2022-2023学年山东省潍坊市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省潍坊市高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．AB BC CA +-=（ ）
A ．2CA
B ．AC
C ．0
D ．2AC
D
【分析】利用向量的运算法则求解. 【详解】解：AB BC CA +-，
AC CA =-，
AC AC =+， 2AC =， 故选：D
2．点()00,P x y 到直线1x =的距离为1，则0x =（ ） A ．0或2 B ．1或2 C ．0 D ．2
A
【分析】由点到直线的距离求解.
【详解】解：因为点()00,P x y 到直线1x =的距离为1， 所以-=011x ， 解得 00x = 或02x = 故选：A
3．已知向量(),2,6a x =-与()1,,3b y =-平行，则x y +=（ ） A ．1 B ．1- C ．3 D ．3-
B
【分析】根据向量平行列方程，求得,x y 进而求得x y +. 【详解】由于向量(),2,6a x =-与()1,,3b y =-平行， 注意到()()632=-⨯-，
所以()()1222x y ⎧=⨯-⎪⎨-=⨯-⎪⎩
，故2,1,1x y x y =-=+=-.
故选：B
4．直线1l ，2l 的斜率是方程210x mx --=的两个根，则（ ） A ．12//l l
B ．12l l ⊥
C ．1l 与2l 相交但不垂直
D ．1l 与2l 的位置关系不确定
B
【分析】结合根与系数关系、两直线的位置关系求得正确答案. 【详解】设直线12,l l 的斜率分别是12,k k ， 依题意1212,1k k m k k +=⋅=-，所以12l l ⊥. 故选：B
5点()3,3；丙：该圆的圆心为()2,1；丁：该圆经过点()7,0．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
D
【分析】通过假设的方法判断出错误的同学. 【详解】设()()()3,3,2,1,,7,0A B C . 假设甲错误，乙丙丁正确，
AB BC ==
AB BC ≠，矛盾，所以甲正确.
假设乙错误，甲丙丁正确，
由甲、丙正确可知圆的方程为()()2
2
215x y -+-=，
()7,0C 不满足上式，矛盾，所以乙正确.
假设丙错误，甲乙丁正确.
由乙丁得5AC =>. 假设丁错误，甲乙丙正确，
则由甲丙可知圆的方程为()()2
2
215x y -+-=，
()3,3A 满足上式，符合题意.
综上所述，结论错误的同学是丁. 故选：D
6．已知直线()()1:210m x m l y m ++++=经过定点P ，直线l '经过点P ，且l '的方向向量()2,1a =，则直线l '的方程为（ ） A ．230x y --= B ．230x y -+= C ．230x y -+= D ．230x y --=
B
【分析】先求出P ，设l '上一点为(,)A m n ，其中A 与P 不重合，根据l '的方向向量()2,1a =，求出A ，进而利用两点式，求出直线方程.
【详解】对l 化简得，:(21)0l m x y x y ++++=，得210
0x y x y ++=⎧⎨+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩
，点(1,1)P -，
又直线l '经过点P ，且l '的方向向量()2,1a =，可设l '上一点为(,)A m n ，其中A 与P 不重合，
则1211m n +=⎧⎨-=⎩，解得1
2m n =⎧⎨=⎩，故利用两点式，可得l '的直线方程为：
230x y -+=.
故选：B
7．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，点E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，且已知1A E 与BF 所成角的大小为60°，则直线1A E 与平面BCF 之间的距离为（ ）
A ．
B
C
D C
【分析】由1//A E HC ，可得60BOC ∠=，结合题干条件在Rt HBC 中求解可得AH =1//A E HC 可得直线1A E 与平面BCF 之间的距离即为点E 与平面BCF 之间的距离，
作EG FC ⊥可证明EG 为点E 与平面BCF 之间的距离，求解即可.
【详解】
取H 为1AA 中点，连接,,,HB HF FC 不妨令,HC FB 相交于O ， 由于点E 为1CC 的中点，故11,//A H CE A H CE =，
即四边形1A HCE 为平行四边形，故1//A E HC ，故1A E 与BF 所成角的大小与HC 与BF 所成角的大小相等，即60BOC ∠=，
不妨设AH x =，故224,2,8BH x BC CH x +=+
由BC ⊥平面11ABB A ，BH ⊂平面11ABB A ，故90CBH ∠=，点O 为CH 中点， 故OB OC =，又60BOC ∠=，故BOC 为等边三角形，即28
2x OC BC +===， 解得22x =142AA = 连接,EF EB ，作EG FC ⊥于G ，
由于1//A E HC ，1A E ⊄平面BCF ，HC ⊂平面BCF ，故 1//A E 平面BCF ， 则直线1A E 与平面BCF 之间的距离即为点E 与平面BCF 之间的距离，
由BC ⊥平面11CDD C ，EG ⊂平面11ABB A ，故EG BC ⊥，又,,FC BC C FC BC ⋂=⊂平面BCF ， 故EG ⊥平面BCF ，即EG 为点E 与平面BCF 之间的距离， 2222,2,(22)223EC EF CD FC ====+=
故422623
EC EF EG FC ⨯=
=1A E 与平面BCF 26
. 故选：C
8．已知直线2:0++=l ax by r ，点(),A a b 是圆222:C x y r +=内一点，若过点A 的圆的最短弦所在直线为m ，则下列说法正确的是（ ） A ．l 与圆C 相交，且l m ⊥ B ．l 与圆C 相切，且//l m C ．l 与圆C 相离，且l m ⊥
D ．l 与圆C 相离，且//l m
D
【分析】由题可得222
a b r +<2
r >，利用圆的性质可得过点
A 的圆的最短弦与CA 垂直，进而即得.
【详解】因为点(),A a b 是圆222:C x y r +=内一点， 所以222a b r +<，
所以圆心()0,0C 到直线2
:0++=l ax by r 2
r >，
所以直线l 与圆C 相离，
由圆的性质可知当CA m ⊥时，过点A 的圆的弦最短，此时m a k b
=-， 所以//l m . 故选：D.
二、多选题
9．已知a ，b 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．//αβ，a α⊂，//b a b β⊂⇒ B ．a α⊥，b β⊂，//a b αβ⇒⊥
C ．//αβ，//a b ，a b αβ⊥⇒⊥
D ．αβ⊥，a α⊂，b β⊂，a b a β⊥⇒⊥
BC
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A 选项，若//αβ，a α⊂，b β⊂，则,a b 可能异面，A 选项错误. B 选项，由于a α⊥，//αβ，所以a β⊥，由于b β⊂，所以a b ⊥，B 选项正确. C 选项，由于a α⊥，//αβ，所以a β⊥，由于//a b ，所以b β⊥，C 选项正确. D 选项，若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，a b ⊥，则可能a αβ⋂=，D 选项错误. 故选：BC
10．关于直线:0l ax y a ++=，以下说法正确的是（ ） A ．直线l 过定点()1,0-
B ．0a >时，直线l 过第二，三，四象限
C ．0a <时，直线l 不过第一象限
D ．原点到直线l 的距离的最大值为1 ABD
【分析】由:(1)0l a x y ++=确定定点坐标，根据a 的符号判断直线所过的象限，根据OM l ⊥时原点
O 到直线l 的距离的最大求最大距离.
【详解】由:(1)0l a x y ++=过定点(1,0)M -，A 正确；
当0a >，(1)y ax a a x =--=-+过定点(1,0)M -，斜率为负，故过第二、三、四象限，B 正确； 当a<0，=--y ax a 过定点(1,0)M -，且斜率为正，过一、二、三象限，故C 错误； 要使原点O 到直线l 的距离的最大，只需OM l ⊥，即距离等于||1OM =，D 正确. 故选：ABD
11．过点()1,1C 的直线l 与圆22:4O x y +=相交于不同的两点A ，B ，弦AB 的中点为P ，曲线D 为点P 组成的集合，则下列各选项正确的是（ ） A ．AB 的最小值为2
B ．AOB 可能为等腰直角三角形
C ．曲线
D 的方程为2
2
111222x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
D ．曲线D 与圆O 没有公共点
BCD
【分析】由题意求P 的轨迹方程，再由圆的性质，圆与圆的位置关系对选项逐一判断， 【详解】由题意得0PC PO ⋅=，设(,)P x y ，则(1)(1)0x x y y -+-=，
即曲线D 的方程为2
2
111222x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，故C 正确，
对于A ，||2OC =，当OC AB ⊥时，AB 取得最小值24222-=，故A 错误， 对于B ，当OC AB ⊥时，22AB =，AOB 为等腰直角三角形，故B 正确，
对于D ，曲线D 的圆心11(,)22D ，半径2
2
，则22||222OD =<-
，两圆无公共点，故D 正确， 故选：BCD
12．如图，在四棱锥P ABCD -的平面展开图中，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，
2222AB BC CD BE ====，90ABC ABH CBE ∠=∠=∠=︒．在四棱锥P ABCD -中，以下结论正确
的是（ ）
A ．平面PAD ⊥平面PBD
B ．5PA =
C ．三棱锥-P ABC 的外接球表面积为4π
D ．平面PAD 与平面PBC ABD
【分析】由平面图还原立体图，由面面的垂直的判定定理判断选项A ，根据勾股定理计算PA 判断选项B ，先计算底面三角形ABC 外接圆的半径，再由勾股定理计算外接球半径，代入球的面积公式计算即可判断选项C ，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，计算平面的法向量，利用空间向量夹角计算公式求解判断选项D.
【详解】由四棱锥P ABCD -的平面展开图还原立体图， 可得PB ⊥平面ABCD ，BC CD ⊥，2222AB BC CD PB ====， 又,AB AD ⊂平面ABCD ，所以PB AD ⊥，PB AB ⊥，
在直角梯形ABCD 中，
AD BD =2AB =，
所以222AB AD BD =+，即AD BD ⊥，又因为,PB BD ⊂平面PBD ，
PB BD B ⋂=，所以AD ⊥平面PBD ，又AD ⊂平面PAD ，
所以平面PAD ⊥平面PBD ，故A 正确； 因为PB AB ⊥，22AB PB ==，
所以
PA =B 正确；
由题意，ABC 的外接圆半径为12r AC =
==
所以三棱锥-P ABC 的外接球半径为
R === 所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为 2
4π6πS ==⎝⎭
，故C 错误；
由题意，建立如图所示空间直角坐标系，
则()2,1,0A -，()0,1,0B ，()0,0,0C ，()1,0,0D -，()0,1,1P ， 因为PB AB ⊥，BC AB ⊥，PB BC B ⋂=，
,PB BC ⊂平面PBC ，所以AB ⊥平面PBC ，
所以平面PBC 的法向量为()2,0,0AB =， 又()1,1,0AD =-，()1,1,1PD =---，
设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，
则00
00AD n x y x y z PD n ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨---=⋅=⎩
⎪⎩，得()1,1,2n =-，
所以平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值为
26
cos ,626
AB n AB n AB n
⋅<>==
=⨯，故D 正确. 故选：ABD
三、填空题
13．直线210x y +-=的横截距与纵截距的和为______． 3
2
##1.5 【分析】根据直线方程直接求解横纵截距，即可得横截距与纵截距的和. 【详解】解：直线210x y +-=得，当0x =时，1y =；当0y =时，12
x =
则横截距与纵截距的和为13
122+=.
故答案为.3
2
14．已知大小为π
3
的二面角的一个面内有一点，它到二面角棱的距离为2，则这个点到另一个面的
距离为______．
3【分析】首先根据题意，画出示意图，结合直角三角形即可求解.
【详解】如下图，依据题意，设α内有一点C ，过C 作棱的垂线，垂足B ，α与β的夹角即为二面角，即3
ABC π
∠=
.又因为2BC =，在ABC 中，2
CAB π
∠=
，则有cos cos
6
AC
ACB BC
π
∠==
，解得3AC =3
315．点P 在圆()2
222x y -+=上运动，直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，ABP 面积的最大值为______． 6
【分析】先求出,A B 两点的坐标进而结合两点间的距离公式求出AB 的长度，再根据圆
()
2
222x y -+=上点到直线20x y ++=的距离的最大值为圆心()2,0到直线20x y ++=的距离加半
径来求出点P 到直线20x y ++=的距离最大，即可求出结果. 【详解】由题意可知()()2,0,0,2A B --，因此()
()2
2
200222AB =
--+--⎡⎤⎣⎦由于AB 长度为定值，故ABP 面积的最大值时即为点P 到直线20x y ++=的距离最大， 而圆()2
222x y -+=上点到直线20x y ++=的距离的最大值为圆心()2,0到直线20x y ++=的距离
加半径，
又因为圆心()2,0到直线20x y ++=2
2
2022211
++=+
2
所以点P 到直线20x y ++=的距离最大值为22232
因此ABP 面积的最大值为622221
3⨯=，
故6.
四、双空题
16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是棱BC 的中点，点N 是棱1CC 上的一个动点，设点A ，M ，N 确定的平面为α，当点N 为1CC 的中点时，平面α截正方体的截面的面积为______．点
1A 到平面α的距离的最小值为______．
92##4.5 6
【分析】当N 是1CC 的中点时，画出截面，根据梯形面积公式求得截面面积.当N 是棱1CC 上任意一点时，建立空间直角坐标系，利用向量法求得1A 到平面α的距离的表达式，结合二次函数的性质求得其最小值.
【详解】（1）当N 是1CC 的中点时， 连接11,AD BC ，由于11////MN BC AD ，
所以1,,,A M N D 四点共面，所以平面α即平面1AMND ， 根据正方体的性质可知，四边形1AMND 是等腰梯形，
112,22,5MN AD D N AM ====，
所以等腰梯形1AMND 的高为
()
2
2
22232
522⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以截面面积为
222329
222
+⨯=.
（2）当N 是棱1CC 上任意一点时，建立空间直角坐标系如下图所示，
()()()2,0,0,1,2,0,1,2,0A M AM =-，
设()0,2,,02N t t ≤≤，()1,0,MN t =-， 设平面α的法向量为(),,n x y z =，
则20
n AM x y n MN x tz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，故可设()2,,2n t t =， ()10,0,2AA =，
所以1A 到平面α的距离为
12454
AA n n
t ⋅=
+，
2204,45424t t ≤≤≤+≤，
所以当2t =，25424t +=时，1A 到平面α的距离取得最小值为4426
324266
===. 故92；
6
3
五、解答题
17．已知向量()1,1,0a =，()1,0,b c =-，且5a b +=． (1)求c 的值；
(2)若ka b +与2a b -互相垂直，求实数k 的值． (1)2c =± (2)75
k =
【分析】（1）求出()0,1,b a c +=，根据向量模长公式列出方程，求出2c =±； （2）分2c =与2c =-两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k 的值. 【详解】（1）()()()01,0,1,1,0,1,b c a c =-++=，
所以2
15a b c +=+=2c =±；
（2）当2c =时，
()()()01,0,2,,1,,2k b k k k a k +=--=+， ()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=--，
因为ka b +与2a b -互相垂直，
所以()2
31220k k -+-=，解得：75
k =
， 当2c =-时，()()()210,1,2,,0,,ka k k k b k +=-+---=，
()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=--
因为ka b +与2a b -互相垂直，
所以()2
31220k k -+-=，解得：75
k =
， 综上.75
k =
18．已知直线l 过点(2P ，且倾斜角是直线:l y '=倾斜角的1
2倍．
(1)求直线l 的方程；
(2)设直线l 与直线l '的交点为Q ，点R 在直线l '上，若三角形PQR R 的坐标．
0y -=
(2)3,2⎛ ⎝⎭R ，或12R ⎛- ⎝⎭
【分析】（1）求出直线l '的斜率、倾斜角可得，直线l 的倾斜角、斜率，再由直线的点斜式方程可得答案；
（2）求出Q 点坐标，设(),R a b 可得b =，再求出PQ ，(),R a b 点到直线l 的距离利用三角形
PQR 的面积为12=d PQ a 可得答案.
【详解】（1）因为直线:l y '=的斜率为k =2π
3
，
所以直线l 的倾斜角为π
3
l 的方程为)2y x -，
0y -；
（2）由
0y y ⎧=⎪-解得1,2⎛ ⎝⎭Q ，设(),R a b ，所以b =，
3=PQ ，
(),R a b 点到直线l 的距离为=
=
d
所以三角形PQR 的面积为12=
d PQ 解得32a =
或1
2
a =-，
当32a =时，=b 3,2⎛ ⎝⎭R ，
当12a =-时，b =12R ⎛- ⎝⎭
，
即点3,2⎛ ⎝⎭R ，或12R ⎛- ⎝⎭
. 19．已知圆22:2O x y +=，圆C 过点()5,3M 且与圆O 相切于点()1,1N ． (1)求圆C 的标准方程；
(2)若P 是圆C 上异于点N 的动点，P A ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 是切点，求四边形P AOB 面积的最大值．
(1)2
2
8850339x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
【分析】（1）设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，再由圆C 与圆O 相切，切点为()1,1N ，得到切点()1,1N 在直线OC 上，求出直线OC 方程，得到()1,1N 代入，得到方程，从而求出圆心和半径，得到圆C 的标准方程；
（2）通过分析得到当OP 最长时，直角边AP 的长度最长，此时四边形P AOB 面积取得最大值，作
出辅助线，求出OP AP 最大值，求出四边形P AOB 面积的最大值. 【详解】（1）设圆C 的圆心为(),a b ，
=
，化简得28a b +=，
因为圆C 与圆O 相切，切点为()1,1N ， 所以切点()1,1N 在直线OC 上，直线OC 为b
y x a
=， 将()1,1N 代入b
y x a
=
中，得a b =， 联立28a b +=与a b =可得：83a b ==，圆心为88,33⎛⎫
⎪⎝⎭
，
故圆C 的标准方程为22
8850339x y ⎛
⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭；
（2）四边形P AOB 面积可看作两个全等的直角三角形P AO 面积与POB 面积之和， 直角三角形P AO 中直角边AO 长度为2，故只需另一条直角边AP 的长度最长即可， 由勾股定理可知只需OP 最长即可，
显然连接OC 并延长，交圆C 于点P ，此时OP 最长，
为2
2
max
88521323333OP ⎛⎫⎛⎫=++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
此时AP 最长，为2
2max
13285
233AP ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
四边形P AOB 面积的最大值为185810
22233
⨯⨯⨯=
. 20．在三棱锥-P ABC 中，ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，将三角形P AC 绕P A 逆时针旋转至P AD 位置（如图），且二面角D PA B --的大小为90°．
(1)证明：A ，B ，C ，D 四点共面，且AD PB ⊥；
(2)若4PA AB ==，设G 为PC 的中点，求PB 与平面ABG 所成角的正弦值． (1)证明见解析；
(2)4214
【分析】（1）利用反证法，假设ABCD 四点不共面，进而证明假设不成立；再通过证明AD ⊥平面PAB ，可通过线面垂直证明得到线线垂直.
（2）利用向量法，直接计算线面角的正弦值即可.
【详解】（1）证明：PA ⊥平面ABC ，且AD ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
PA AC ∴⊥，PA AD ⊥，AC AD ACD ⊂，平面，
又AC
AD A =，PA ∴⊥平面ACD ，假设ABCD 四点不共面，
PA ⊥平面ABC ，PA ⊥平面ACD ，∴平面ABC ∥平面ACD ，
与平面ABC ⋂平面ACD AC =矛盾，故ABCD 四点共面；
又因为,AB PA AD PA ⊥⊥，所以BAD ∠为二面角D PA B --的平面角，90BAD ∴∠=，即AD AB ⊥，又PA AD ⊥，且PA AB A PA AB PAB ⋂=⊂，，平面，AD ∴⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB ，AD PB ∴⊥
（2）
如图，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 的方向为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -；
(0,0,0),(4,0,0),(2,3,0),(0,0,4)A B C P ，得3,2)G ， (1,3,2),(4,0,0)AG AB ==，设平面ABG 的法向量为(,,)n x y z =，
则00
AB n AG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3200x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令2y =，得(0,2,3)n =-，
(4,0,4)PB =-，4342
sin cos
,732
PB n PB n PB n
θ⋅===
=⨯〈〉∣21．在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -上选择四个顶点，然后将它们两两相连，且这四个顶点组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体，记为四面体Ω．
(1)请在给出的正方体中画出该四面体，并证明；
(2)设Ω的中心为O ，Ω关于点O 的对称的四面体记为'Ω，求Ω与'Ω的公共部分的体积．（注：到各个顶点距离相等的点称为四面体的中心） (1)画图见解析式，证明详见解析（答案不唯一） (2)3
1
6a
【分析】（1）根据正四面体、正方体的知识画图图象，并进行证明. （2）画出Ω与'Ω的公共部分，根据锥体体积公式求得正确答案. 【详解】（1）正方体的边长为a ，面对角线的边长为2a ， 每个面都是等边三角形的四面体是正四面体，
如图所示四面体11B ACD -，它的每条棱长都是2a ，每个面都是等边三角形， 即四面体11B ACD -是正四面体.
（2）依题意可知O 是正方体的中心，
由（1）得Ω对应正四面体11B ACD -，则'Ω对应正四面体11D A BC -，
Ω与'Ω的公共部分是正方体六个面的中心123456,,,,,O O O O O O 为顶点所得的正八面体
123456O O O O O O --，
其棱长为1222a =，
所以体积为312211232226a a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝
⎭.
22．已知曲线C 是到两个定点()2,0A -，()2,0B 5 (1)求曲线C 的方程；
(2)设过点B 的直线l 与C 交于M ，N 两点；问在x 轴上是否存在定点(),0Q t ，使得QM QN ⋅为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． (1)()2
235x y -+=
(2)存在定点()2,0Q ，使得QM QN ⋅为定值4-
【分析】（1）设点(),C x y 5
（2）设直线l 方程为()2y k x =-，点()11,M x y ，()22,N x y 联立曲线C 的方程，利用韦达定理可以
求出2
24241
t
QM QN t t k -⋅=-+
+，由于为定值可知420t -=，可求出参数t 的值，即可得定点坐标和定值，当斜率不存在时，也符合题意.
【详解】（1）设点(),C x y ，由题意可知5AC
AB
=()()2
2
2
2
252x y x y ++=-+整理得()2
235x y -+=，
故曲线C 的方程为()2
235x y -+=.
（2）
设直线l 方程为()2y k x =-，点()11,M x y ，()22,N x y ，
联立()()
22352x y y k x ⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩，得()()()2222
146410k x k x k +-+++=，
所以()()()22
1221212121212
46222414k x x y y k x k x k x x x x k x x ⎧++=⎪⎡⎤⇒=-⋅-=⋅-+++⎨⎣⎦⎪⋅=⎩，
因此
()()()(
)(
)
()21122121212
22
2
2
22121222,,4644212411
QM QN x t y x t y x x t x x t y y k t t t k x x k t x x t t t t k k ⋅=-⋅-=-+++--+-=+-+⋅++=+=-+
++
若420t -=，即2t =时，22424QM QN ⋅=-⨯=-，所以定值为4-， 当斜率不存在时，直线l 为2x =，
联立()2
235x y -+=可求得()2,2M ，()2,2N -，
所以()()()2
2,22,22442QM QN t t t t ⋅=-⋅--=--=-⇒=，符合题意. 故存在定点()2,0Q ，使得QM QN ⋅为定值4-.。