认识分数(许卫兵)

简于“形”而精于“神”
——许卫兵《认识分数》教学片段赏析
刘忠珍吴汝萍
片段一：课前调节，师生互动
师：同学们喜不喜欢猜谜语？我们来猜一下数学谜语吧。

第一个谜语：考试成绩（打一个数学名词）。

生：分数。

师：你真聪明。

我们再看第二个：再见了，妈妈（猜一个数学名词）。

生：上学。

师：上学也变成数学名词了？不过上学了，的确要和妈妈说再见。

生：分数线。

师：有点接近了，很靠近了啊。

生5：分子。

生6：分母。

师：与母亲分别，就是“分母”呀。

母亲与孩子分别了，也就是“分子”呀。

有意思吧，再来一个怎么样？成语“七上八下” （猜一个数）。

生：7/8 。

师：请同学们想一下，八分之七怎样写？
学生徒手书空八分之七。

【赏析】课前交流简于“形”而精于“神”。

许老师抓住孩子喜欢猜谜语的心态，在课前的互动中，让学生进行猜数学谜语活动，“考试成绩”、“再见了妈妈”，“七上八下”这三个简单的谜面，谜底分别是分数、分母和八分之七，都和分数有关系，有效唤起学生对分数知识的回忆。

课堂上，学生的兴趣高涨，注意力很快指向“分数”。

片段二：情境引入，有效复习
师：我们都知道小猴喜欢吃水果，猴妈妈给4个小猴子带来了两盒水果，小猴可激动了。

我们打开看看，是什么？打开第一盒，呀，是——
生：一个苹果。

师：把一个苹果分给4个小猴要怎么分才合适呢？
生：分4份。

师：随便分4份吗？
生：要平均分成4份。

师：这个词加得好，是什么词？
生一起说：平——均——
师：平均分就是4份一样大小（显示四等份图），那么每个小猴分得这个苹果的多少？
生：1/4 。

师：1/4是个什么数？
生：分数。

师：大家学过分数吗？
生：学过。

师：你们只学过一个分数吗？为什么只想到了1/4，不用别的分数表示？
生：因为把一个苹果平均分成4份，一个小猴拿走一份，所以用1/4表示。

师：因为平均分了4份，一个小猴吃1份，就吃了这个苹果的1/4。

教师边说，边在分母4与分子1的后面用红笔添上“份”。

师：这两个“份”字，我们写的时候要不要写？
生：不要。

师：但我们要把它们记在心里。

如果平均分了5份，每个小猴吃多少？
生：1/5。

【赏析】复习引入简于“形”而精于“神”。

学生在三年级上学期初步认识了把一个物体平均分，其中的一份或几份可以用分数表示。

许老师通过设置“猴妈妈分苹果”这一简单有趣的情境，帮学生复习了分数的意义，并很快找准了学习新知识的起点。

“你们只学过一个分数吗？为什么只想到了，不用别的分数表
示？”一句看似不经意的简单追问，问出了分数的本质，凸现了平均分后的“份”数，让学生心中有“份”。

片段三：选材有道，有效构建
师：我们再看第二盒苹果，也要分给4个小猴，要想分得公平，必须怎么办？
生1：平均分成4份，然后每只小猴分一份。

师：每个小猴还是得到这盒苹果的1/4，那你们猜猜有几个？
有的猜2个，有的猜4个，有的猜8个。

师：不管有几个苹果，猴妈妈要公平，都要——
生：平均分成4份，每个小猴分1份。

打开盒子，有8个苹果。

师：有8个苹果，平均分成4份，要怎样分？
指名一同学上台用教鞭圈画出4份后，教师在课件上显示出虚线。

师：还可以怎么分？
指名另一位同学上台分，教师随后在课件上显示出虚线。

师：虚线的作用可大了，它可以让我们很快看出平均分成了几份。

每一个小猴分到这盒苹果的几分之一？
生：1/4。

师：老师想到了一个问题，刚才分一个苹果，其中一份是它的1/4，现在我们分8个苹果，其中一份还用1/4表示，这是为什么？
生：因为有4只小猴，要平均分4份，每个小猴得1份，所以用1/4表示。

师：不同的是第一个1/4是谁的1/4？
生：一个苹果的。

师：第二个1/4是谁的1/4？
生：8个苹果的。

师：请看大屏幕，现在有几个苹果？谁能用虚线把它平均分4份？
一位学生上台，用教鞭当笔画出虚线的位置，随后教师用课件显示出虚线。

师：谁能说说哪是它的1/4？
生边指边说：每一份都可以看作它的1/4。

师：现在想一想，苹果由1个变成8个，再变成12个，为什么还是用1/4来表示？
生：因为有4只猴子，要平均分成4份，每只猴子拿一份。

师：因为仍然是把它们平均分成了4份，每1份就是它的1/4。

不管有1个苹果，还是一些苹果，只要你把它们平均分了4份，其中一份就是1/4。

师：有20个呢，平均分成4份，其中一份是？
生：1/4。

师：200个呢？平均分成4份，其中一份是？
生：1/4。

师：20000个呢？平均分成4份，其中一份是？
生：1/4。

师：不管有1个苹果，还是一些个苹果，只要平均成了4份，其中一份就是它的——
生：1/4。

【赏析】新知教学简于“形”而精于“神”。

教学素材是数学教学的基石，它直接决定着课堂教学的效益。

教材中的原情境是“把4个平均分成4份，每只小猴分得1份”。

许老师通过研读教材，意识到教材中的每份苹果的“个数”与分得的“份数”正好巧合，学生的注意力容易指向“个数”，而忽视“份数”，因此在复习分“1个苹果”后，直接进入到分“8个苹果”的情境。

本质的东西，往往通过细节体现和彰显。

“虚线”看似简单，却蕴含丰富，让“份数”霎那间显而易见。

教学过程中，许老师就是充分借助不起眼的简单“虚线”，紧紧围绕用虚线分出的“4份”、“1份”来展开，把难以理解的分数，简单、清晰的呈现在学生面前，使学生清楚地认识到分数是分出来的，把总数量平均分成了几份，就是分母，表示其中的一份或几
份就是分子。

最后，在变与不变的比较中，让学生初步感受到1/4这一分数的核心本质，给学生以清晰的思路。

片段四：抓住本质，有效辨析
师：以前我们只分一个物体，现在我们会分多个物体。

现在我们看大屏幕。

（课件出示习题）
师：第一题中红色部分占这个圆片的几分之几？
生：1/5 。

师：为什么？
生：因为一个圆片平均分成了5份，其中一份都占1/5 。

师：第二题中红色部分占这些圆片的几分之几？
生：红色圆片占这些圆片的1/5。

师：第三题中红色部分占这些圆片的几分之几？
生：还是1/5 。

生：2/10。

师：到底用哪个分数呢？
生：1/5。

因为图上画的虚线只分成了5份，没有分成10份。

师：赞同1/5，还是2/10？
生：1/5 。

师：为什么会想到是2/10呢？
生：因为她没有看虚线。

师：虽然有10个圆，并没有平均分成10份，只平均分成了5份，所以用1/5来表示。

如果让你把图改一改，改成用2/10表示，该怎么改？
生：在中间再加一条虚线，两个涂上红色。

师：在中间再加一条虚线，也就是把这些圆平均分成了几份？2个红色的就占这些圆片的几分之几？
生：平均分成了10份，2个红色的就占这些圆片的2/10。

师：为什么这三幅图中的圆片都可以用1/5表示？
生：都表示平均分成5份，红色部分都占其中的1份。

【赏析】基础练习简于“形”而精于“神”。

1/5与2/10的数值虽然相等，但所表示的意义完全不同。

通过组织学生比较、辨析，学生认识到1/5是把圆片平均分成5份，取其中的一份，而2/10是把圆片平均分成10份，取其中的2份。

学生在比较、选择的过程中，进一步明晰分数的本质。

接着引导学生比较三个1/5，让学生认识到虽然总数不同，但都是平均分成5份，都可以用1/5表示的本质，并让学生初步体会到分数与之相对应的具体数量之间的关系。

基本练习的素材虽然很少，形式也简单，但练习的内涵十分丰富，完美地诠释了简约高效课堂教学模式的魅力。

片段五：趣味练习，简约高效
屏幕上显示神气的孙悟空图像。

师：孙悟空神通广大，有七十二变。

孩子们，只要你们说“变”，他就会变。

生：变。

师：没变？你们声音太小了，要大点声。

生大声喊：变——
屏幕上变出18个孙悟空。

师：涂色的猴子用什么分数表示？
生：1/3。

师：为什么？
生：因为平均分成了3份，涂色的占其中的1份。

师：还要他变吗？说变他就变。

生激动地喊：变——
屏幕上变出54个孙悟空。

师：现在涂色的小猴子用什么分数表示？为什么？
生:1/6，因为平均分成了6份，涂色的占1份，所以用1/6表示。

师：还想变吗？你们再叫呀！
生开心大叫：变——
屏幕上变出96个孙悟空，其中涂色的有8只。

师：现在涂色的小猴子用什么分数表示？
生：1/12 。

师：我没看到12啊，你是估算的吗？
生：一共有3条，每条可以平均分4份，三四十二，我是算出来的。

师：加上一点虚线就看出来了（师点出虚线），这样清楚地看出涂色的占总数的——
生：1/12。

【赏析】拓展练习简于“形”而精于“神”。

此处练习，许老师奏响的是简约与高效的完美乐章，生动而不失深度。

许老师让“72变”的孙悟空融进练习，并用风趣幽默的语言激励学生参与练习的热情。

孙悟空在同学们的三次呐喊声中，大显身手，变化出多样的具有挑战性的练习题：18个孙悟空的1/3、54个孙悟空的1/6、96个孙悟空的1/12。

练习的形式虽然简约，但练习的过程自然、流畅、轻快，练习的思维层次环环相扣，层层推进。

课堂上高潮迭起，学生在乐中学，乐中悟，学得轻松、愉快，而思维在孙悟空的大变身中一步步走向深入。

教师成了真正意义上的学习组织者、引导者与合作者，不着痕迹地引导学生理解了分数的核心意义。

《河北教育》（教学）2010年6月
教学细节决定教学效果
江苏省金湖县实验小学吴汝萍 211600
为了让学生关注圆的面积与半径平方的关系，苏教版新课程标准实验教材在“圆的面积”这一课首先安排了下面的探究活动：
不难理解，此探究活动是通过数方格的方法使学生体会圆面积大约是正方形面积（半径平方）的3倍多一些，即π倍。

此内容的添加，可谓匠心独运，独树一帜。

但在课堂教学中如若处理不当，探究效果则大打折扣。

往年使用此教材，认为学生已获得数方格算不规则图形面积的经验，就放手让学生自主探究。

结果，学生按常规将不满整格的都按半格计算。

如图1：正方形的面积是16平方厘米，而在1/4圆中，整格有8个，半格有7个，用8+7÷2算出1/4圆的面积是11.5平方厘米，用11.5×4算出圆的面积是46平方厘米。

46÷16的商还不足3，得不到圆的面积是正方形面积的3倍多一点，更无法联想到π倍。

这时，教师规定其中两个接近整格的都改成按整格计算，但从学生纳闷的眼神中，似乎能读出学生内心的迷茫：数方格算面积的方法怎么变了？为什么要变？
虽然规定其中的两格按整格计算后，理论上可以得出圆的面积大约是正方形面积的3倍多一点。

但1/4圆所占的方格比较多，加之学生数方格算不满整格图形的面积原本就容易错，现又改变了原有数、算的经验，所以，学生数、算准确性更低，速度也相当慢，教师只得替代学生数、算出正确的结果，等学生将图2、图3及表格填写出来后，半节课的时间已经匆匆过去。

今年再教此内容，想到往年在此处费时费力的情况，不少教师担心时间不够，建议将此内容跳过去，即按传统教材的做法，直接让学生将圆转化成长方形，探究出圆的面积公式。

然后重点让学生记住公式，并利用公式解决有关实际问题。

笔者没有删繁就简，而是改变了一下探究的细节，结果真正体验到了新教材编排上的魅力。

[课堂片段]
出示图1（正方形中无格线），引导学生观察：
师：看图，你能发现什么？
生：圆的半径是4厘米，正方形的边长是4厘米。

正方形的面积是16平方厘米。

生：圆的半径就是正方形的边长。

师：圆的半径的平方就是什么？
生：圆的半径的平方就是正方形的面积。

师：圆的面积与圆半径的平方即这个正方形的面积有什么关系呢？
教师在正方形里添上边长是1厘米的方格。

接着引导学生观察：
这里每个方格的面积是多少平方厘米？这个正方形里有多少方格？面积是多少平方厘米？
生：每个小方格的面积是1平方厘米，正方形里有16个方格，正方形的面积是16平方厘米。

师：注意观察这个正方形，被分成了两个部分，一部分是空白的，一部分是有阴影的，阴影部分的面积与圆面积有什么关系？
生：阴影部分的面积是圆面积的1/4。

师：我们学过用数方格的方法估算不规则图形的面积，现在如果要估算出这个圆的1/4的面积，即正方形中阴影部分的面积，你认为是直接估算阴影部分的方格方便，还是估算空白部分的方格方便？为什么？
生：估算空白部分的方便，因为空白部分的少，容易看出来。

师：估算出空白部分的面积后，怎么得到1/4圆的面积？
生：用正方形的面积减去空白部分的面积就是1/4圆的面积。

师：好样的，这样就将复杂的问题简单化了，这在数学上，叫什么思想方法？
生：转化！
师：对，是转化！这节课我们就用转化的思想方法探究圆的面积。

师：数一数，估一估，你认为正方形中空白部分的面积大约是多少平方厘米？在这里将不满整格的都按半格计算合适吗？估计后与同座位的同学交流一下。

生：将不满整格的都按半格计算不合适，因为好几个占的太少了。

我们估计空白部分的面积比3平方厘米多，但不足4平方厘米。

生：我们估计是3.5平方厘米。

师：他们把空白部分的面积看成是3.5平方厘米，大家认可吗？如果空白部分的面积是3.5平方厘米，那1/4圆的面积是多少平方厘米？
生：正方形的面积是16平方厘米，16-3.5=12.5，1/4圆的面积大约是12.5平方厘米。

师：好的，我们知道了1/4圆的面积大约是12.5平方厘米，那这个圆的面积大约是多少平方厘米？
生：12.5×4=50，圆的面积大约是50平方厘米。

师：现在我们再来估算一下，这个圆的面积大约是这个正方形面积的几倍？
生：50÷16，圆的面积大约是这个正方形面积的3倍多一点。

接着让学生按上述方法，算出教材中其他两个圆的面积：
学生很容易估出空白部分的面积分别是2平方厘米和5.5平方厘米，又分别算出1/4圆的面积是7平方厘米和19.5平方厘米，很快填出下表：
师：填了这个表，你发现了什么？
生：发现圆的面积大约都是正方形面积的3.1倍。

师：对，通过数方格，我们发现这三个圆的面积都是以半径为边长的正方形面积的3倍多一点。

你能猜想到什么？
生：所有圆的面积都是以半径为边长的正方形面积的3倍多一点。

生：圆的周长是直径的3倍多一点，是π倍。

圆的面积正好也是以半径为边长的正方形面积的3倍多一点，我猜想也是π倍。

猜想是否正确呢，后面引导学生用“转化”的方法变“圆”为“方”探究圆的面积，在学生得出圆面积的计算公式S=πr2后，引导学生回头对照图1思考，验证先前的猜想是否正确。

师：r2在图1、图2、图3中就是谁的面积？
生：r2就是正方形的面积。

师：对，r2是半径的平方，就是以半径为边长的正方形面积。

S=πr2说明什么？
生：说明圆的面积就是以半径为边长的正方形面积的π倍。

师：说明我们开始的发现、猜想正确吗？
师：我们知道一个圆中的哪些条件，就一定能算出这个圆的面积？
生：圆的半径、圆的直径、圆的周长或者以半径为边长的正方形的面积。

师：其中，你最想知道什么条件？
生：以半径为边长的正方形面积。

[解决问题]
（1）一块正方形钢板的面积是80平方分米，在这个正方形里截下一块最大的圆形钢板（如下图），求这个圆形钢板的面积。

（2）小红家有一张方桌，边长是90厘米。

如果把它的四边撑开，就成了一张圆桌面（如下图），请算出撑开后圆桌面的面积。

往年，学生虽然能熟记圆的面积公式，知道了圆的面积是半径平方的倍，但在遇到上面这些相关实际问题时，绝大多数学生感到解答困难，无从下笔。

在教师不做任何提示的情况下，第（1）题正确率不足20%，第（2）题的正确率几乎是0%。

经过教师细致讲解后，50%的同学仍旧恍恍忽忽、似懂非懂。

今年，学生在解答第（1）题时，绝大多数同学能将大正方形平均分成4个小正方形（如下图），知道其中的一个小正方形的面积就是半径的平方，能很快用80÷4×3.14算出圆形钢板的面积，正确率在90%以上。

第（2）题，也有不少同学能将圆内正方形沿对角线分成4个相同的小三角形，知道其中的两个小三角形的面积拼起来就是圆内以半径为边长的正方形的面积，即半径的平方。

所以，有的同学用90×90÷4算出一个三角形的面积，再乘2、乘3.14算出了圆的面积，也有的同学用90×90÷2×3.14轻而易举算出了圆的面积，正确率在40%以上。

经过讨论交流后，95%以上的同学茅塞顿开，豁然开朗。

【教学反思】
往年是让学生直接数、算正方形中阴影部分（即1/4圆）的方格，虽然最终也得出圆的面积大约是正方形面积的3倍多一点，但并不是学生真正自主探究得来的，而是教师匆匆忙忙生拉硬拽的结果，学生体验不深。

今年是有意识让学生转化了思路，改成数、算正方形中空白部分的方格，避免了“数方格求面积”方法估算出的圆面积偏小的缺陷。

学生能很快估算出比较合理的答案，然后较准确地得出圆的面积，最终顺利得出圆的面积大约是正方形面积的3倍多一点的结论，由此再猜想出圆的面积是正方形面积的π倍。

通过这次教学，笔者进一步想到，直接数1/4圆所占用的方格得到的圆面积偏小，而用数、算空白部分的方格再转化的方法得到的圆面积实际是偏大的，那么更准确的面积在这两者之间。

若能引导学生认识到这一点，这堂课的思维含量会更高。

细节决定成败，同样的教材，同样的探究内容，只因改变一点点探究的细节，探究效果迥异。

从后面解决实际问题的效果看，更能说明探究方法差之毫厘,长远的探究效果则差之千里。

所以，有效的探究过程需要建立在学生自己的理解和
体验的基础之上，教者生拉硬拽探究过程、简单告诉探究结果，让学生死记硬背探究结论，最终则是低效或无效的。

新教材很多地方与传统教材有明显区别，如果教者把握不准新教材的意图，仍沿袭传统的教育教学模式，就不能使新教材发挥出“新”的功用。

如果新教材提供给学生的探索空间及自主性、个性化学习精神的培养被教师所忽视，或被教师所误解，必然出现新教材在应试方面还不及传统教材的现象，这也正是一些教师对新教材产生疑惑或否定的主要原因。

其实，很多时候，课堂上只需要一点点的改变，创造性地组织好一些教学细节，教学效果就会有质的飞跃。

所以，教师在使用新教材的过程中，不能墨守成规，要努力创新，结合学生认知水平，努力在思维上改变一点点，在方法上改变一点点，在习惯上改变一点点，在态度上改变一点点，哪怕只是一点点，或许呈现在我们面前的新教材就会容光焕发，光彩照人，就能引领学生的思维向纵深方向挺进，收到意想不到的教学效果。

《小学数学教师》2009年3月刊。