2013年全国勘察设计工程师公共基础考试真题及答案(上午)

19. 已知 n 阶可逆矩阵 A 的特征值为 0 ，则矩阵 2 A 的特征值是： （
1
） 。
（A）
2
0
（B）
0 2
（C）
1 2 0
（D） 20
答案：C。 解析过程：根据特征值的性质， 2 A1 的特征值即为
1 。 2 0
20. 设 1， 2， 3， 为 n 维向量组，已知 1， 2， 线性相关， 2， 3， 线性无关，则下列结论中正 确的是： （ ） 。 （2012 年真题） （B） 1 必可用 2， 3， 线性表示 （D） 1， 2， 3 必线性相关
1n 2 n n! ，… 1 2 x n1
f 0 1 ， f / 0 2 ， f
//
0 2 2 2!，…， f n 0 1n 2 2 n! ，…，
f / 0 f // 0 2 f n 0 n x x x 1! 2! n!
0
f r cos , r sin rdr rdr
（B） 4 d cos f r cos , r sin rdr
0 0

1

1 cos 0
（D） 4 d cos f x, y dr
0 0

1
答案：B 解析过程：令 x r cos ， y r sin ，根据题意作出积分区域的图像可知， 0 主要考点：二重积分的极坐标计算法。
1


1 2 0


6


6
3 1 2
主要考点：定积分的积分法则，定积分的换元法。 7. 若 D 是由 y x ， x 1， y 0 所围成的三角形区域，则二重积分 f x, y dxdy 在极坐标系下的二次积
D
分是： （

0
） 。
cos 0
（A） 4 d （C） 4 d

4
，0 r
1 。 cos
8. 当 a x b 时，有 f / x 0 ， f （A）单调减且凸的 （C）单调增且凸的 答案：C。
//
（ x 0 ，则在区间 a，b 内，函数 y f x 的图形沿 x 轴正向是：
） 。
（B）单调减且凹的 （D）单调增且凹的
2
（A） 2 1 2 x 2 e x 答案：A


2
（B） 2 xe x
2
（C） 2 1 x 2 e x


2
（D） 1 2 x e x
2
解析过程：根据题意分析可知， f / x 应是 e x 的二次导数。
2
f x e x
e


） 。


15. 设 A 为 3 阶方阵，且 （A）-9 （B）-3
1 1 （ A ，则 A 等于： 3 3
） 。
（C）-1
（D）9
1 1 1 1 解析过程：由题意得： A A A ， A 9 。 3 3 3 27
（B）
1 f 2 x 1 C 2
（D） f x C （其中 C 为任意常数）
主要考点：不定积分的凑微分法 f x d x F x C 。
6. 定积分 2
0
1
1 x 1 x2
（ dx 等于：
） 。
（A）

3

3 2
（B）

6

2 3
（C） f x ln 1 x ， 0， 1 答案：B
2 2 解析过程：因为 f x x 3 3 ，所以当 x 0 时导数不存在。 3 3 x
/
1
主要考点：拉格朗日中值定理：如果函数 y f x 满足在闭区间 a, b 上连续，在开区间 a, b 内可导，则在 区间 a, b 内至少存在一点 ，使得 f / 10. 下列级数中，条件收敛的是： （ ） 。
一、单项选择题（共 120 题，每题 1 分。每题的备选项中只有一个最符合题意。 ） 1. 设 f x
x2 1 ，则 x 1是 f x 的： （ ） 。 x 1
（B）可去间断点 （C）第二类间断点 （D）连续点
（A）跳跃间断点 答案：B 解析过程：因为 lim
x 1
x2 1 lim x 1 2 ，但函数在 x 1无意义。 x 1 x1
1 dx cos x
） 。 （D）
1 dx cos x sin x
（B） cot xdx
（C） tan xdx
答案：C 解析过程： dy ln cos x
/
1 sin x dx tan xdx cos x
主要考点：复合函数求导法，微分的定义 dy y / dx 。 4. 设 f x 的一个原函数为 e x ，则 f / x 等于： （ ） 。
主要考点：间断点的判断法。
2. 设 x 1 cos x ， x 2 x 2 ，则当 x 0 时，下列结论中正确的是： （ （A） x 与 x 是等价无穷小 （B） x 是 x 的高阶无穷小 （C） x 是 x 的低阶无穷小 （D） x 与 x 是同阶无穷小，但不是等价无穷小 答案：D 解析过程：
f b f a 。 ba
（A） n 1 答案：A


1n
n
（B） 1n （C） n 1 nn 1


（D） n 1
1

n
n 1 n2
解析过程：
n 1

1n 是交错级数，满足条件收敛，但
n

n 1
主要考点：麦克劳林公式： f x f 0
12. 已知微分方程 y / px y qx （ qx 0 ）有两个不同的特解 y1 x ， y 2 x ，C 为任意常数，则该微分 方程的通解是： （ ） 。 （B） y C y1 y 2 （D） y y1 C y1 y2
（A） 必可用 1， 2 线性表示 （C） 1， 2， 3 必线性无关 答案：B
解析过程：因为 2， 3， 线性无关，所以 2， 必线性无关；又因为 1， 2， 线性相关，所以 1 必可 用 2， 线性表示，则 1 必可用 2， 3， 线性表示。 主要考点：线性无关向量组的部分组一定线性无关，线性相关组的扩大组必线性相关。
（A） y C y1 y 2 （C） y y1 C y1 y 2 答案：D。
解析过程：由题意得： y1 y 2 是齐次微分方程 y / px y 0 的解，所以齐次微分方程 y / px y 0 的通解 为 C y1 y 2 ，则非齐次微分方程的解是选项 D。 主要考点：一阶线性微分方程
3 2
（C）

6

3 1 2
（D）

6

3 1 2
答案：C 解析过程：

1 2 0
1 x 1 x2
dx 2
0
1
1 1 x2 1 x
dx 2
0 1 2 2 0
1
x 1 x2
dx arcsin
1 2 0

1 2 1 1 d 1 x2 2 1 x2 0 2 2 6 2 1 x
5. 设 f / x 连续，则 f / 2 x 1dx 等于： （ ） 。 （A） f 2 x 1 C （C） 2 f 2 x 1 C 答案：B 解析过程： f / 2 x 1dx
1 1 f / 2 x 1d 2 x 1 f 2 x 1 C 。 2 2
） 。
解析：由题意，方程的两个根 r1 1 ， r2 3 ，因此二阶线性方程标准型为 p 2 2 p 3 0 ，答案为 B。
14. 设 A 为 5 4 矩阵，若秩 A 4 ，则秩 5 AT 为： （ （A）2 答案：C 解析过程：秩 5 AT 4 。 主要考点：矩阵与转置矩阵的秩相同。 （B）3 （C）4 （D）5
2
/
x2
2 x 2 xe x ，
2
f / x 2 xe x

2
2e
/
x2
2xe x 2 x 2 1 2 x 2 e x ，选项（A）正确。
2 2
主要考点：原函数的概念，复合函数求导，导数积的求导法则。
解析过程： f / x 0 ，单调递增； f
//
x 0 ，图形凸的，所以选 C。
主要考点：一阶导数、二阶导数的几何意义。
9. 下列函数在定义域上不满足拉格朗日定理条件的是： （
x （A） f x 1， ， 2 1 x2
） 。
（B） f x x ， 1， 1 （D） f x e 2 x， 1， 4
dy Px y Qx 解得求法。 dx
13. 以 y1 e x ， y 2 e 3 x 为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是： （ （A） y // 2 y / 3 y 0 （C） y // 3 y / 2 y 0 答案：B （B） y // 2 y / 3 y 0 （D） y // 3 y / 2 y 0
主要考点：矩阵的相关性质。
1 18. 设矩阵 A 1 1
（A）4 答案：B （B）5
1 1 3 1 （ ） 。 的三个特征值分别为 1 、 2 、 3 ，则 1 2 3 等于： 1 1
（C）6 （D）7
解析过程：由题意得： 1 2 3 1 3 1 5 。 主要考点：特征值的性质。
） 。
1 2 x x 2 1 1 2 2 ，所以 x 与 x 是同阶无穷小，但不是等 因为 x 1 cos x ~ x ， x 2 x ， 2 x 2 x 4 2
价无穷小。 主要考点：无穷小的比较。
3. 设 y ln cos x ，则微分 dy 等于： （ （A）
主要考点：齐次线性方程组有非零解的条件。
17.设 A、B 为同阶可逆方程，则下列等式中错误的是： （ （A） AB A B （C） A B A1 B 1
1
） 。
（B） AB B 1 A1
1
（D） AB B T AT
T
答案：C
1 0 1 0 解析过程：反例： A 0 1 ，B 0 1 。
n 0
2 x n
（B） 2 x n （C） 1 2 n x n
n n n 0 n 1


（D） 2 n x n
n 1
答案：B 解析过程： f
/
x
1 2 x 2
2
，f
//
x
1 2 x 3
2 2 2!
，…， f n x
1n
n
1 条 1 所以级数 是调和级数发散， n n 1 n 1 n n
件收敛。 主要考点：交错级数收敛性的判别，条件收敛的相关概念。
11. 当 x

1 1 时，函数 f x 的麦克劳林展开式正确的是： （ 2 1 2x
n 1
） 。

（A） 1
3
主要考点：矩阵行列式的性质。
2 x1 x 2 x3 0 16. 设齐次线性方程组 x1 x 2 x3 0 有非零解，则 等于： （ ） 。 x x x 0 2 3 1
（A）-1 答案：A （B）0 （C）1 （D）2
2 1 1 1 1 1 1 3 0 ，则 1。 解析过程：由题意得： 1 1 1 0 1 1 0 1 1