
（2）①若该老人购买了此项保险，则X 的取值为150, 2150.
()()491
,215050 10
550P P X X ==
==Q ∴491
()1502150147431905050
E X =⨯
+⨯=+=(元). ②若该老人没有购买此项保险，则Y 的取值为0. 12000.
()()4910,120005050
P Y P Y ==
==Q ∴491
()0120002405050
E Y =⨯
+⨯=(元). ()()E Y E X >Q
∴年龄为66的该老人购买此项保险比较划算.
【点睛】
本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题. 22．已知函数2()x f x e ax =-
（1）已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对称，又函数()f x 在1x =处的切线与2l 垂直，求实数a 的值；
（2）若函数()(2)1g x e x =-+，则当0x >，1a =时，求证： ①()()f x g x ≥； ②1(ln 1)x e ex x x --≥-. 【答案】（1）e
12
a =+（2）①证明见解析②证明见解析 【解析】 【分析】
（1）首先根据直线关于直线对称的直线的求法，求得2l 的方程及其斜率.根据函数()f x 在1x =处的切线与2l 垂直列方程，解方程求得a 的值. （2）
①构造函数()()()h x f x g x =-，利用()h x 的导函数证得当0x >时，()0h x ≥，由此证得()()f x g x ≥. ②由①知2e (e 2)10x x x ----≥成立，整理得2e (e 2)1x x x ---≥成立.利用构造函数法证得
ln 1x x +≤，由此得到2(ln 1)x x x +≤，即e (e 2)1(ln 1)x x x x ---≥+，化简后得到
1(ln 1)x e ex x x --≥-.
【详解】
（1）由10,220,x y x y --=⎧⎨--=⎩解得1,
0.x y =⎧⎨
=⎩
2l 必过1l 与l 的交点(1,0)A .
在1l 上取点(0,2)B -，易得点(0,2)B -关于l 对称的点为(1,1)B '--，
2l 即为直线AB '，所以2l 的方程为
011011
y x --=----，即210x y --=，其斜率为1
2.
又因为2()e x f x ax =-，所以()e 2x f x ax '=-，(1)e 2f a '=-， 由题意1(e 2)12a -⨯
=-，解得e
12
a =+.
（2）因为1a =，所以2
()e x f x x =-.
①令()()()h x f x g x =-，则2()e (e 2)1x h x x x =----， 则()e 2(e 2)e e 2(1)x
x
h x x x '=---=---， 且(1)0h '=，()e 2x
h x ''=-，
(,ln 2)x ∈-∞时，()0h x ''<，()h x '单调递减； x (ln 2,)∈+∞时，()0h x ''>，()h x '单调递增.
因为(1)0h '=，所以min ()(ln 2)4e 2ln 20h x h ''==--<，因为(0)3e 0h '=->， 所以存在0(0,1)x ∈，使()00,x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；
()0,1x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.
又(0)(1)0h h ==，所以0x >时，()0h x ≥，即2
e (e 2)10x
x x ----≥，
所以()()0f x g x -≥，即()()f x g x ≥成立.
②由①知2e (e 2)10x x x ----≥成立，即有2e (e 2)1x x x ---≥成立. 令()ln x x x ϕ=-，即11()1x x x x
ϕ-'=-=.所以(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ 单调递增；
(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，所以()(1)1x ϕϕ≤=-，即ln 1x x +≤，
因为0x >，所以2
(ln 1)x x x +≤，所以0x >时，e (e 2)1(ln 1)x
x x x ---≥+， 即0x >时，1(ln 1)x
e ex x x --≥-. 【点睛】
本小题考查函数图象的对称性，利用导数求切线的斜率，利用导数证明不等式等基础知识；考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想，数形结合思想和应用意识.
23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为22
12
x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=. （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P(2,1)，求|PA|⋅|PB|的值.
【答案】（1）直线l 的普通方程30x y +-=，圆C 的直角坐标方程：2
2
430x y x +--=.（2）6
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系式即可求解. 【详解】
（1）直线l
的参数方程为
2
2
1
2
x t
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣3＝0.
圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣3＝0.
（2）把直线l
的参数方程为
2
2
1
2
x
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
（t为参数），代入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x﹣3＝0，
得到260
t-=，
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝6.
【点睛】
本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.。