热学第三章气体分子速率和能量统计分布律

v0 2v0 3v0 4v0 5v0 v
i
1 9
v0 2
2 9
3v0 2
3 9
5v0 2
2 9
7v0 2
1 9v0 92
5v0 2
2021/4/24
15
例4：讨论下列各式的物理意义
1. f (v)dv
平衡态下，分子速率分布在v → v+dv区间内的分子数 占总分子数的比率。
2. Nf (v)dv
求：1） 速率在 vp ~ v 间的分子数；2）速率在 vp ~
间所有分子动能之和 . 3）速率在 1 ~ 2 区间的分子
平均速率。
解： 速率在 v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
1）
v v Nf ( )dv
vp
2）
vp
1 2
mv2 Nf
(v)dv
3）
2 Nf ()d
1~2
f (v) 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v2
2πkT
dN 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v2dv
N
2πkT
反映理想气体在热动平衡
波尔兹曼常量
f (v) dN Ndv
f (v)
条件下，气体分子按速率
分布的规律 .
o
v
三 三种统计速率
1）最概然速率 v p
f (v)
f max
df (v) 0 dv vvp
v1
v1
平衡态下，分子速率分布在v1 → v2区间内的分子数。
例 5已知f v为 N 个（N 很大）分子组成的系统的速率分
布函数。（1）分别写出图 （a）、（b）、(c)中阴影面积
对应的数学表达式和物理意义
（a）
（b）
（c）
f vp v dv 0 速率在 0 ~ v p 区
f v dv
即：在速度空间中，在速度分
量 v x ，附v y近，v的z 小立方体
区间dv范x d围v y内dv的z 代表点数（即分 子数）就是麦克斯韦速度分布
中的
d Nvx ,vy ,vz
d Nvx ,vy ,vz N f ( vx ,vy ,vz )dvxdvy dvz
在平衡态下，速度分量介于 vx ~ vx d vx 、vy ~ vy d vy 、
f (v)
N
N
v vf (v)dv
8kT
0
πm
o
v
v 1.59 kT 1.59 RT
m
3）方均根速率 v2
N v2dN v2Nf (v)dv
v2 0
0
f (v)
N
N
v2 f (v)dv 0
o
v
v2 3kT m
v2 3kT 3RT 1.73 RT
m
vp v v2
v 1.59 kT 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ59 RT
vp (H2 ) 2000m/s vp (O2 ) 500m/s
四、麦克斯韦速度分布律
的麦速克度斯分韦布最规早律用。概分率子统处计在的方附法近导单出位了速理度想空气间体间分隔子内
的概率。
速度空间
以 v x v为y v轴z 的直角坐标系所建立的空间。
速度空间是能够同时表示分子的速度矢量的大小和方
25.00%
速率区间（m/s）分子数的大约比率
V——V+ΔV ΔV=100m/s
20.00%
0-100
1.4%
100-200
8.1%
15.00%
200-300 300-400
16.1%
10.00%
21.5%
400-500
20.5%
5.00%
500-600 600-700
15.1%
0.00%
9.2%
700-800
vp
速率大于 v p 的 分子数占总分子
v1 Nf v dv
vp
速率在
v
p~
v1区
间内的分子数.
间内的分子数占总分 数的百分比
子数的百分比
二 麦克斯韦气体速率分布定律
单个分子的质量
1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想气体分子在三 个方向上做独立运动的假设导出了麦克斯韦速率分布规律。
麦氏分布函数
vz ~ vz dvz 内的分子数比率为：
dN vxv y vz N
(
m
2 kT
3
)2
e m( vx2 vy2 vz2
)/
2kT dvx dvy dvz
f vx ,vy ,vz dvxdvy dvz
就是麦克斯韦速度分布律。
从麦克斯韦速度分布导出速率分布
麦克斯韦速率分布表示了在速度空间中,所有其速率
第三章气体分子速率和能量统计 分布律
概率统计基础知识
对于由大量分子 组成的热力学系 统从微观上加以 研究时，必须用 统计的方法 .
............ ........... ............ ........... ............ ........... ............
f (v)
物理意义
表示在温度为 T 的平衡
dS
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总数的
o v v dv
v 比率。
dN f (v)dv dS
表示速率在v v dv
区间的分子数占总分子数的
N
比率 .
归一化条件
0N
dN N
0
f
(v)dv
1
f (v)
dN f (v)dv dS N
根据分布函数求得
o
vp
v
mNA , R NA k
vp
2kT 1.41 kT
m
m
vp 1.41
RT
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然
速率 v p 附近单位速率间隔内的相对
分子数最多 .
2）平均速率 v
v v1dN1 v2dN2 vidNi vndNn N
N
v 0 vdN 0 vNf (v)dv
以 NN为 纵坐标，以速率 为v横坐标
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
分子速率分布图
表示在温度为T的平衡状态下，速率在 v附近单
位速率区间 的分子数占总数的百分比，仅是υ的 函数.
速率分布函数：
f (v) lim N 1 lim N 1 dN v0 Nv N v0 v N dv
13
例3
N 个假想的气体分子，其速率分布如图所示，（1）根据
N 和 v0 求 a 的值；（2）求速率在 2v0 到 3v0 间隔内的分子 数；（3）求分子的平均速率。 N f(v)
解：（1） 9 v0 a / 3 N
a
a N 3v0
2a/3
（2） N av0 N / 3
a/3
（3）v vi Ni / N
小球在伽尔顿 板中的分布规 律.
实验总结：
（1）在一定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生也可能 不发生，我们就称这样的事件为随机事件。这里“小球落入特 定的槽中”就是一个随机事件。 （2）投入大量的小球，每个槽中小球分布不均匀。但有一定的 规律（正态分布）。 （3）重复投入同等数量的大量小球，每个槽中的小球个数具有 稳定的平均值。 （4）对具体某一次实验而言，落在特定槽中的小球数目有涨落。 这种对大量偶然事件的整体起作用的规律称之为统计规律。统 计规律和涨落现象互相依存。
平衡态下，分子速率分布在v → v+dv区间内的分子数。
3. nf (v)dv n N V
平衡态下，分子速率分布在v → v+dv区间内的分子数 密度。
4. v2 f (v)dv v1
平衡态下，分子速率分布在v1 → v2区间内的分子数占 总分子数的比率。
5. v2 Nf (v)dv v2 dN
率最大.
例 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均 根速率 2 .
H 0.002 kg mol 1 R 8.31J K1 mol 1
O 0.032 kg mol 1
T 300K
2
3RT
氢气分子
2 1.93103ms1
氧气分子
2 483m s1
例 已知分子数 N ，分子质量 m，分布函数 f (v)
向的直角坐标系。 v z
O
vy vx
每个分子的速度在速度空间中的表示
vz
v
P
O
vy vx
气体处于平衡态时，所有分子的速度矢量的大小可以由
0到∞范围的任意值，其方向可包括自坐标原点向任意方
向。由此可知：速度矢量的端点（矢端）——代表点可 以在速度空间的任意位置，所以分子按速度矢量的分布 规律可以用这些矢端在速度空间的分布来表示。
大量分子无规则运动及它们之间频繁地相互碰撞; 分子以各种大小不同的速率随机地向各个方向运动; 在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动量和能量， 使每一分子的速度不断地变化。 处于平衡态的气体，虽然每个分子在某一瞬间时的速 度大小、方向都在随机的变化着，完全是偶然的，但 大量分子之间存在着一种统计相关性。 一定温度下，分子速度或速率平方的平均是确定的常 数，分子按速度的分布函数f(v)是一定的。
m
vp
2kT m
2RT 1.41 RT
方均根速率
1 m 2 3 kT
2
2
2 3kT 3RT
m
例.在 0 oC 时，
H2 分子 2 O2 分子 2
3 8. 31273 2.02 103
1836m/
s
3 8. 31273 32 103
461m/
s
在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。
即：在任一瞬时,一个气体 分子在速度空间中与一个代
表点相对应,气体的N 个分子 对应有N 个代表点。这样就
构成代表点在速度空间中的 一种分布图形，如图所示。
在平衡态下，速度分量介于 vx ~ vx d vx 、vy ~ vy d vy 、
vz ~ vz d vz 内的分子数 d Nvx ,vy ,vz
4.8%
1
v
800以外
2.9%
以 N为纵坐标，以速率 为v 横坐标得到的图。
N
以 N为纵坐标，以速率 为v 横坐标会得到下图。
N
N
N
N ：分子总数
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
S N N
表示速率在 v v v
子数占总数的百分比 .
区间的分
S 与速率 v有关，与速率间隔 有v 关
解：（1） 9 v0 a / 3 N
a
a N 3v0
2a/3
（2） N av0 N / 3
a/3
（3）v vi Ni / N
v0 2v0 3v0 4v0 5v0 v
i
1 9
v0 2
2 9
3v0 2
3 9
5v0 2
2 9
7v0 2
1 9v0 92
5v0 2
长春理工大学
例2：
2021/4/24
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
........
.. .. .. .. .. .. .. .. .
i 设 Ni为第 格中的粒子数 .
粒子总数 N Ni
i
概率 粒子在第i格中出现的 可能性大小 .
i
lim
N
Ni N
归一化条件
i
i
Ni iN
1
气体分子热运动的特点是:
§1 气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
气体分子的速率范围：0
将速率从0→∞分割成很多相等的速率区间：
0
v v v
v
v 为速率间隔
N 为总分子数
N为速率分布在 v v 间隔v 内的分子数
N 为速率分布在 v v v 间隔内的分子数占总分
N 子数的比率
实验结果举例
0℃氧气分子速率分布
在T= 300K , p= 1.013×105 Pa 时
n
p kT
1.013 105 1.38 1023 300
m3
2.66 1025 m3
vp 1.41
RT
v 1.59 RT
v2 1.73 RT
f (v) T1 300 k
T2 1200 k
o vp1 vp2
v
N2 分子在不同温度下 的速率分布
S
速率位于 v v dv内分子数:
o
v1 v2 v
dN Nf (v)dv
速率位于 v1
v2
区间的分子数
N
v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
S
N (v1 N
v2 )
v2
v1
f
(v)dv
例1
N 个假想的气体分子，其速率分布如图所示，（1）根据
N 和 v0 求 a 的值；（2）求速率在 2v0 到 3v0 间隔内的分子 数；（3）求分子的平均速率。 N f(v)
介于 v v 范d围v内的分子的代表点都落在以原点为球
心，半径为 的厚v度为 的一d薄v 层球壳中的概率，如图
所示。 根据分子混沌性假设，气体
分子速度没有择优取向，在各 个方向上应该是等概率的，这
说明代表点的数密度 n(v是)球 对称的， n仅(v仅)是离开原点的 距离 的函v数。
f (v)
O2
H2
o vp0 vpH
v
O2和 H2 同一温度下不同 气体的速率分布
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
1
2 Nf ()d
1
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
上数据求出氢气和氧气的最概然速率 .
f (v)
vp
2RT
M (H2 ) M (O2 )
o
2000 v/ ms1 vp (H2 ) vp (O2 )
vp (H2 ) (O2 ) 32 4 vp (O2 ) (H2 ) 2