天津工业大学工程力学复习材料

BD
刚度合格
五、平面弯曲：
当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁 的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。 三类强度计算： 校核强度 设计截面
M max WZ [ ]
WZ
M max [ ]
计算最大荷载
M max WZ [ ]
危险截面是弯矩绝对值最大的面 危险点是危险面上距中性轴最远点
620.75N.m 1432.5N.m
max AC
T1 Wp

16T1
d
3 1

16 620.75 103
40
3
49.4MPa[ ]
max DB
T2 Wp

16T1
d
3 2

16 1432.5 103
70
3
21.3MPa [ ]
强度合格 （3）刚度校核
1.41 +
_ 3.8
x=3.1m _ 3
(kN· m) M
+ 2.2
例
M=3kN.m,
q=3kN/m,
a=2m
解：求A、B处支反力 FAY=3.5kN;FBY=14.5KN 剪力图：如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB=-8.5kN BD：q<0,FQB=6kN 弯矩图： AC：q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.M CB：q<0,抛物线,FQ=0,MB=6.04 BD：q<0,开口向下，MB=-6kN.m
所以：一组平行轴，对过质心的轴的惯性矩最小。
弯曲正应力强度条件
σ max
M
y max max Iz
[ σ
]
脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
t ,max [ t ]
c ,max [ c ]
注：对于脆性材料，让中性轴靠近受拉的一侧 因为脆性材料的抗拉强度小于抗压强度。
解决三类强度问题
•校核强度已知T 、D 和[τ]，确定 max •设计截面已知T 和[τ]，由 [ ]
T Wt
max
Iz
确定截面尺寸.
•确定许可载荷已知D 和[τ]，由 T [ ] W [ ] t 确定外载荷.
max
IZ
轴两端的相对扭转角为
Tili i 1 G I pi
2 .5kN.m
t ,max
4 103 52 10 3 7.64 10 6
27.2 106 Pa 27.2MPa [ t ]
max
T WP

T 1 d3 16

600 16 3.14 0.04
3
47.8MPa
（3）轮在合理位置时的最大扭 转角
max
600 0.5 0.015rad 4 0.04 GI P 9 80 10 32
T l
3、图示阶梯形圆轴的AC 段和CB 段的直径分别为 d 1 4 cm 、
请绘出下面梁的内力图
例1：悬臂梁ABC由铸铁材料制成，其许可拉应力[σ t]=40 MPa，
许可压应力[σ
c
]=160 MPa，载荷F = 44 kN
若该梁截面为b×h＝108×200mm的矩形，试校核其强度
F
B
C
600
A
1400 2F
h
b
解：作ABC梁的弯矩图，最大正弯矩， 最大负弯矩。
M max 35.2 kN m
剪力、弯矩与外力间的关系
外 力
无外力段
q=0
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
P C
集中力偶
m C
Q Q 图 特 征
水平直线
Q Q
斜直线
Q x x
自左向右突变
Q Q1 C x
无变化
Q
C
x
x
Q<0
x
Q>0
斜直线 M M1 x 图 x x x x x 特 M 征M M M M 2 M M 增函数 降函数 上凹 上凸 折向与P同向 M1 M 2 m
例2:已知: DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l,
450 , P,各构件自重不计。
求:A,E支座处约束力及BD杆受力。
例3： 图示结构中，A 处为固定 端约束，C 处为光滑接触，D处为 铰链连接。已知：F1= F2400N， M=300N.m，AB=BC=400mm。 DC=CE=300mm，=45°不计各 构件自重，求固定端A处与铰链D 处 的约束力。
d4
32

T WP
极惯性矩
实心圆： I p 空心圆： I p
( D4 d 4 )
32
d 3 16

D4
32
(1 4 )
抗扭截面模量
实心圆： WP
空心圆：
WP
D
3
16
(1 4 )
4、强度条件
max
Tmax [ ] Wp
T [ ] 是否成立? Wt
试校核该轴的强度和刚度。
C
D
1m
B
0.5m 0.3m
解（1）外力偶矩的计算
M 9550 P n 13 200 30 200 620.75 N .m 1432.5 N .m
Me1 A
M e2
M e3
C
D
1m
B
M e1 9550 M e 3 9550
0.5m 0.3m
(2) 强度校核 AC段和DB段均危险
F F
剪切面
F
F Fs
F
名义切应力： τ
Fs As

F As
剪切强度条件： max
[ ]
2）挤压：
挤压变形：连接件在压力作用下而出现局部压陷变形 挤压面：两构件的接触面叫挤压面。
名义挤压应力 bs
Fb Abs
挤压强度条件： bs
Fbs Abs
[ bs ]
① 如果挤压面为平面，挤压面的计算面积等 于挤压面面积 ②如果挤压面为半圆柱面，其Abs计算面积等 于过直径的截面面积
低碳钢试件在拉伸时的力学性能
p —— 比例极限：应力应变成正比例关系的应力最大值。 e —— 弹性极限：卸载后试件上不产生塑性变形的应力最大值。
s —— 屈服极限：(下屈服点的应力值)出现大的塑性变形的应力值。 b —— 强度极限；（抗拉强度）材料所能承受的最大应力。

b
E C F
实验时注意 断口特点
80 20 10 120 20 80 80 20 120 20
52mm
（2）求截面对中性轴z的惯性矩Iz y80 203

12 20 1203
80 20 42 2 20 120 282
12 7.64 10 6 m 4
（3）作弯矩图 （4）B截面校核
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。
[ t ] 30MPa, [ c ] 60MPa, 试校核梁的强度。
分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足
t ,max [ t ] , c,max [ c ]
解：（1）求截面形心
z1 52 z yc
一、静力学
1.三力平衡汇交定理 2.平面任意力系向平面内一点简化的结果
3.力偶的性质
4. 物系的平衡问题。 例1已知: F=20kN, q=10kN/m, M=20KN.m L=1m; 求:A,B 处的约束力. 解:取CD 梁,得 FB=45.77kN 取整体 得 F Ay = - 2.32kN F Ax = 32.89kN MA=10.37kN.M
M max 26.4 kN m
M max 35.2 kN m
对于矩形截面，危险截面，在A处，
t max c max
M max Wz

35.2 10 6 108 200 / 6
2
48.89MPa [ t ]
表明A截面下侧拉应力强度条件不足。
例2:
n
5、圆轴扭转时的刚度条件:
max
T GI p
[]
rad/m
max
T GI p

180 π
[]
/m
2、传动轴AC如图所示，主动轮A传递的外力偶矩 M e1 1 kN m
从动轮B、C 传递的外力偶矩分别为 M e 2 0.4 kN m M e3 0.6 kN m ，已知轴的直径 d 4 cm ，各轮的间距
惯性矩
Iz

y 2 dA
A
1、高为h、宽为b的矩形截面：
3 3
b
3 z hb bh hb 3 bh h I Iz z y I y 12 12 12 ， ， 12 z bh 2 I y I Iy I z bh 2 d 4 hb 2 I z d 3 hb 2 ，W W z 2．实心圆截面(直径为d) I y W z 6 W y W yz z h / 2 h / 2 6 b 6/ 2 / 2 b64 6 d / 2 324 D Iz (1 4 ) ， 3．空心圆环截面(外径D，内径d，a=d/D) 64 4、平行轴定理 I = I +Aa2 I = I +Ab2 Z1 Zc y1 yc
Fbs t
Abs dt
d
1.图示联接销钉。已知
F＝100KN，销钉的直
.
F
径d=30mm，材料的许用切应力, []=60 MPa. 。 试校核销钉的剪切强度。若强度不够，应改用
.
. .
多大直径的销钉。
d
F
2、已知P、a、b、l。计算榫接头的剪 应力和挤压应力。
b
3．拉杆头部尺寸如图所示,
已知
[ ] 100 MPa , 许用挤压应力
[σ bs ] 200MPa
校核拉杆头部的强度，
4.钢板厚度t=2.5mm,材料剪切强度极限 b =320Mpa,试求冲一矩形孔需多大的冲
b
剪力P？矩形孔的尺寸b×h=30×20(mm)。
四、扭转
直杆在若干个横截面上受到转向不同的外力偶作用而产生的变形。 外力特点：在垂直于杆轴的平面上作用有力偶。
d 2 7 cm ，轴上装有三个皮带轮。已知由轮B 输入的功率为
N 3 30 kW
轮A 输出的功率为 N 1 13 kW，轴作匀速转动，转速 ，切变模量
n 200 r/min ，材料的许用切应力 [ ] 60 MPa
G 80 GPa
许用单位长度扭转角[´]=2°/m。
M e1 A M e2 M e3
l 50 cm ，切变模量 G 80 GPa
(1) 试合理布置各轮的位置； (2) 试求各轮在合理位置时轴内的最大切应力和最大扭转角。 解： （1）各轮比较合理的位置是： 轮Ⅰ位于中间。在这种情况下 轴的最大扭矩为0.6 kN. m。
M e1 A l M e2 B l M e3 C
（2）轮在合理位置时的最大剪应力：
二、拉压
当杆件受到与其轴线重合的外力作用时，将会产生轴向拉 伸或压缩变形。
受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。 变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。
轴力：
FN A
FN l 变形： l EA
三种不同情况下的强度计算 • 强度校核：在已知荷载、构件尺寸和材料的情况下，构件是否 满足强度要求，由下式检验
变形特点：杆上各个横截面均绕杆的轴线发生相对转动。
1、外力偶矩的计算
m 9549
2、横截面上距圆心为
N n
N kW （千瓦） n rpm （转／分） m N m （牛米）
处任一点剪应力计算公式。
T Ip
3、最大切应力
max
T max Ip
AC
T1 32 180 620.75 32 180 1.77 / m GI P1 Gd14 80 109 2 0.04 4 T1 180 T2 32 180 1432.5 32 180 0.44 / m 4 GI P 2 Gd 2 80 109 2 0.07 4 T2 180
s D C' e B p A
颈缩阶段 颈缩现象
O

图示铰接结构由杆AB和AC组成，杆AC的长度为杆AB长 度的两倍，横截面面积均为A=100mm2.两杆的材料相同，
许用应力[]80Mpa,试求结构的许用载荷[F]
例8-6
（P140）
三、剪切和挤压
1)剪切：
受力特点：外力大小相等、方向相反、相距很近、垂直于轴线。 变形特点：在平行外力之间的截面，发生相对错动变形
增函数 降函数 自左向右折角 自左向右突变 曲线
Q2 Q1–Q2=P
例：外伸梁AB承受载荷如图所示，作该梁的Q— M 图。
F=3kN q=2kN/m Me=6kN· m
C
1m
A
RA
+
4m
D 1m
B RB
解：求支反力
RA 7.2 kN ， RB 3.8 kN
Q (kN) _ 3
4.2
E
3.8