实验中学2013届高三上学期一模数学理试题含答案

吉林省实验中学2013届高三一模
数学（理）试题
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1．若集合A ＝{}x |－1≤2x ＋1≤3，B ＝⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
x | x －2x ≤0，则A B ＝ （ ）
A ．{}x |－1≤x ＜0
B ．{}x |0＜x ≤1
C ．{}x |0≤x ≤2
D ．{}x |0≤x ≤1 2．已知a R ∈，则“2a >”是“2
2a a >”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
3．已知命题p ：∀x ∈R ，x ＞sin x ，则 （ ） A ．┐p ：∃x ∈R ，x ＜sin x B ．┐p ：∀x ∈R ，x ≤sin x C ．┐p ：∃x ∈R ，x ≤sin x D ．┐p ：∀x ∈R ，x ＜sin x 4．已知log 7[log 3（log 2x ）]＝0，那么12
-
x 等于 （ ）
A ．1
3
B ．
36 C ．24 D ．33
5．给定函数①12
=y x ，②12
log 1=()y x +，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋
1，其中在区间（0，1）上单
调递减的函数的序号是 （ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④ 6．下列函数中，值域为（0，＋∞）的是 （ ）
A ．y ＝x 2－x ＋1
B ．y ＝x ＋1
x （x ＞0） C ．y ＝e sin x
D ．y ＝23
1-()x +
7．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为 （ ）
A ．112
B ．14
C ．13
D ．712
8．设曲线y ＝x 2＋1在其任一点（x ，y ）处切线斜率为g （x ），则函数y ＝g （x ）cos x 的部
分图象可以为 （ ）
9．已知函数122
()2()log ()log x f x x g x x x h x x =+=-=-，，123,,x x x ，则
123,,x x x 的大小关系为 （ ）
A ．123x x x >>
B ．213x x x >>
C ．132x x x >>
D ．321x x x >>
10．函数()f x 在定义域R 上不是常数函数，且()f x 满足条件：对任意的x ∈R ，都有
(2)(2)(1)()f x f x f x f x +=-+=-，，则()f x 是 （ ） A ．奇函数但非偶函数 B ．偶函数但非奇函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 11．设函数f （x ）的定义域是R ，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时， f （x ）＝ln x －x ，则有 （ ） A ．132
323()()()f f f <<
B ．231
323
()()()f f f <<
C ．213332()()()f f f <<
D ．321
233
()()()f f f <<
12．已知函数f （x ）是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝x 2，如果
直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝f （x ）恰有两个不同的交点，则实数a 的值为 （ ） A ．2k （k ∈Z ） B ．2k 或2k ＋1
4 （k ∈Z ）
C ．0
D ．2k 或2k －1
4
（k ∈Z ）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．函数y ＝x ＋1＋lg （2－x ）的定义域是________．
14．已知函数2log 0
()20x x x f x x >⎧⎪=⎨-⎪⎩，，
≤，若()3f a =，则a = ．
15．对于任意实数a 、b ，定义min{a ，b }＝≤a a b
b a b ⎧⎨>⎩
，，，设函数f （x ）＝－x ＋3，g （x ）＝log 2x ，
则函数h （x ）＝min{f （x ），g （x ）}的最大值是________．
16．已知函数lg ()=f x x ，若0b <，则关于x 的方程2(())+()=0f x bf x 的所有不同实数根的积为 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2（3－x ）≤2}，集合B ＝{x |5
x ＋2≥1}．
（Ⅰ）求A ，B ； （Ⅱ）求（∁U A ）
B ．
18．（本小题满分12分）
设p ：实数x 满足22
430x ax a <－＋，其中0a ≠，q ：实数x 满足2
260
280--≤+-x x x x ⎧⎪⎨>⎪⎩
．
（Ⅰ）若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知f （x ）＝x 2－x ＋k ，且log 2f （a ）＝2，f （log 2a ）＝k （a ＞0，a ≠1） ． （Ⅰ）求a ，k 的值；
（Ⅱ）当x 为何值时，f （log a x ）有最小值？并求出该最小值． 20．（本小题满分12分） 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，
1AA AD ==P 为11C D 的中点，M
为BC 的中点．
（Ⅰ）证明：AM PM ⊥；
（Ⅱ）求AD 与平面AMP 所成角的正弦值． 21．（本小题满分12分）
已知关于x 的函数()()ln f x x a x x a =+-+． （Ⅰ）设()()g x f x '=，求函数()g x 的单调区间；
（Ⅱ）若1
≥a e
，试求函数()()ln f x x a x x a =+-+的零点个数．
22．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）＝x 2＋x －ln （x ＋a ）＋3b 在x ＝0处取得极值0． （Ⅰ）求实数a 、b 的值；
（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝
2
5
x ＋m 在区间[0，2]上恰有2个不同的实数解，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n ＞1，不等式1+21+31+……+11-n ＞2
1ln +n 都成立．
A B
C D
A 1
C 1
D 1 B 1
P
M
参考答案
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13． [－1,2） 14． 8 15．1 16．1- 三．解答题
17．解：（Ⅰ）由已知得log 2（3－x ）≤log 2 4，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3－x ≤4，
3－x ＞0，
解得－1≤x ＜3，∴A ＝{x |－1≤x ＜3}． ……2分 由
5
x ＋2
≥1，得（x ＋2）（x －3）≤0，且x ＋2≠0，解得－2＜x ≤3． ……4分 ∴B ＝{x |－2＜x ≤3}． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得∁U A ＝{x |x ＜－1或x ≥3}． ……8分 故（∁U A ）∩B ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＝3}． ……10分 18．解：（Ⅰ）由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<，
当1a =时，解得1<3x <,即p 为真时实数x 的取值范围是1<3x <． ……2分
由2
260280
x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩,得23x <≤,即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤． ……4分
若p q ∧为真，则p 真且q 真，
所以实数x 的取值范围是23x <<． …………………………6分 （Ⅱ）p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ,且p ⇒/q ， …………………………8分 设A ={}()x p x , B ={}
()x q x , 则A ⊃≠B ,
又(2,3]B =,当0a >时，A =(,3)a a ；0a <时，()3,A a a =．
所以当0a >时，有2,33,a a ≤⎧⎨<⎩
解得12;a <≤ ……………………10分
当0a <时，显然A
B =∅，不合题意．
所以实数a 的取值范围是12a <≤． ……………………12分
19．解：（Ⅰ）由题得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2－a ＋k ＝4 1
log 2a 2－log 2a ＋k ＝k 2
由（2）得log 2a ＝0或log 2a ＝1 ……………………4分 解得a ＝1（舍去）或a ＝2
由a ＝2得k ＝2 ……………………6分 （Ⅱ）f （log a x ）＝f （log 2x ）＝（log 2x ）2－log 2x ＋2
当log 2x ＝12即x ＝2时，f （log a x ）有最小值，最小值为7
4．……………………12分
20．解：（1）以D 点为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系D xyz - ………………1分 依题意，可得
),0,2,0(),3,1,0(),0,0,0(C P D )0,2,2(),0,0,22(M A ．………………3分 (2,2,0)3)2,1,3)PM ∴=-=， (2,2,0)(22,0,0)(2,2,0)AM =-=-，
∴(2,1,3)(2,2,0)0PM AM ⋅=⋅= ，
即PM AM ⊥，∴AM PM ⊥． ………………6分 （2）设(,,)n x y z =，且n ⊥平面PAM ，则
00n PM n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ， 即⎪⎩⎪⎨
⎧=-⋅=-⋅0)0,2,2(),,(0)3,1,2(),,(z y x z y x ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+022032y x z y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==y
x y
z 23，
取1=y
，得(2,1,n =，所以AD 与平面AMP 所成角的正弦值为
||||
DA n DA n ⋅
=
=
． ………………12分 21．解：（I ）()g x 的定义域是()0,+∞
∵()()ln a g x f x x,x '==
+∴()221a x a
g x ,x x x
-'=-+=………………2分 （1）当0a ≤时，∴()0g x '>，则g （x ）在()0,+∞上单调递增． 故()g x 单调增区间是()0,+∞………………………………………………4分 （2）当0a >时，
①当x a >时，∴()0g x '>，则()g x 在()a,+∞上单调递增。

②当x a <时，∴()0g x '<，则()g x 在()0,a +上单调递减。

∴0a <时()g x 的单调增区间是()a,+∞减区间是（0，a ）………………6分 综上当0a ≥时()g x 的单调增区间是()0,+∞
当0a <时()g x 的单调增区间是()a,+∞减区间是（0，a ）． （II ）由题（I ）知，()g x 在x a =时取到最小值，且为()ln 1ln a
g a a a.a
=+=+…8分 ∵1
a ,e
≥
∴ln 1a ,≥-∴()0g a ,≥∴()()0f x g a .'≥≥ ()()0f x ,+∞在上单调递增……………………………………10分
∵()()11
112
ln 20ln 0f e e a e e a a ,f a a ,e e e e e
⎛⎫⎛⎫=+-+==+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
>< ∴()f x 在1
,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内有零点
故函数()()ln f x x a x x a =+-+的零点个数为1………………………12分 22．解：（Ⅰ）由题设可知1
()21f x x x a
'=+-
+，∵当0x =时，f （x ）取得极值
∴(0)0(0)0f f '=⎧⎨=⎩
，解得1,0a b ==
经检验1,0a b ==符合题意。

……………………2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2()ln(1)f x x x x =+-+，则方程5
()2
f x x m =
+即为23
ln(1)02x x x m -+--= ……………………3分
令23
()ln(1)2
x x x x m ϕ=-+--
则方程()0x ϕ=在区间恰有两个不同的实数根。

……………………4分 ∵13(45)(1)
()2122(1)
x x x x x x ϕ+-'=-
-=
++ ∴当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(0,1)上单调递减
当(1,2)x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在(1,2)上单调递增 ……………………5分
依题意有(0)011ln 202(2)1ln 30
≥()=-≥m m m ϕϕϕ=-⎧⎪⎪
--<⎨⎪
=--⎪⎩，∴1ln 21ln32≤m --<-……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()ln(1)f x x x x =+-+的定义域为(1,)--∞，且(23)
()1
x x f x x +'=
+ 当(1,0)x ∈-时，()0f x '<，于是()f x 在(1,0)-上单调递减
当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，于是()f x 在(0,)+∞上单调递增 …………7分 ∴(0)f 为()f x 在(1,)-+∞上的最小值
∴()(0)≥f x f ，而(0)0f =，故2ln(1)≥x x x ++，其中当0x =时等号成立…………8分
对任意的正整数(1)n n >，取10x n =>，得2111
ln(1)ln(1)ln n n n n n
+>+=+-…………9分 而211(1)(1)n n n n >>-，∴11ln(1)ln (1)n n n n n +>+-- ∴
1
ln(1)ln 1n n n >+-- …………10分 ∴111
1(ln3ln 2)(ln 4ln3)[ln(1)ln ]23
1
n n n +
+++
>-+-++--
1
ln(1)ln 2ln
2
n n +=+-= …………12分。