山东大学授课讲稿 山东大学课程中心

山东大学授课讲稿
第三讲
第四章立体的三视图
立体可分为平面立体和曲面立体两类。

如果立体表面全部由平面所围成，则称为平面立体。

最基本的平面立体有棱柱和棱锥（图4—1a、b）。

如果立体表面全部由曲面或由曲面与平面所围成，则称为曲面立体，最基本的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球、圆环及一般回转体等（图4—1c、d、e、f）。

在工程制图中，通常把棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球、圆环等立体称为基本几何体。

图4-1 立体的分类
（a）棱柱（b）棱锥（c）圆柱（d）圆锥（e）圆球（f）圆环
第一节平面立体三视图
一、棱柱的三视图
棱柱是由棱面和上、下底面围成的平面立体，相邻棱面的交线称为棱线。

如图4—2所示为正六棱柱，棱线垂直于H面，顶、底两面平行于H面，前、后两棱面平行于V面。

正六棱柱三视图画图步骤如下（图4-2）：
（1）用点画线画出作图基准线。

其中主视图与左视图的作图基准线是正六棱柱的轴线，俯视图作图基准线是底面正六边形外接圆的中心线（图4-2a）。

（2）画正六棱柱的俯视图（正六边形各边为棱面的积聚性投影），并按棱柱高度在主视图和左视图上确定顶、底两个面的投影（图4-2b）。

（3）根据投影关系完成各棱线、棱面的主、左视图（图4-2c）。

（4）按图线要求描深各图线（图4-2d）。

图4-2 正六棱柱三视图的画图步骤
二、棱锥的三视图
棱锥是由棱面和底面围成，即棱线汇交于一点（锥顶点）。

如图4-3所示四棱锥底面平行于H面，四条汇交的棱线是投影面的倾斜线。

四棱锥三视图画图步骤如下（图4-3）：
（1）画出作图基准线（图4-3a）。

（2）确定锥顶的V、W面投影，并画出底面（矩形）的H面投影（图4-3b）。

（3）根据投影关系完成各棱线、锥面的主、左视图（图4-3c）。

（4）按图线要求描深各图线（图4-3d）。

图4-3 四棱锥三视图的画图步骤
第二节平面立体切割体三视图
一、概述
平面立体被截平面切割去某些部分后的形体称为平面立体切割体（简称平面切割体）。

如图4-4所示的四个形体均为平面立体切割体。

基本体被平面截切后，在它的外形上出现了一些新的表面和交线，这些交线是截平面与立体表面的共有线，因为平面立体由平面围成，所以截平面与立体表面相交的交线均为直线。

由于截平面、立体表面相对于投影面的位置不同，因此所得交线的位置和投影特点也不一样，明确平面切割体上表面和交线相对于投影面的位置和投影特点是画好平面切割体的关
键。

图4-4 平面立体切割体
二、平面立体切割体三视图的画法
绘制平面立体切割体三视图时，应先作如下分析：
分析切割体被切割前的平面体是棱拄还是棱锥。

分析相对于投影面的位置以及是在立体的哪个部位上切割的。

分析被切割后立体表面上产生了哪些新的表面和交线。

分析所产生的表面和交线相对于投影面的位置和它们的投影特点是怎样的。

在以上分析的基础上进行具体画图，其步骤是先画基本体的三视图，再分别按截切顺序依次画出截切后所产生的各表面以及求作被截切后所产生交线的投影（包括两个截平面相交的交线的投影）。

举例如下：
如图4-5A所示切割体的基本体是长方体（即四棱柱体），它的左上角被水平面A和侧平面B切去；右前上方被水平面C和正平面D切去一角。

各截平面与长方体表面的交线以及截平面之间的交线均为相应的投影面垂直线，交线的投影与截切后平面的投影积聚在一起。

具体画图步骤如图3-10b、c、d、e所示。

图4-5 平面立体切割体画图示例
a）立体图 b）画基本体 c）在主视图中画水平面A和侧平面B的V面投影，根据投影关系在俯、左视图中各增加一个线框 d）在左视图中画水平面C和正平面D的W面投影，根据投影关系在主，俯视图中各增加一个线框 e）描深
第三节曲面立体三视图
一、圆柱
圆柱是由圆柱面和上、下两端面围成，圆柱面是由直母线I-I绕和它平行的轴线OO回转而成，轴线OO称为回转轴，在圆柱面上任意位置的母线称为素线，如图4—6所示。

图4-6 圆柱体的形成
图4-7 圆柱三视图的画图步骤
圆柱三视图的画图步骤如下，如图4—7所示：
（１）用细点画线画作图基准线（图4—7a）。

其中，主视图和左视图的作图基准线为圆柱的轴线，俯视图的作图基准线为圆柱底面圆的中心线。

（２）从投影为圆的视图开始作图。

先画俯视图（圆柱面积聚性投影为圆），并确定上、下两端面在V面、W面中的投影位置（图4—7b）。

（３）画出圆柱面对V、W面转向轮廓线的投影。

最后描深（图4—7c）。

二、圆锥
圆锥是由圆锥面和底面围成。

圆锥面是由直母线SA绕与它相交的轴线SO回转而成，如图4—8所示。

圆锥面上通过顶点S的任一直线称为圆锥面的素线。

图4-8 圆锥面的形成
圆锥三视图的画图步骤如下（图4—9）：
（1）画作图基准线（图4—9a）。

主视图与左视图的作图基准线都是圆锥的轴线，俯视图的作图基准线是底面圆的中心线。

圆锥三视图的画图步骤如下（图4—9）：
（2）画作图基准线（图4—9a）。

主视图与左视图的作图基准线都是圆锥的轴线，俯视图的作图基准线是底面圆的中心线。

（3）从投影为圆的视图开始作图。

画出俯视图，并确定圆锥底面及锥顶点在V、W面上的投影位置（图4—9b）。

（4）根据投影规律画出锥面对V、W面的转向轮廓线投影。

最后描深（图4—9c）。

图4-9 圆锥三视图的画图步骤
三、球
球是由球面围成的。

球面是以圆为母线，以该圆上任一直径为回转轴旋转而成（图4—10a）。

球体的三面投影圆是球体分别对V、H、W面的三个转向轮廓线圆的投影（图4—10）。

图4—10c所示为球的三视图。

图4-10 球面的形成及三视图
第四节曲面立体切割体三视图
曲面立体被平面切去部分后的形体称为曲面立体切割体，如图4-11示出了几种常见的曲面立体切割体。

平面与曲面立体相交，在立体表面产生了一些交线，这些交线称为截交线，此平面又称为截平面如图4-12所示。

由于曲面立体表面的形状不同，以及截平面相对于立体的位置不同，因此所产生的截交线形状也不同。

例如图4-12所示截平面与圆柱面相交，交线有直线与曲线之分。

无论截交线的形状有何不同，但它们都具有以下两个基本性质：（1）截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是两相交面的共有点。

（2）由于立体是占有一定空间的形体，因此截交线必定组成一个封闭的平面图形。

下面分别介绍常见曲面立体切割体及其交线的画法。

图4-11 常见曲面立体切割体
a)切刀 b)顶针 c)六角螺母 d)手把上的球
图4-12 截平面与截交线
图4-13 平面截切圆柱的三种情况
（a）截平面垂直圆柱轴线，截交线为圆b）截平面平行圆柱轴线，截交线为矩形
c）截平面与圆柱轴线斜交，截交线为椭圆
一.平面切割圆柱体
平面切割圆柱有三种情况，如图4-13所示。

当截平面垂直于圆柱轴线切圆柱时，在圆柱表面上所得的交线是与圆柱直径为相同的圆。

当截平面平行于圆柱轴线切圆柱时，在圆柱面上的交线为直线，在圆柱体上得到一矩形，截平面离圆柱轴线越近其矩形越大；反之其矩形越小，如图4-14所示。

图4-14平面切割圆柱体
画出如图4-15所示圆柱切割体的三视图。

该切割体左端中间开一通槽，右端上下对称各切去一块，其截平面分别为水平面和侧平面。

水平面平行于圆柱轴线，与圆柱面的交线为矩形，矩形的V、W面投影积聚成一直线；其H面的投影反映实形，宽度由W面投影量取。

侧平面垂直于圆柱的轴线，与圆柱面的交线为圆的一部分，其W面投影与圆柱的投影重影；V、H面投影与侧平面的V、H面投影（直
线）重影。

三视图画图步骤如图4-16所示。

图4-15 轴块
图4-16 轴块三视图画图步骤
a）画圆柱的三视图 b）画左端通槽及右槽上下切口的V、W面投影 c）按投影关系完成左右端的H面投影 d）描深
画出如图4-17所示开槽圆柱筒的三视图。

由图可见，圆柱筒的上方中间用与其轴线平行的两个侧平面和一个水平面对称地切出一通槽。

侧平面的V、H面投影具有积聚性，它的W面投影反映实形。

由于两侧平面相对于轴线左右对称，所以它们的W面投影重合。

侧平面既与外圆柱面相交，又与内圆柱面相交，交线皆为直线，根据投影规律可得交线的W面投影。

在左视图中外圆柱面上交线可见，内圆柱面上交线不可见。

读者可根据三视图画图步骤进行分析，如图4-18所示。

图4-17 开槽圆筒
图4-18 开槽圆柱筒三视图画图步骤
a) 画圆柱筒的三视图 b）画通槽的V、H面投影c）按投影关系画交线和水平面的W面投影d）描深
当截平面倾斜于圆柱轴线切圆柱时，在圆柱表面上的交线为椭圆，如图4-19所示。

画图时，先画椭圆具有积聚性的投影并在其上确定一系列点，利用在圆柱面上作辅助线的方法，求出各点的投影，然后圆滑连接各点的同面投影，即可得到截交线（椭圆）的投影。

具体作图步骤如图4-20所示。

其中：图4-19 平面斜切圆柱
图4-19 平面斜切圆柱
（1）求特殊点：在主视图中，椭圆的V面投影积聚成一直线,可得最低点（最左点）1′和最高点(最右点)5′; 在俯视图中圆柱面的投影积聚成圆,可得最前点3和最后点7,它们分别位于圆柱面对V面和对W面的转向轮廓线上,根据投影规律可得1、5，1″、5″；3′、7′，3″、7″。

（2）求一般点：在H面投影上，将圆等分，得2、4、6、8等点，过各点向上作素线与V面投影交得2′（8′）、4′（6′）点，根据投影规律得2″、4″、6″、8″。

（3）圆滑连接各点的W面投影,即为所求交线椭圆的W面投影。

由于圆柱的左上部已切去，所以交线的W面投影为可见。

用粗实线绘制，注意圆柱对W面转向线画到3″和7″点终止。

图4-20 斜切圆柱三视图的画图步骤
a)画斜切圆柱的主、俯视图，并确定底面及圆柱对侧面转向轮廓线的W面投影位置 b)求特殊点的投影：最低点Ⅰ（1，1′，1″）；最高点Ⅴ（5，5′，5″）；最前点Ⅲ（3，3′，3″）；最后点Ⅶ（7，7′，7″）c) 求一般点的投影（ⅡⅣⅥⅧ） d)在左视图上圆滑地连接各点，然后描深
二．平面切割圆锥
平面切割圆锥有六种切法，可以得到五种不同的表面交线。

如图4-21所示列出了圆锥表面交线的六种情况,前两种分别是直线和圆，作图比较简单易画，后四种表面交线分别为椭圆，双曲线和抛物线。

下面举例介绍求作圆锥表面交线的方法和步骤。

图4-21 圆锥交线的六种情况
截平面过锥顶，截交线是三角形 b）截平面垂直轴线，截交线是圆 c）截平面与轴线倾斜，截交线是椭圆d）截平面平行轴线，截交线是双曲线 e）截平面与轴线倾斜，截交线是双曲线 f〉截平面与轴线倾斜，截交线是抛物线
如图4-22a所示为圆锥被平行于圆锥轴线的平面截切，已知主视图和俯视图，补全左视图中所缺交线的投影。

截平面平行于圆锥轴线截切圆锥，其表面交线为双曲线，由主俯视图可知截平面为侧平面，它的V面投影和H面投影皆积聚为一条直线。

根据这两个投影，利用在圆锥面上作辅助直线或辅助圆的方法，可确定双曲线上各点的W面投影，从而可画出左视图中双曲线的投影。

具体作图步骤如下：
（1）求特殊点：由主俯视图可知，圆锥底圆与截平面的交点Ⅰ、Ⅶ为最底点；圆锥面对V面转向轮廓线与截平面的交点Ⅳ是双曲线上的顶点，也是最高点。

根据投影规律，可直接求得1′、7′ 和4′,如图4-22b所示。

（2）求一般点：在Ⅰ、（Ⅶ）和Ⅳ之间取一般点，如Ⅱ、Ⅵ。

作图时先在主视图中的1′、(7′) 、4′之间取2′、 (6′),并过2′ (6′)作垂直于轴线的辅助圆γ′,在俯视图中画圆γ交侧平面的H面投影于2 6,根据投影规律可得2″、6″如图4-22c所示.也可通过2′、 (6′)在圆锥面上作素线,然后得到2、 6; 2″、6″。

（3）圆滑连接各点的W面投影：由于双曲线在左半圆锥面上，所以双曲线的W面投影均为可见，用粗实线绘制如图4-22d所示。

图4-22 圆锥截交线的画法
a) 已知主、俯视图,补全左视图中所缺截交线的投影 b)求特殊点的投影 c)求一般点的投影 d)左视图中圆滑连接各点的投影
三．平面切割球
当平面与球面相交时，其交线一定为圆。

截平面离球心距离越近，交线圆的直径就越大，反之越小。

截平面平行于投影面时，其交线在该投影面上的投影反映圆的实形。

在另外两个投影面上积聚为直线。

如图4-23所示列出了三种投影面平行面截切球所得交线圆的投影画法。

如图4-24a所示开槽半球，其顶端由三个平面开一通槽，若已A向为主视图投影方向，那么槽的左、右两侧面为侧平面；与球面相交，交线圆的W面投影反映圆的实形，槽底为水平面；与球面相交；交线圆的H面投影反映圆的实形。

具体画图步骤如图4-30 b、c所示。

图4-23 投影面平行面切球交线圆的画法
a）水平面切球 b）正平面切球 c）侧平面切球
图4-24 开槽半球三视图的画法
a）开槽半球 b）画水平面 c）画侧平面
四.综合举例
求如图4-25所示台阶轴的表面交线。

台阶轴由同轴的大小两个圆柱组成，其轴线垂直于H面，两圆柱面的H面投影皆积聚为圆。

截平面P为正平面，平行于台阶轴的轴线，与小圆柱相交得小矩形，与大圆柱相交得大矩形；水平面Q垂直于大圆柱轴线，与大圆柱面相交的交线为一部分圆。

因为正平面P的H、W面投影皆积聚成一直线，其V面投影反映实形，所以作图时由H 面投影可直接求得两矩形的V面投影。

由于两个矩形属于同一个平面P，因此其V面投影应为一个封闭线框，主视图中两矩形之间不应该有轮廓线，图中的虚线表示大圆柱顶面后半部分的投影。

水平面Q截大圆柱所得圆的H面投影反映实形，V、W面投影皆积聚成一条直线。

图4-25 台阶轴。