人教版数学九年级上学期课时练习- 一元二次方程解法-因式分解法(知识讲解)(人教版)

专题21.11 一元二次方程解法-因式分解法（知识讲解）
【学习目标】
1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
知识要点一：因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 特别说明：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；
（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。

知识要点二：换元法解一元二次方程
1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知
识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.
2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,
当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目
的.
【典型例题】
类型一、用因式分解法解一元二次方程
1．用适当的方法解下列方程：
(1)2430x x -+= (2)2(3)2(3)x x x -=-
【答案】(1)11x =，23x = (2)13x =-，23x =
【分析】
根据因式分解法解一元二次方程即可．
(1) 解：2430x x -+=
(1)(3)0x x --=
解得11x =，23x =
(2) 2(3)2(3)x x x -=-
(3)(32)0x x x ---=
(3)(3)0x x ---=
解得13x =-，23x =
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
举一反三：
【变式1】用适当的方法解方程：(1)23210x x +-=． (2)()()2122x x x +-=-．
【答案】(1)11x =-，213
x =； (2)11x =，24x =- 【分析】
()1将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
()2先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x 的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
(1) 解：()213210x x +-=，
()()1310x x +-=，
则10x +=或310x -=，
解得11x =-，213
x =， 所以，原方程的解为11x =-，213
x =； (2) ()()2122x x x +-=-
()()()21210x x x ∴+-+-= ，
则()()140x x -+=，
10x ∴-=或40x +=，
解得11x =，24x =-．
所以，原方程的解为11x =，24x =-．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
【变式2】解方程： (1)x 2－x －2＝0； (2)3x (x －2)＝2－x ．
【答案】(1)x 1＝2，x 2＝－1 (2)x 1＝－13
，x 2＝2 【分析】
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
(1) 解：x 2－x －2＝0，
(x －2)(x ＋1)＝0，
x －2＝0或x ＋1＝0，
x 1＝2，x 2＝－1．
(3) 3x (x －2)＝2－x ，
3x (x －2)＋(x －2)＝0，
(3x ＋1)(x －2)＝0，
3x ＋1＝0或x －2＝0，
x 1＝－13
，x 2＝2． 【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
类型二、用换元法解一元二次方程
2．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知()()3410x y x y +-++=-，求x y +的值．
解：设t x y =+，则原方程变形为()()3410t t -+=-，
即220t t +-=
∴()()210t t +-=
得t 1＝﹣2，t 2＝1
∴2x y +=-或1x y +=
已知()()
2222427+-++=x y x y ，求22x y +的值． 【答案】5
【分析】先换元，再求出t 的值，最后求出答案即可．
解：设220=+≥t x y
∴()()427-+=t t
即22150--=t t ，
∴()()530-+=t t ，
解得：15t =，23t =-（舍去）
∴225x y +=
即22x y +的值为5．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
举一反三：
【变式1】解方程：22110x x x x
+++=． 【答案】1x =- 【分析】设1 y x x
=+，用完全平方公式将方程化为关于y 的一元二次方程，求出方程的解得到y 的值，即为1x x +
的值，进而求出x 的值，将x 的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解． 解：设1
y x x =+， 则222211()22x y x x x
+=+-=-， 原方程化成220y y +-=，
解这个方程，得11y =，22y =-，
当y ＝1时，1x x
+=1，即210x x -+=．由30=-＜，此方程无实根， 当y ＝－2时，12x x +
=-，即2210x x ++=， 解得：121x x ==-，
经检验，x ＝－1是原分式方程的解，
∴原方程的解为x ＝－1．
【点拨】题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用22211()2x x x x
+=+-进行转化，进而设1 y x x
=+，将原方程转化为一元二次方程． 【变式2】解方程：256022x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
【答案】1125
x =
，21x = 【分析】先设：2x y x =-得到2560y y --=解出y 的值，再求解x 的值并把结果进行检验即可得到答案； 解：设2
x y x =- ， 原方程化为：2560y y --=，
运用十字相乘法得到：()()610y y -+=，
解得126,1y y ==-，
当16y =时62x x =-，解得1125
x =， 当21y =-时
12x x =--，解得21x =， 经检验，1125
x =
和21x =原方程的分母均不为0， 故原方程的解为：1125x =或21x =； 【点拨】本题主要考查了用换元法求解一元二次方程，掌握换元法求解一元二次方程的步骤是解题的关键．
类型三、因式分解法解一元二次方程的应用
3．阅读例题，解答问题：
例：解方程220x x --=． 解：原方程化为2
20x x --=． 令y x =，原方程化成220y y --=
解得12y =，21y =-（不合题意，舍去）． 2x ∴=．2x ∴=±．
∴原方程的解是1
2x =，22x =- 请模仿上面的方法解方程：()2
15160x x ----=．
【答案】17x =，25x =-
【分析】
根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可． 解：原方程化为215160x x ----=． 令1y x =-，原方程化成2560y y --=．
解得16y =，21y =-（不合题意，舍去）． 16x ∴-=，
16x ∴-=±．
∴原方程的解是17x =，25x =-．
【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造∴PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE =AO ，设点P 运动的时间为t 秒．
（1）当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标；
（2）当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；
（3）在线段PE 上取点F ，使PF =2，过点F 作MN ∴PE ，截取FM = ，FN =1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，直接写出所有满足条件的t 的值．
【答案】（1）32t =
，（ 92
，0）；（2）见解析；（3） 121t =-，t 2=1.5. 【分析】 （1）由C 是OB 的中点求出时间，然后确定OP ，即可求出点E 的坐标；
（2）连接CD ，根据平行四边形的性质可得：OG GP =，CG GD =，在由线段的数量关系可得：AG GE =，依据平行四边形的判定定理即可证明；
（3）C 的坐标是()062t ，﹣，P 的坐标是(),0t ，则F 的坐标是()2,0t +，
E 的坐标是()3,0t +，D 的坐标是(),26t t -，设CE 的解析式是()0y kx b k =+≠，将点坐标代入即可确定函数解析
式，同理可得DE 的解析式，然后分两种情况讨论：当M 在CE 上时，M 的坐标是(t +；当N 在DE 上时，N 的坐标是()21t +-，
；将M 、N 两点坐标分别代入求解即可． （1）解：132
BC OC ==， 则 32t = ，32OP = ， 则39322
OE OP PE OP OA =+=+=
+=， 则E 的坐标是9,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）解：连接CD ，如图所示：
∴四边形PCOD 是平行四边形，
∴OG GP =，CG GD =，
∴AO PE =，
∴OG AO GP PE +=+，
即：AG GE =
∴四边形ADEC 是平行四边形；
（3）解：C 的坐标是()062t ，
﹣，P 的坐标是(),0t ，则F 的坐标是()2,0t +，E 的坐标是()3,0t +，D 的坐标是(),26t t -．
设CE 的解析式是()0y kx b k =+≠，
则()62{30b t
t k b =-++=， 解得：62{263
b t
t k t =--=+， 则CE 的解析式是()26623
t y x t t -=+-+， 同理DE 的解析式是()
2262339t t y x -+-=， 当M 在CE 上时，M
的坐标是(t +，, 则()(
)262623t t t t -++-=+，
解得：21t =-
当N 在DE 上时，N 的坐标是()21t +-，
，
则 ()()
226133
922t t t -+-+=-， 解得： 1.5t =，
综合可得： 121t =-2 1.5t =．
【点拨】题目主要考查平行四边形与动点问题，包括平行四边形的判定和性质，一次函数解析式的确定，一元二次方程的求解等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式2】某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________；
(2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量；
(3)若有n （n 为偶数，且2n ≥）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为________．（用含n 的代数式表示）
【答案】(1)12；42 (2)该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110 (3)122n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
【分析】
（1）由图可知，依次写出图1到图5的盆景的数量，盆花的数量；推导出一般性规律：图n 中盆景的数量为：2n ；盆花的数量为：()1n n +，将6n =代入求解即可；
（2）由题意知，()21130n n n ++=，求出满足要求的n 值，进而可得盆景，盆花的数量； （3）根据推导出的一般性规律作答即可．
(1) 解：由图可知，盆景的数量依次为：12⨯、22⨯、32⨯、42⨯、52⨯······
盆花的数量依次为：12⨯、23⨯、34⨯、45⨯、56⨯·
·····
∴可推导出一般性规律：图n 中盆景的数量为：2n ；盆花的数量为：()1n n + ∴图6中盆景的数量为：2612⨯=；盆花的数量为：()66142⨯+=
故答案为：12；42．
(2)由题意知，()21130n n n ++=
整理得+-=231300n n
()()10130n n -+=
解得10n =，13n =-（不合题意，舍去）
当10n =时，盆景数量为221020n =⨯=，盆花数量为13020110-=
∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110．
(3)由一般性规律可知，当有n 盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为122n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
故答案为：122n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
． 【点拨】本题考查了图形类规律探究，列代数式，解一元二次方程．解题的关键在于推导出一般性规律．。