第十一章真空中恒定电流的磁场

dQ n sdl q I dt dt
nsqv
q +
Idl
§11－4
运动电荷的磁场
+
0 ( nqsv )dl r0 dB 2 4 r
电流元内总电荷数
S
Idl
q
dB 0 qv r0 一个电荷产生的磁场: B 2 dN 4 r
1. 载流直导线的磁场 求距离载流直导线为a 处一点P
r
B
P
0 Idl sin B dB 2 4 r
根据几何关系
r a csc
2
I
l a cot a cot
dl a csc d
2
Idl
l

a
B
θ 4a
0 I
I
1
2. 载流圆线圈轴线上的磁场
求轴线上一点P的磁感 应强度
Idl
R
r
B dB
B//
dB
4 r 0 Idl 2 2 4 ( R x )
2
0 Idl
O x P
I
B dB
B
x
P
根据对称性
B 0
x
根据对称性
B 0
Idl
R
r
x
dB
B dBx
载流圆线圈的圆心处
B
0 I
2R
如果由N 匝圆线圈组成
B
0 NI
2R
(2) 一段圆弧在圆心处产生的磁场
I
0 I 0 I B 4R 2 R 2

例题11－1： 右图中，求O 点的磁感应强度
0 I 3 30 I R B2 4R 2 8R 0 I B3 (cos 1 cos 2 ) 4R θ1 2 θ 2 0 I 4R 0 I ( 2 3 ) B B1 B2 B3 8R
（1）人类最早认识到的磁现象:
N、S极;同性相斥,异性相吸。
N北极
S南极
单极磁子？？
（2）电流的磁场 1820年奥斯特发现放在通电直导线周围的小磁 针会发生偏转。 I
通过改现象，人们发现了电流的磁效应。
（3）安培假说：
经过研究，人们发现：
磁体 电流 磁体 电流
1822年安培提出:
一切磁现象起源于电荷运动
l l 电动势的定义：单位正电荷绕闭合回路运动一周， 非静电力所做的功.
电动势
W l qEk dl E q q
§十一章：真空中稳定电流的磁场
§11-1基本磁现象
安培假说
我国是世界上认识磁现象最早的国家之一， 东汉时期王充“论衡”中有关于磁石具有指向性 的记载；北宋时期我国已发明指南针用于航海。

1.60 10 2.2 10 10 13(T ) 10 2 (0.53 10 )
6
§11-5 磁场的安培环路定理
静电场: 磁 场:
E dl 0
B dl ?
0
安培环路定理：
磁感应强度沿任一闭合路径L的线积分（B的环流）等 于穿过这个环路所有电流强度的代数和的 倍。

P
O I
0 Idl dB cos cos 2 4 r
R R cos 2 2 1/ 2 r (R x )
dB
B// x
B
2( R x )
2
0 IR
2 2 3/ 2
方向满足右手定则
讨论 (1)
B
x0
2( R x )
2
0 IR
2 2 3/ 2
§11－3
静电场: 取
毕奥－萨伐尔定律
dE
一.毕奥－萨伐尔定律
磁 场：取 Idl dB 0 Idl r0 毕－萨定律：dB 2 4 r 7 2 0 4 10 N A 真空中的磁导率
dq
E dE
B dB
?
单位矢量 r0
单位 1Wb 1T 1m
2
四：磁场的高斯定理
B
S
dS1 1 B1
dS2
2
B2
dΦ B1 dS1 0 1 dΦ2 B2 dS2 0
B cosdS 0
S
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零 （故磁场是无源的.）
B1 0
2
O I
1
3
例题11-2、如图所示，试求一无限长载流薄片外P 点处的磁场，p点与载流片在同一平面内。
解：可以将薄片微分成无限多条无限长载流直线。如 图所示为某一微分所得的宽为dx无限长直线，则它在P点 产生的磁场为：
0dI dB 2x
I
R
dx
I 其中： dI dx LxPLN B S
三:磁通量
s

s
B
B
dS
en
B
磁通量：通过某一 曲面的磁感线数为通过 此曲面的磁通量.

B
Φ BS cos BS Φ B S B en S dΦ B dS dΦ BdS cos
s
Φ s B dS
磁场的安培环路定理的证明
一.磁场的安培环路定理证明
• 围绕无限长载流直导线的圆环流
I
o
B
R
B
0 I
2R
dl
l
B dl LB cosdl
L

dl 0 I 2R
L
0 I
（l 与 I 成右螺旋）
• 围绕无限长载流直导线的任意回路的环流
B
大小： dB 0 Idl sin 2 4 r 方向：右螺旋法则
P
r Idl
例如：
P
r
B
Idl
r
B
r
Idl
B
B0
Idl
r
二.毕－萨定律的应用
I 的磁感应强度 B 0 Idl sin 解： dB Idl a 2 4 r 0 Idl sin B dB 2 4 r
dB的方向垂直于平面向里。总磁场为：
B dB
R L
R
0 I dx 2Lx
I
R
dx
0 I R L B ln 2L R
讨论：如果 R
x
P
L 结果如何？
如果p点不在该平面内呢？
L
例11－3 求绕轴旋转的带电为q圆盘轴线上的磁场 解：电流就是电荷的运动形 成的，要解决该问题就要将圆 盘上运动的电荷视为电流。 圆盘上的面电荷密度为：
2 3
B dB
0 R 2 x
2
2
2 x 2 2 x R
2
例4如图载流长直导线的电流为 I ,
试求通
过矩形面积的磁通量.
B
解 先求 B ，对变磁场 给出 dΦ 后积分求 Φ
I
l
d1 d2
0 I B 2π x
x
B // S
o
0 I dΦ BdS ldx 2π x
磁场的性质： (1) 对运动电荷(或电流)有力的作用; (2) 磁场有功的表现。
磁感应强度的大小
我们选择磁场对电荷的作用来定义磁场的大小，通过 试验发现，磁场对电荷的作用力与一下三方面有关：
（1）电荷的大小；（2）电荷运动速度；（3）电荷运 动速度方向与磁场方向的夹角 对同一运动电荷而言，当其速度与磁场方向相互垂直 时受力最大，受力与 qv 成正比。
（4）磁铁的微观机制
任何物质的分子中都存在分子电流，这些分子电流
形成圆电流，相当于一个基元磁体（小磁铁）。
I 长直螺线管 S N
Molecular current
S
N
电流
？
小磁针
§11-2磁场、磁感应强度、磁感线、磁通量
一. 磁场 磁感强度
磁体 电流
磁体 电流
磁场：在磁体或运动电荷周围存在一种体现 磁力的物质。
LB dl 0 I i
L内
注意：回路方向与电流方向呈右螺旋关系时，电流取 正值，否则取负值。
例如：有如下图的回路 和电流，试求磁场的环流 为多少？ I1
n
I3
L
B dl

I
i
n
i
I2
( I I I )
0 dN qv r0 dB 2 4 r
dN nsdl
注意到毕萨定理中的dB是dN个电荷产生的。 一个运动电荷q 产生磁场为：
qV r B r
一个电荷产生磁场的大小:
| q | V sin B r
方向:
r

P

第十章：电流与电场
一：电流
电荷有规则的运动就形 成了电流
导体中电子或正、负离子 的有规则的运动，形成的电流 称为传导电流。 带电体作机械运动所形成 的电流，称为运流电流。 + + +
S
+ + +
I
导体中产生电流的必要条件是在导体内电场不为零， 即在导体两端有一电势差。
二：电流强度
单位时间内通过导体任一截面的电荷量，称为 电流强度，一般用I 表示 S
积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系满足右螺旋关系时是闭合回路内外所有电流产生的3环流与曲线的形状无关只与包含的电流有的环流为零时l上各点的场不一定都为零安培环路定理对于任意设想的一段载流导线不成立coscos时过圆柱面外p点做一圆周当用其求却要求磁场分布具有对称性这样才能把从积分号中拿出来因而要求磁场的分布具有对称性
dI j dS
如果所选dS与E不垂直则：
dI j dS cos

dS
j
I
四：电源 电动势
非静电力: 能不断分离正负电荷 使正电荷逆静电场力方向运动. 电源：提供非静电力的装置.
I
R +E + + +E
k 非静电电场强度 E : 为单位 k 正电荷所受的非静电力. W q ( Ek E ) dl qEk dl
Φ SB dS
B

l
0 Il
2π

d2
d1
dx x
I
d1
d2
o
x
d2 Φ ln 2π d1
0 Il
§11－4
运动电荷的磁场
三.运动电荷的磁场
0 Idl r0 dB 2 4 r
Idl
电荷密度
P
r
S
0 (nsqv )dl r0 dB 2 4 r
B 方向上的单位面积上的磁感应线数，与B 的大小相等。
I I I
I
经过研究人们发现，磁感线有如下特点：
（1）磁场中磁感线不会相交；
（2）每一磁感线都是环绕电流的闭合曲线。
（2）:磁力线表示的磁感应强度的大小 磁场中某点处垂直B矢量 的单位面积上通过的磁感 线数目等于该点 B的数值.
S B
dq I dt
假设：
dq envddtS
+ + +
+ + +
I
vd 为电子的漂移速度大小
电流强度单位为：A（安培）
I envd S
三：电流密度
电流密度的定义：
方向规定：电流密度的方向即为电场强度E的方向
大小规定：在垂直于电场强度E的面积元dS内， 如果通过的电流为dI；那么定义电流密度为：
r
P
θ2
1
sin d
1
0 I (cos 1 cos 2 ) 4a
0 I B (cos 1 cos 2 ) 4a (1) 无限长直导线 1 0 2 0 I
B 2a
(2) 一特殊形状直导线
讨论
I
2
B
P
方向：右螺旋法则
1
B1 0 2 0 I 0 0 B2 (cos 90 cos180 ) P r 4a a 0 I B 4a
B
v
v r

例题11－5 根据波尔模型，氢原子中电子以 速率v=2.2106m/s在半径为r=0.5310-8cm圆周 上运动，求这电子在轨道中心所产生的磁感应 强度？
0 qv sin 90 B 2 4 r
7 19
B
+
r
- v
解:
0 qv r ˆ B 2 4 r
B
针N极所指方向
Fmax Fmax qvB B 单位:特斯拉T(IS） qv 的方向相同，即在该处小磁 的方向与 F max v
二：磁感线
（1）磁感线 仿效引入电场线描述电场的办法，人们引入磁感线来
描述磁场，磁感线形象的描绘了磁场的分布。磁感线上任 意一点的切线方向与该点的磁场方向一致。且穿过垂直于

r
q
O R
P
dB
x
q / R
dr
2
dq 2rdr
dq 2rdr I rdr dt 2
dq 2rdr rdr I 2 dt

r
q
x
O R
P dB
0r dI 0r dr dB 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 2(r x ) 2(r x )
注意：回路方向与电流方向呈右螺旋关系时， 电流取正值，否则取负值。
例如：有如下图的回路和电流，试求磁场的环流为多少？
I1 I1
L
I2 I 3
I1
n B dl 0 I i i 1
B d l 0 ( I1 I1 I1 I 2 )
L
（I1 I 2） 0