高考数学总复习 102 复数的概念与运算课后作业 新人教A版

1.(2011·福建理，1)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2
∈S C ．i 3
∈S D.2
i
∈S [答案] B
[解析] i 2
＝－1∈S ，故选B.
2．(文)(2011·天津文，1)i 是虚数单位，复数1－3i
1－i ＝( )
A ．2－i
B ．2＋i
C ．－1－2i
D ．－1＋2i [答案] A [解析]
1－3i
1－i
＝1－3i 1＋i 1－i
1＋i
＝4－2i 2
＝2－i.
(理)(2011·安徽皖南八校联考)复数z 满足z ＝2－i 1－i ，则z －
等于( )
A ．1＋3i
B ．3－i C.32－1
2i D.12＋3
2
i [答案] C [解析] ∵z ＝
2－i 1－i ＝2－i 1＋i 2＝3＋i
2
， ∴z －＝32－1
2i ，故选C.
3．(2011·揭阳一中月考)设a ，b 为实数，若复数1＋2i
a ＋
b i ＝1＋i ，则( )
A ．a ＝32，b ＝12
B ．a ＝3，b ＝1
C ．a ＝12，b ＝32
D ．a ＝1，b ＝3
[答案] A
[解析] 1＋2i ＝(a ＋b i)(1＋i)＝a －b ＋(a ＋b )i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b ＝1a ＋b ＝2
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3
2b ＝1
2
，故选A.
4．(文)(2011·山东济南一模)设a 是实数，且a 1＋i ＋1－i
2
是实数，则a 等于( )
A.1
2 B ．－1 C ．1 D ．2 [答案] B [解析] ∵
a
1＋i ＋1－i 2
＝a 1－i
2＋1－i 2
＝1＋a 2－1＋a 2
i 是实数，
又∵a ∈R ，∴1＋a 2＝0，∴a ＝－1.
(理)(2011·山东潍坊一模)复数z ＝2＋m i
1＋i
(m ∈R)是纯虚数，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [答案] A [解析] 因为z ＝
2＋m i
1－i
2＝2＋m 2＋m －2
2i 是纯虚数，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
2＋m ＝0，m －2≠0.得m ＝－2.
5．(2010·广东江门调研)已知复数z ＝a ＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的模为|z |＝2，则a 等于( )
A ．1
B ．±1 C. 3 D ．± 3 [答案] D
[解析] ∵|z |＝2，∴a 2
＋1＝4，∴a ＝± 3.
6．(2010·广东湛江一中)设复数z 1＝4－3i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 1z 2
在复平面内所对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] C
[解析] z ＝z 1z 2＝4－3i 1＋2i ＝
4－3i
1－2i
1＋2i
1－2i ＝－25－11
5
i ，故z 在复平面内所对应的点位于第
三象限．
7．规定运算⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
z i －i 2＝1－2i ，设i 为虚数单位，则复数z ＝________. [答案] 1－i
[解析] 由已知可得⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
z
i －i
2＝2z ＋i 2
＝2z －1＝1－2i ，∴z ＝1－i .
8．(2011·无为中学月考)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A 、B 、C .若OC →＝xOA →＋yOB →
，则x ＋y 的值是________．
[答案] 5
[解析] ∵OC →＝xOA →＋yOB →
，∴(3－2i )＝x (－1＋2i )＋y (1－i )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x ＋y ＝32x －y ＝－2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1
y ＝4，故x ＋y ＝5.
1.(2010·宁夏银川一中一模)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝3－i ，其中i 是虚数单位，则复数z 1z 2
的实部与虚部之和为( )
A ．0 B.1
2 C ．1 D ．2
[答案] C [解析]
z 1z 2＝2＋i 3－i ＝2＋i 3＋i 10＝12＋12
i ，所以它的实部与虚部之和为1. 2．(2011·安徽文，1)设i 是虚数单位，复数1＋a i
2－i 为纯虚数，则实数a 为( )
A ．2
B ．－2
C ．－12 D.1
2
[答案] A [解析] 1＋a i
2－i
＝1＋a i 2＋i 2－i
2＋i
＝
2－a
＋2a ＋1i 5
＝
2－a 5＋2a ＋1
5
i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧
2－a
5＝02a ＋15≠0
，∴a ＝2.
3．(2011·温州八校期末)若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i 1－i
(a ，b ∈R)，则点(a ，b )与圆x 2
＋y 2
＝2的关系为( )
A ．在圆外
B ．在圆上
C ．在圆内
D ．不能确定
[答案] A [解析] ∵a ＋b i ＝
2＋i 1－i ＝2＋i 1＋i
2
＝12＋3
2i(a ，b ∈R)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12
b ＝3
2
，
∵⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝5
2
>2， ∴点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32在圆x 2＋y 2
＝2外，故选A.
4．(2011·东北四市统考)已知复数z 1＝cos23°＋isin23°和复数z 2＝cos37°＋isin37°，则z 1·z 2为( )
A.12＋3
2i B.32＋12i C.12－3
2i D.
32－12
i [答案] A
[解析] z 1·z 2＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋(sin37°cos23°＋cos37°sin23° )i ＝cos60°＋i·sin60°＝12＋3
2
i ，故选A.
5．(2010·上海大同中学模考)设i 为虚数单位，复数z ＝(12＋5i)(cos θ＋isin θ)，若z ∈R ，则tan θ的值为________．
[答案] －
512
[解析] z ＝(12cos θ－5sin θ)＋(12sin θ＋5cos θ)i ∈R ，∴12sin θ＋5cos θ＝0，∴tan θ＝－512
.
6．设z ＝1＋a i(a ∈R)，若z －
＝i(2－i)，则a ＝________，|z |＝________. [答案] －2， 5
[解析] z －
＝2i ＋1，∴z ＝1－2i ，∴a ＝－2，∴|z |＝ 5.
7．(2010·江苏通州市调研)已知复数z ＝a 2－7a ＋6a ＋1
＋(a 2
－5a －6)i (a ∈R)．
试求实数a 分别为什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[解析] (1)当z 为实数时，⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2
－5a －6＝0
a ＋1≠0
，∴a ＝6，
∴当a ＝6时，z 为实数．
(2)当z 为虚数时，⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2
－5a －6≠0
a ＋1≠0
，
∴a ≠－1且a ≠6，
故当a ∈R ，a ≠－1且a ≠6时，z 为虚数．
(3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
－5a －6≠0a 2
－7a ＋6＝0
a ＋1≠0
，∴a ＝1，
故a ＝1时，z 为纯虚数．
8．(理)设复数z ＝lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i ，当实数m 取何值时． (1)z 是纯虚数． (2)z 是实数．
(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．
[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
lg m 2
－2m －2＝0，
m 2
＋3m ＋2≠0.
解得m ＝3.
所以当m ＝3时，z 是纯虚数． (2)由m 2
＋3m ＋2＝0， 得m ＝－1或m ＝－2，
又m ＝－1或m ＝－2时，m 2
－2m －2>0， 所以当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．
(3)由⎩⎪⎨⎪⎧
lg m 2
－2m －2
<0，
m 2
＋3m ＋2>0.
解得：－1<m <1－3或1＋3<m <3.。