2021年高考数学一轮复习 集合的概念与运算学案

集合的概念与运算
考纲要求
1．集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
2．集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3．集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
知识梳理
1．集合元素的三个特征：______、______、______.
2．元素与集合的关系是____或______关系，用符号____或____表示．
3．集合的表示法：______、______、图示法．
4．常用数集：
数集正整数
集
自然数
集
整数
集
有理
数集
实数集复数集
符
号
5．集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为______、______.
6．子集、真子集及其性质：
对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)；
若集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则A B(或B A)；∅⊆A；A⊆A；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
若集合A含有n个元素，则A的子集有____个，A的非空子集有____个，A的非空真子集有____个．7．集合相等：若A⊆B，且____，则A＝B.
8．集合的并、交、补运算：
集合的并
集
集合的交
集
集合的补集
符号
表示
若全集为U，则集
合A的补集记为
________
Venn图
表示(阴
影部分)
意义
9
（1）、并集的性质：
①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；
④A∪＝_______；⑤A∪B________B∪A.
（2）、交集的性质：
①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；
④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A.
（3）、补集的性质：
①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U＝________；
④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________；
⑥∁U(A∩B)＝(∁U A)________(∁U B)；
⑦∁U(A∪B)＝(∁U A)________(∁U B)．
（4）、①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；
②A∩B＝A∪B⇔____________.
（5）、记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：
card(A∪B)＝____________________________；
card[∁U(A∪B)]＝________________________.
基础自测
1．设M＝{x|x≤211}，a＝2 014，则下列关系中正确的是()．
A．a⊆M B．a∉M C．{a}∉M D．{a}⊆M
2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则
(A
C
U
)∪B为()．
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
3．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B≠∅，则实数
a的取值范围为()．
A．a≤1 B．a＜1 C．a≥1 D．a＞1
4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x
∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，
则实数a的值为__________．
6、设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)
∪T＝()
A．(－2，1] B．(－∞，－4]
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
例题分析
一、集合的概念
【例1－1】已知a∈R，b∈R，若
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
a，
b
a，1＝{a2，a＋b,0}，
则a2 018＋b2 018＝__________.
【例1－2】已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，
且1∈A，则2 018a的值为__________．
跟踪训练1、
1、已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，求a的值．
2、已知全集S＝{1，3，x3－x2－2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果
∁S A＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不
存在，说明理由.
二、集合间的基本关系及运算
【例2－1】
设集合M ＝{y |y ＝||cos 2x －sin 2x ，x ∈R }，
N ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ||
x
－1i |
<2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( )
A ．(0，1)
B ．(0，1]
C ．[0，1)
D ．[0，1]
【例2－2】已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y ＝lg 2a －x
x －(a 2＋1)的定义域为集合B .求满足B ⊆A 的实数a 的取值范围．
【例2－3】设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．
(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．
【例2－4】设全集为U ，在下列条件中，是B ⊆A 的充要条件的有________．
①A ∪B ＝A ；②(∁U A)∩B ＝∅； ③∁U A ⊆∁U B ；④A ∪(∁U B)＝U.
跟踪训练2
1、已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{ x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是_ _______
2、设集合()⎩
⎨⎧⎭⎬⎫∈≤+-≤=R y x m y x m y x A ,)2(2,2
22，
()}{R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,122,，
若≠⋂B A ∅，则实数m 的取值范围是________．
三、Venn 图及其应用
【例3－1】 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )．
A ．[－1,0]
B ．(－1,0)
C ．(－∞，－1)∪[0,1)
D ．(－∞，－1]∪(0,1)
【例3－2】设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )
A ．P
B ．M ∩P
C ．M ∪P
D ．M
跟踪训练3
1.设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x >2}，N ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A ．{x |2<x <3}
B ．{x |x <3}
C ．{x |1<x ≤2}
D ．{x |x ≤2}
2. 如下图所示，I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A ．(A ∩B)∩C
B ．(A ∩∁I B)∩
C C ．(A ∩B)∩∁I C
D ．∁I (B ∩A)∩C
四、新信息题
【例4－1】．设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意
12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集
合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.*
,A N B N ==
B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或
C.{|01},A x x B R =<<=
D.,A Z B Q ==
跟踪训练4
1、已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，
那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个.
2、定义A ⊗B ＝ ⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
z |z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B ，
设A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，则A ⊗B 中所有元素的和为( ) A ．1 B ．3 C ．9 D ．18
3.(2016·江苏启东期末)A ，B 是非空集合，若a ∈A ，b ∈B ，且满足|a －b|∈A ∪B ，则称a ，b 是集合A ，B 的一对“基因元”．若A ＝{2，3，5，9}，B ＝{1，3，6，8}，则集合A ，B 的“基因元”的对数是________．
4.已知有限集A＝{a1，a2，a3，…，a n}(n≥2，n∈N)．如果A
中元素a i(i＝1，2，3，…，n)满足a1a2…a n＝a1＋a2＋…＋a n，
就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合{
－1＋5
2，
－1－5
2}是“复活集”；
②若a1，a2∈R ，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2>4；
③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能是“复活集”．
其中正确的结论有________．(填上你认为所有正确结论的序
号)
五、易错点
【1】已知集合A＝
{x|x2＋x －2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B
＝B，则a＝()．
A．－
1
2或1 B．2或－1 C．－2或1或0 D．－
1
2或1或0
【2】若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
且B⊆A，则由m的可取值组成的集合为__________．
【3】设集合A＝{x|2a≤x＜a+ 4}，B＝{x|x<2或x>6}，则
A∩B=∅,则a的取值范围是()．
A．{a|1≤a≤2} B．{ a |1≤a≤2,或a》4}
C．{ a |1<a<4} D．{ a | a≤4}
随堂练习
1、设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等
于()．
A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3]
2．已知集合A＝{2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈
B，且log x y∈N*}，则集合C中的元素个数是()．
A．9 B．8 C．3 D．4
3．已知集合，，
则等于（）．
A．B．
C．D．
4．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2
＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()．
5．已知集合，集合.
（1）求；
（2）若集合，且，求实
数的取值范围．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．确定性互异性无序性
2．属于不属于∈∉
3．列举法描述法
4．N*(N＋)N Z Q R C
5．有限集无限集
6．2n2n－12n－2
7．B⊆A
8．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}
9．
(1)①⊇②⊇③A④A⑤＝
(2)①⊆②⊆③A④∅⑤＝
(3)①A②∅③U④∅⑤U⑥∪⑦∩
(4)①A⊆B②A＝B
(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)
card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)
基础自测
1．D解析：∵2 014＜211＝2 048，
∴{2 014}⊆M，故选D.
2．C解析：易知U A＝{0,4}，
所以(U A)∪B＝{0,2,4}，故选C.
3．B解析：在数轴上表示出两个集合，可以看到，当a ＜1时，A∩B≠∅.故选B.
4．D解析：由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，故选D.
5．1解析：∵A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B
＝{3}，a2＋4＞3，
∴a＋2＝3，a＝1.
6、解：∵∁R S＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，
∴(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．故选C.
【例1－1】1解析：由题意知b＝0，因此集合化简为
{a,0,1}＝{a2，a,0}，因此a2＝1，解得a＝±1.
经检验a＝1不符合集合元素的互异性，
故a＝－1.故a2 018＋b2 018＝1.
【例1－2】1解析：当a＋2＝1，即a＝－1时，
(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1与a＋2相同，
∴不符合题意．
当(a＋1)2＝1，即a＝0或a＝－2时，
①a＝0符合要求．
②a＝－2时，a2＋3a＋3＝1与(a＋1)2相同，不符合题意．
当a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a＝－1.
①当a＝－2时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意．
②当a＝－1时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意．
综上所述，a＝0.
∴2 018a＝1.
跟踪训练1、
1、解：由于－3∈A，故a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，
解得a＝－1或a＝－
3
2.
当a＝－1时，A＝{－3，－3，12}，不符合集合中元素的
互异性，舍去；
当a＝－
3
2时，A＝⎩⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
－
7
2，－3，12满足题意，故
a＝－
3
2.
2、解：由题意得x3－x2－2x＝0，∴x(x＋1)(x－2)＝0，
解得x＝0，或x＝－1，或x＝2.
当x＝0时，集合A不满足元素的互异性，故舍去；
当x＝－1或x＝2时，经检验满足条件．
∴实数x存在，且x＝－1或x＝2.
【例2－1】解：y＝||
cos2x－sin2x＝||
cos2x∈[0，1]，所以
M＝[0，1]；因为⎪⎪⎪⎪
x－
1
i<2，
||
x＋i<2，又因为x∈R，根据
复数模的定义，x2＋1<2，即x2<1，所以
－1<x<1，从而N＝(－1，1)，所以M∩N＝[0，1)．故选C.
【例2－2】解：由于2a≤a2＋1，当2a＝a2＋1时，即a＝1
时，函数无意义，
∴a≠1，B＝{x|2a＜x＜a2＋1}．
①当3a＋1＜2，即a＜
1
3时，A＝{x|3a＋1＜x＜2}，
要使B⊆A成立，则
⎩⎪
⎨
⎪⎧2a≥3a＋1，
a2＋1≤2，
即a＝－1.
②当3a＋1＝2，即a＝
1
3时，
A＝∅，B＝
⎩
⎨
⎧
x⎪⎪
⎭
⎬
⎫
2
3<x<
10
9，此时不满足B
⊆A；
③当3a＋1＞2，即a＞
1
3时，A＝{x|2＜x＜3a＋1}，
要使B⊆A成立，则
⎩⎪
⎨
⎪⎧2a≥2，
a2＋1≤3a＋1，
即1≤a≤3.又a≠1，故1＜a≤3.
综上所述，满足B⊆A的实数a的取值范围是{a|1＜
a≤3}∪{a|a＝－1}．
【例2－3】
【例2－4】答案 ①②③④ 解析 由韦恩图知①②③④均正确．
跟踪训练2
1、解 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2.
当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≥－2，2m －1≤7，
m ＋1＜2m －1，
解得2＜m ≤4.
综上，m ≤4．
2、解析 ①若m <0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m
＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2
有交点，从而|2－2m －1|2≤|m |，解得
2－22≤m ≤2＋2
2
，与m <0矛盾； ③若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥1
2
时，集合A 表示一个环形区
域，集合B 表示一个带形区域，从而当直线x ＋y ＝2m ＋1与x
＋y ＝2m 中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2
有交点，即符合题意，从而有
|2－2m |
2
≤|m |或
|2－2m －1|
2
≤|m |，解得
2－2
2
≤m ≤2＋2，由于12>2－22，所以1
2
≤m ≤2＋ 2.
综上所述，m 的取值范围是1
2
≤m ≤2＋ 2.
【例3－1】 D 解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2＞0}＝{x |－1＜x ＜1}，
则u ＝1－x 2∈(0,1]，
所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}， A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，
故题图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选
D.
【例3－2】
解：作出V enn 图．当M ∩P ≠Ø时，由图知，M －P 为图中的阴影部分，则M －(M －P )显然是M ∩P .当
M ∩P ＝Ø时，M －(M －P )＝M －M ＝{x |x ∈M ，且x ∉M }＝
Ø＝M ∩P .故选B .
跟踪3
1.解：图中阴影部分的集合表示∁U M 与集合N 的交集，又∁U M ＝{x |x ≤2}，故可知(∁U M )∩N ＝{x |1＜x ≤2}．故选C.
答案 B
2.解析 在集合B 外等价于在∁I B 内，因此阴影是A ，∁I B 和C 的公共部分．
例4-1.选D 跟踪4
2、解：当x ＝0，y ＝1或x ＝0，y ＝2时，xy ＋x
y
＝0；当x ＝2，
y ＝1时，xy ＋x y ＝4；当x ＝2，y ＝2时，xy ＋x
y ＝5，∴A ⊗B ＝
⎩⎨⎧⎭⎬⎫
z |z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B ＝{0，4，5}，0＋4＋5＝9，故选C .
3.答案 13
解析 由题意知，2，1；2，3；2，8；3，1；3，6；3，8；5，3；5，6；5，8；9，1；9，3；9，6；9，8都是A ，B 的“基因元”，共13对． 4.答案 ①③ 解析 ∵
－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－5
2
＝－1，故①是正确的．②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由一元二次方程根与系数的关系，知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个根，由Δ>0，可得t<0或t>4，故②错．③不妨设A 中a 1<a 2<a 3<…
<a n ，由a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n <na n ，得a 1a 2…a n －1<n ，当n ＝2时，即有a 1<2，∴a 1＝1，于是1＋a 2＝a 2，无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确． 易错点
1、 D
2、 3≤m
3、 B
随堂练习
1、A
2．D
3．C
4．B
5.【答案】（1）；（2）
（1），
（2）由可得
若，则，即
若，则，即，综上所述，。