角动量守恒与行星运动

即其运动规律满足：
d 2r dt 2
f
(r)eˆr
E
1 v2
2
U (r)
L r v
其中： eˆr r / r
质点在有心力场中的运动
• 有心力
所谓有心力，就是方向始终指向（或者背向）固定中心 的力
F f (r )eˆr
该固定中心称为力心。在许多情况下，有心力的大小 仅与考察点至力心的距离有关，即
eˆr方向
d 2r m dt2
r
d
dt
2
f (r)
eˆ 方向
m2
dr dt
d
dt
r
d 2
dt 2
0
(2) 两个守恒量
有心力对原点力矩为零，角动量守恒 对上式两边×r后再对时间积分得到：
m 2r
dr dt
d
dt
r2
d 2
dt 2
0
d dt
mr 2
d
dt
0
mr2 d L(const)
T
r0
b2 a
F
mC2 r0
1 r2
m(4 2a2b2
T 2b2 / a
)
1 r2
4
2
m
a3 T2
1 r2
K a3 / T 2 为与行星无关的太阳系普世常数
mM F G
r2
G
4 2
M
K
4
M
a3 T2
太阳系系统为什么是稳定的?
牛顿提出万有引力理论的时候，有人就问：既然宇宙间( 太阳系)只有引力，为什么这些物体不最终塌缩到一起，还能 处于相对分散的状态？
则有： i
i
L LC LCM
即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心 的角动量之和。
两体问题下的角动量表达
两体运动方程：
d 2r dt 2
F
约化质量： m1m2
m1 m2
按照牛顿第二运动定律表述，动量变
化率为作用力，在两体问题中，动量
为：
p dr v
dt
两个质点相对于质心的角动量为：
对应圆的情况
1+
2Eh2 mG 2 M
2
=0
Emin
G2M 2m 2h2
开普勒第三定律的证明
任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星椭圆轨道的半长 轴的立方成正比
T 2 a3
根据前面的计算
a
1
r0
2
,
b
r0
1 2
T
椭圆面积 掠面速度
h
ab /2
2 r02 h(1 2 )3/2
那么
T2
/
a3
dr dt
2
Ep
(r)
const
Ep (r)为有效势能
Ep (r)
L2 2mr 2
Ep (r)
L2
2mr 2
为等效斥力,对应一斥力 mL2/r3 作用在质点上，Ep(r)视 具体的有心力形式而定。
如果只需要知道轨道特征而不求详细的运动情况，那么利
用:
d dt
d
dt
d
d
L mr 2
d
d
h r2
d
d
E mh2
2GM h2
u
u2
du
d
2E mh2
G2M h4
2
(u
GM h2
)2
D2
2E mh2
G2M 2 h4
,
D0
u u0 Dcos( 0)
d (u u0 ) d
D
1
u
u0 D
2
u0
GM h2
那么可以有
1 r
1 r0
r0
cos(
0 )
其中
r0
1 u0
h2 GM
,
r0D
可以说初始角动量使得我们处在的太阳系行星系统稳定
存在。
第一个做出正确解释的是法国科学家、天文学家P.-S. Laplace。
从前面的推导可以直接知道，只要存在不为零的初始角
动量，系统就是稳定的(不考虑太阳和行星的尺寸。)
Ep (r)
L2 2mr 2
Ep (r)
初始角动量在这里扮演斥力的角色，而且随着r的减小，斥力 逐渐增大，变化趋势大于万有引力的变化趋势，在某个r将会 阻止两物体距离进一步缩小。
如果有心力为万有引力的情况 E p (r)
E
p
(r
)
G
mM r
mh2 2r 2
Ep
(r)
GMm r
mh2 2r 2
则有：
E
1 2
m
dr dt
2
mh2 2r 2
GMm r
r
GMm r
根据有效势能表达式做出 势能曲线
利用势能曲线对引力场轨道特征的讨论
质点总能量E的大小决定了质点在有心力场中的运动范围 ，即质点可做不同类型的轨道运动。
即：
MC
dLC dt
不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动量定理仍然适用。
体系的角量与质心的角动量
虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但体系 在质心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相 对原点的角动量并不相同。这一点应该是肯定的， 因为即使在惯性系中相对不同的点的角动量都不相 同，何况质心往往还是一个运动的点。
Ek
1 m(r2 2
r2 2 )
由开普勒第一定律：
r r0
1 cos
r
r0 (1
sin cos
)2
=
r2 r0
sin
由开普勒第二定律
r2 2S C(常量) C / r2 r C sin
r0
那么动能为： 1 C 2 2 sin2 C 2
Ek
2
m
r02
r2
F
m 2r
F f (r)eˆr
有心力存在的空间称为有心力场。如万有引力场、库仑 力场、分子力场。
在前面的课程中指出，有心力场都是保守力场。
有心力场质点运动的一般特征
在有心力场中，质点运动方程为：
m
d 2r dt 2
f
(r)eˆr
其特征为：
(1) 运动必定在一个平面上 – 有心力轨道定律
当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与 初始矢径所构成的平面内运动。往往用平面极坐标 描述运动。取力心为原点，运动方程则为
hL/m
掠面速度的两倍
得到： 令u=1/r
E
mh2 2r 4
dr
d
2
mh2 2r 2
Ep (r)
r2
hdr
d
2[E
Ep m
(r)]
h2 r2
1 du dr
r2
hdu
d
2[E Ep (r)] u2h2
m
如果有心力为万有引力的情况
mM Ep (r) G r GMmu
du
d
2
C 2
r02
2
2 sin
cos
2C 2 r3
r
F = dEk dEk dr dt
dr 1 dEk dt r dt
m
C 2
2
2 sin
r02
cos
r 2
r0
sin
C2 r3
mC2 cos 1 mC2
r2
r0
r
r0r 2
再由开普勒第三定律
T
ab
S
2 ab
C
C
2 ab，
拱点：质点的总能量为E的水 平线与有效势能曲线的交点
拱点的性质： 在拱点处，r取极值，则有
dr vr dt 0
那么可以得到：
r2 GMm r mh2 0
E
2E
解该方程获得拱点处r值。
r
GMm 2E
2
GMm E
2
mh2 2E
E最小值：
0
GMm Emin
2
mh2 2Emin
Emin
i
rC
mCvC
rC
mi
vC
i
mi rCi
vC
( rCi mivCi )
i
i
i
rC mCvC ( rCi mivCi ) i
令：LC rC mCvC rC pC
称为质心角动量
LCM ( rCi mivCi ) ( rCi pCi ) 称为体系相对于质心的角动量
LC rC1 m1vC1 rC 2 m2vC2
m1m2 m1 m2
(r
vC1
r
vC2 )
m1m2 r v m1 m2
r v r p
两体问题
对于质量可以比拟的孤立两体问题，总可以把其中一个 物体看作固定力心，只要另一物体的质量用约化质量代替。 这就是说，无固定力心的两体问题等效于一质量为的质点在 固定力心的有心力作用下的运动。也就把两体问题化成单体 问题。
角动量
继续寻找运动状态中的不变量
课程回顾
• 角动量概念的引入
l r mv r p
L li ri mivi ri pi
i
i
i
• 质点系角动量定理
dL M dt
L l1 l2 ln, M M1 M2 M恒。
质心系的角动量定理
设 LC 为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力对质心的力矩， MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有：
MC
M C惯
dLC dt
由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与质量成正比，方向 与质心加速度相反，对质心的力矩为：
MC惯 rCi (mia) ( mirCi )a 0
体系的角动量与质心的角动量
设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在
质心系 KC 中，体系相对于质心的角动量为 LCM，则有：
L ( ri mivi ) [(rC rCi ) mi (vC vCi )]
i
i
rC mivC rC mivCi rCi mivC rCi mivCi
1+
2Eh2 mG2M
2
r
r0
1 cos( 0 )
这是圆锥曲线方程：
a r0 ,
1 2
1) 0, 圆方程，半径 r r0 2) 0 1, 椭圆方程，偏心率，
b r0
1 2
c/a
近力心点r0 / (1 )，远力心点r0 / (1 ) 3) 1, 抛物线方程，顶点处：r r0 / 2 4) 1, 双曲线方程，焦点在0，开口向左
4 2r04 h2 (1 2 )3
r03
(1 2 )3
2 2r0
h2
4 2
GM
这是一个与行星无关的常数
如何由开普勒定律推出万有引力定律？
根据开普勒第二定律，行星角动量守恒，必定受到以太阳为
力心的有心力作用 。我们可以从功能原理出发求出行星动能
的增量：
Fdr dEk
以太阳为极点的极坐标系中，行星动能可以表示为：
G2M 2m 2h2
讨论：
1) E>0，只有一个拱点
1+ 2Eh2 1
mG2M 2
对应双曲线情况
2) E=0，只有一个拱点
2Eh2 1+ mG2M 2 =1
对应抛物线情况
3) Emin<E<0，有两个拱点
0 1+ 2Eh2 1
mG2M 2
对应椭圆情况
4) E=Emin，两个拱点重合
dt 有心力是保守力，质点机械能守恒
Ek
Ep
1 2
mvr2
1 2
mv2
Ep (r)
E(const)
1 2
m
dr dt
2
r2
d
dt
2
Ep
(r)
E(const)
(3) 有效势能与轨道特征
因L是运动常量，故机械能守恒定律可写为：
E
1 2
m
dr dt
2
L2 2mr 2
Ep (r)
1 2
m